Exercícios Resolvidos de Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

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Enunciado

Uma barra de aço possui resistência ao cisalhamento de τ a d m = 20 0   M p a e σ a d m = 180   M p a   para o normal. Considerando a pior situação para a peça carregada abaixo, determine o fator de segurança dessa peça para o caso da tensão cisalhante e da tensão norma.

Passo 1

Podemos ver que se trata de uma questão em que o nosso elemento possui tensões cisalhantes em suas faces.

Quando há tensões cisalhantes, não podemos considerar os planos com essas tensões como planos principais.

O que sabemos é que o plano sem tensão cisalhante de fato representa um plano principal, mas nesse caso como não sabemos qual o valor dos outros dois planos só podemos afirmar isso até esse momento, ou seja,

σ z = 105   M P a = σ 1 σ 2 σ 3

Passo 2

Já sabemos que um dos planos se trata de um plano principal, mas como fazemos os outros dois também serem?

Basta usarmos os conceitos aprendidos na aula de transformação de tensões.

Basta analisar o seguinte elemento infinitesimal dado pelos esforços que agem nos planos com cisalhante.

Agora é só determinar as tensões principais presentes nesse elemento infinitesimal.

Passo 3

Sabemos que para determinarmos as tensões principais precisamos usar

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nós dá o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A última fórmula é dada por

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais

Sabemos que

σ x = + 120

σ y = - 156

τ = 80

Substituindo teremos que

σ m e d = 120 - 156 2 = - 18

R = 120 - ( - 156 ) 2 2 + 80 2 = 159,5

σ a = - 18 + 159,5 = 141,5

σ b = - 18 - 159,5 = - 177,5

Juntando o que já tínhamos calculado teremos

σ z = 105   M P a

Organizando teremos que

σ 1 = 141,5   M P a

σ 2 = 105   M P a

σ 3 =   - 177,5   M P a

Passo 4

Agora vamos desenhar os círculos de Mohr para as nossas tensões

Primeiro vamos marcar os pontos

Agora vamos desenhar os círculos de Mohr

Agora fica fácil definir as tensões absolutas

A tensão absoluta normal maior será

σ 1 = + 141,5   M P a

A tensão absoluta normal menor será

σ 3 =   - 177,5   M P a

E a tensão absoluta cisalhante será dada por

τ m a x = σ 1 - σ 3 2 = 141,5 - ( - 177,5 ) 2 = 319 2 = 159,5   M P a

Passo 5

Sabemos que para determinarmos o fator de segurança devemos fazer a divisão entre a maior tensão suportada pela peça e a maior tensão aplicada a peça, dessa forma temos a fórmula

F S = τ a d m τ m á x

Ou

F S = σ a d m σ m á x

Sabemos que

τ a d m = 200   M p a

σ a d m = 180   M p a

E com relação as tensões máximas teremos que

τ m a x = 159,5   M P a

σ m á x =   177,5   M P a

Calculando os fatores de segurança, teremos

F S τ = 200 159,5 = 1,25

F S σ = 180 177,5 = 1,01

Resposta

F S τ = 200 159,5 = 1,25

F S σ = 180 177,5 = 1,01

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