Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

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Enunciado

Nos modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração da gravidade g na superfície da terra é constante igual a 9 ,   8   m / s e g 2 . Na verdade, g é função da latitude θ que, medida em graus, é dada pela seguinte fórmula:

g θ = 9,78049 1 + 0,005264 s e n 2 θ + 0,000024 s e n 4 θ .

Mostre que existe um θ 0 ∈ ( 35 ° , 40 ° ) tal que g θ 0 = 9,8 .

Passo 1

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Nos modelos simplificados de queda livre, muitas vezes assume-se que a aceleração da gravidade (g) é constante e igual a 9,8 m/s².

Essa suposição é uma aproximação aceitável para muitas situações do mundo real, especialmente quando a altura não varia significativamente em relação ao raio da Terra.

No entanto, a aceleração da gravidade varia na superfície da Terra devido a fatores como a forma elipsoidal da Terra e as variações na densidade da crosta terrestre.

A fórmula que você forneceu, g ( θ )   =   9,78049 [ 1   +   0,005264 s e n ² ( θ )   +   0,000024 s e n ⁴ ( θ ) ] , leva em consideração a latitude ( θ ) como um fator que influencia a variação da aceleração da gravidade na superfície da Terra.

Passo 2

Essa fórmula é uma representação mais precisa da distribuição real da gravidade ao redor da Terra, levando em conta sua forma e densidade não uniforme.

A demonstração de que existe um valor θ 0 ∈   ( 35 ° ,   40 ° ) para o qual g ( θ 0 )   =   9,8   m / s ² pode ser feita usando o teorema do valor intermediário, como mencionado na resposta anterior.

A ideia básica é que a função h ( θ )   =   g ( θ )   -   9,8 tem valores de sinais opostos em θ   =   35 °   e   θ   =   40 ° , e, portanto, deve haver um valor de θ 0 entre esses dois ângulos para o qual h ( θ 0 )   =   0 .

Isso implica que a aceleração da gravidade calculada pela fórmula g ( θ ) é igual a 9,8   m / s ² para esse valor de θ 0 .

Em resumo, a suposição de uma aceleração constante da gravidade é uma simplificação útil para muitas situações do mundo real, mas a fórmula g ( θ ) leva em consideração a variação real da gravidade devido à forma e densidade da Terra.

A demonstração da existência de um θ 0   ∈   ( 35 ° ,   40 ° ) para o qual g ( θ 0 )   =   9,8   m / s ²   envolve a aplicação do teorema do valor intermediário em função da latitude.

Passo 3

Para mostrar que existe um valor de θ 0   ∈   ( 35 ° ,   40 ° ) para o qual g ( θ 0 )   =   9,8   m / s ² , precisamos encontrar um intervalo onde a função g ( θ ) assume esse valor. A função g ( θ ) é dada por:

g ( θ )   =   9,78049 [ 1   +   0,005264 s e n ² ( θ )   +   0,000024 s e n ⁴ ( θ ) ]

Vamos definir uma função h(θ) da seguinte forma:

h ( θ )   =   g ( θ )   -   9,8

            =   9,78049 [ 1   +   0,005264 s e n ² ( θ )   +   0,000024 s e n ⁴ ( θ ) ]   -   9,8

Nosso objetivo é encontrar um valor θ 0 no intervalo ( 35 ° ,   40 ° ) para o qual h ( θ 0 )   =   0 , ou seja, onde a aceleração da gravidade calculada pela fórmula seja igual a 9,8   m / s ² .

Passo 4

Agora vamos usar o teorema do valor intermediário (ou teorema de Bolzano) para mostrar que h ( θ ) tem um zero no intervalo ( 35 ° ,   40 ° ) .  

O teorema do valor intermediário estabelece que se uma função contínua f ( x ) em um intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos em seus extremos, então ela possui pelo menos uma raiz no intervalo ( a ,   b ) .

Neste caso, nossa função h(θ) é contínua, e queremos mostrar que h ( 35 ° )   é negativo e h ( 40 ° ) é positivo (ou vice-versa), o que implicaria que h ( θ ) assume valores de sinais opostos nesse intervalo.

Portanto, precisamos calcular h ( 35 ° )   e   h ( 40 ° ) :

h ( 35 ° )   =   9,78049 [ 1   +   0,005264 s e n ² ( 35 ° )   +   0,000024 s e n ⁴ ( 35 ° ) ]   -   9,8

              h ( 35 ° ) ≈   - 0,03076

h ( 40 ° )   =   9,78049 [ 1   +   0,005264 s e n ² ( 40 ° )   +   0,000024 s e n ⁴ ( 40 ° ) ]   -   9,8

              h ( 40 ° ) ≈   0,00936

Podemos ver que h ( 35 ° ) é negativo e h ( 40 ° ) é positivo. Portanto, pelo teorema do valor intermediário, sabemos que existe pelo menos um valor   θ 0 ∈   ( 35 ° ,   40 ° ) para o qual h ( θ 0 )   =   0 , ou seja, g ( θ 0 )   =   9,8   m / s ² .

Isso conclui a demonstração de que existe um θ 0 ∈   ( 35 ° ,   40 ° )   t a l   q u e   g ( θ 0 ) =   9,8   m / s ² .

Resposta

Isso conclui a demonstração de que existe um θ 0 ∈   ( 35 ° ,   40 ° )   t a l   q u e   g ( θ 0 ) =   9,8   m / s ² .

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