Exercícios Resolvidos de Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

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Enunciado

A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, temos um elemento 3D de tensões com uma tensão de cisalhamento:

τ y z = 40   M P a

...no plano y z , além de tensões normais em cada eixo:

σ x = - 100   M P a ;       σ y = + 90   M P a ;       σ z = - 80 M P a

Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento τ x y ou τ x z envolvendo o eixo x , podemos concluir que esse eixo x já está livre de cisalhamento.

Isso significa que a tensão σ x = - 100   M P a no eixo x já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x para ele:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de - 100   M P a que ocorre no eixo x , livre de cisalhamento.

Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo x e focar no que resta, que é o plano y z :

Calculando a tensão normal média σ m é d para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio R desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

Aí, com essas duas tensões principais do plano y z , mais a tensão principal do eixo x , vamos conseguir:

  • Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
  • Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, τ m á x .

Passo 2

Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano y z .

Lembra aí!

Para fazer isso, precisamos calcular σ m é d para esse plano:

σ m é d = σ y + σ z 2 = 90 + - 80 2 = 10 2 = 5   M P a

Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto σ y ,   τ y z em um gráfico τ   ×   σ e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:

Passo 3

Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos usar o teorema de Pitágoras para determinarmos o valor do seu raio R :

Fazendo isso, teremos que:

R 2 = 40 2 + 85 2

O que significa que:

R = 40 2 +85 2

R = 93,94   M P a

E aí, podemos fazer que:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

E substituir σ m é d = 5   M P a e R = 93,94   M P a para encontrarmos as tensões principais desse plano y z :

σ p r i n c i p a i s = 5 ± 93,94

Daí que, calculando essa equação acima, encontramos que uma das tensões principais desse plano y z é de + 98,94   M P a e que a outra é de - 88,94   M P a .

Isso significa que o nosso elemento 3D, além da tensão principal de - 100   M P a que já tinhamos identificado, ainda tem uma tensão principal de + 98,94   M P a e outra de - 88,94   M P a .

Passo 4

Agora que sabemos as 3 tensões principais do nosso elemento 3D, podemos complementar o círculo de Mohr que fizemos para o plano y z com elas.

Fazendo isso, vamos obter os três círculos de Mohr para o nosso elemento 3D e ao mesmo tempo identificar qual tensão principal é qual ( σ 1 , σ 2 ou σ 3 ):

Passo 5

Por fim, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse elemento fazendo:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Aí, substituindo σ 1 = + 98,94   M P a e σ 3 = - 100   M P a , vamos ter:

τ m á x = 98,94 - ( - 100 ) 2 = 198,94 2 = 99,47   M P a

E pronto!

Está resolvido o exercício.

Resposta

σ 1 = + 98,94   M P a

σ 2 = - 88,94   M P a

σ 3 = - 100   M P a

&

τ m á x = 99,47   M P a

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