Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 32

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = - 1 + s e n   x x - π 2

Passo 1

Esse denominador vai zerar quando x - π 2 = 0 , ou seja, x = π 2 . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:

lim x π 2 - 1 + s e n   x x - π 2

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Passo 2

Para resolver esse cara, vou substituir o seu denominador por u , para simplificar a matemática do negócio:

u = x - π 2         ;         x π 2  

u π 2 - π 2 = 0

lim x π 2 - 1 + s e n   x x - π 2 = lim u 0 - 1 + sen u + π 2 u

Passo 3

Nesse momento, vou lembrar você de uma propriedade trigonométrica:

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

Com isso, teremos:

sen u + π 2 = sen u cos π 2 + sen π 2 cos u

Onde sen π 2 = 1 e cos π 2 = 0 . Enfim, temos:

sen u + π 2 = sen u 0 + 1 cos u

= cos u

O que significa que posso escrever o limite como:

lim u 0 - 1 + cos u u = lim u 0 cos u - 1 u

Passo 4

Vou multiplicar pelo conjugado quadrado de ( cos u - 1 ) em cima e embaixo:

lim u 0 cos u - 1 u = lim u 0 cos u - 1 u cos u + 1 cos u + 1

= lim u 0 cos 2 u - 1 u cos u + 1

Onde sen 2 u + cos 2 u = 1 . Dessa maneira,

cos 2 u - 1 = - sen 2 u     lim u 0 - sen 2 u u cos u + 1

Passo 5

Podemos destacar um Limite fundamental ali do resto do limtie, repara:

lim u 0 - sen 2 u u cos u + 1 = lim u 0 sen u u lim u 0 - sen u cos u + 1

Substituindo o limite fundamental por 1 e u = 0 no resto, teremos:

lim u 0 sen u u lim u 0 - sen u cos u + 1 = 1 - 0 1 + 1

= 0

Portanto, teremos extensão contínua nesse ponto, x = π 2 . Dessa forma, a equação da função acabaria como:

f x = 0 ,     x = π 2 - 1 + s e n   x x - π 2 ,     x π 2

Resposta

f x = 0 ,     x = π 2 - 1 + s e n   x x - π 2 ,     x π 2

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