Exercícios Resolvidos de Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

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Enunciado

A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, nós temos um elemento 3D de tensões em que existe:

  • Uma tensão de cisalhamento τ x z = - 5   M P a no plano x z , que é negativa por não estar apontando para o primeiro quadrante entre os eixos x e z ;
  • E uma tensão normal σ y = 7   M P a no eixo x , que é positiva por ser de tração.

Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento τ x y ou τ y z envolvendo o eixo y , podemos concluir que o eixo y já está livre de cisalhamento.

Isso significa que a tensão σ y = 7   M P a no eixo y já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x para ele:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de 7   M P a que ocorre no eixo y , livre de cisalhamento.

Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo y e focar no que resta, que é o plano x z :

Calculando a tensão normal média σ m é d para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio R desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

Aí, com essas duas tensões principais do plano x z , mais a tensão principal do eixo y , vamos conseguir:

  • Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
  • Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, τ m á x .

Passo 2

Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano x z .

Lembra aí!

Para fazer isso, precisamos calcular σ m é d para esse plano:

σ m é d = σ x + σ z 2 = 0 + 0 2 = 0

Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto ( σ x ,   τ x z ) em um gráfico τ   ×   σ e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:

Passo 3

Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos identificar que:

R = 5   M P a

E aí, podemos fazer que:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

E substituir σ m é d = 0 e R = 5   M P a para encontrarmos as tensões principais do plano x z :

σ p r i n c i p a i s = 0 ± 5 M P a = ± 5   M P a

Isso significa que o nosso elemento 3D, além da tensão principal de + 7   M P a que já tínhamos identificado, ainda tem uma tensão principal de - 5   M P a e outra de + 5   M P a .

Passo 4

Agora que sabemos as três tensões principais do nosso elemento 3D, podemos complementar o círculo de Mohr que fizemos para o plano x z com elas.

Fazendo isso, vamos obter os três círculos de Mohr para o nosso elemento 3D e ao mesmo tempo identificar qual tensão principal é qual ( σ 1 , σ 2 ou σ 3 ):

Se quisermos, ainda podemos identificar os círculos:

  • O círculo interno à esquerda, entre as tensões principais σ 3 e σ 2 , descreve o que ocorre se a gente rotacionar o elemento em volta do “eixo 1” (aquele em que ocorre a tensão principal σ 1 );
  • O círculo externo, entre σ 3 e σ 1 , descreve a rotação em volta do “eixo 2”;
  • E o círculo interno à direita, a rotação em volta do “eixo 3”:

Passo 5

Por fim, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse elemento fazendo:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Aí, substituindo σ 1 = + 7   M P a e σ 3 = - 5   M P a , vamos ter:

τ m á x = 7 - ( - 5 ) 2 = 12 2 = 6   M P a

E pronto!

Está resolvido o nosso exercício.

Resposta

σ 1 = + 7   M P a

σ 2 = + 5   M P a

σ 3 = - 5   M P a

&

τ m á x = 6   M P a

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