Exercícios Resolvidos de Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

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Enunciado

Um avião está sujeito a esforços solicitantes. Um material da asa do avião suporta altos esforços normais, porém suporta apenas 200Mpa de tensões cisalhantes. Se um elemento infinitesimal tridimensional estiver submetido aos esforços dados abaixo, a asa suportará as tensões ou romperá?

Passo 1

Sabemos que como apresenta-se tensão cisalhante em alguns planos, estes não poderão ser considerados planos principais.

O que podemos afirmar é que o plano sem tensões cisalhantes é de fato um plano principal, podemos então afirmar que

σ z = 230   M P a = σ 1 σ 2 σ 3

Mas como determinar as tensões principais referentes aos outros planos?

Passo 2

Basta usarmos os conceitos aprendidos na aula de transformação de tensões.

Basta analisar o seguinte elemento infinitesimal dado pelos esforços que agem nos planos com cisalhante.

Agora é só determinar as tensões principais presentes nesse elemento infinitesimal.

Passo 3

Sabemos que para determinarmos as tensões principais precisamos usar

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nós dá o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A última fórmula é dada por

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais

Sabemos que

σ x = 250

σ y = 200

Substituindo teremos que

σ m e d = 250 + 200 2 = 225

R = 250 - ( 200 ) 2 2 + 150 2 = 152,1

σ a = 225 + 152,1 = 377,1

σ b = 225 - 152,1 = 72,9

Organizando teremos que

σ 1 = 377,1   M P a

σ 2 = 230   M P a

σ 3 =   72,9   M P a

Passo 4

Desenhando o círculo de Mohr teremos que

Já foi dito no enunciado que a resistência a esforços normais é muito grande, logo, não é necessário analisar esses esforços.

Mas a resistência ao cisalhante precisa ser analisada, basta então fazer a seguinte analise

τ m a x = σ 1 - σ 3 2 = 377,1 - ( 72,9 ) 2 = 304,2 2 = 152,1   M P a

Como a resistência a ação do cisalhante é dada por 200Mpa, percebemos que a asa do nosso avião suportará a ação dos esforços solicitantes sem que ocorra rompimento.

Resposta

A asa do avião suportará os esforços solicitantes pois a máxima tensão cisalhante alcançada é de 152,1 Mpa mas a resistência suportada é de até 200Mpa

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