Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

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Enunciado

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = - 1 + s e n   x x - π 2

Passo 1

Esse denominador vai zerar quando x - π 2 = 0 , ou seja, x = π 2 . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:

lim x → π 2 ⁡ - 1 + s e n   x x - π 2

Passo 2

Para resolver esse cara, vou substituir o seu denominador por u , para simplificar a matemática do negócio:

u = x - π 2         ;         x → π 2  

u → π 2 - π 2 = 0

lim x → π 2 ⁡ - 1 + s e n   x x - π 2 = lim u → 0 ⁡ - 1 + sen ⁡ u + π 2 u

Passo 3

Nesse momento, vou lembrar você de uma propriedade trigonométrica:

sen ⁡ ( x ± y ) = sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ± sen ⁡ y ⋅ cos ⁡ x

Com isso, teremos:

sen ⁡ u + π 2 = sen ⁡ u cos ⁡ π 2 + sen ⁡ π 2 cos ⁡ u

Onde sen ⁡ π 2 = 1 e cos ⁡ π 2 = 0 . Enfim, temos:

sen ⁡ u + π 2 = sen ⁡ u 0 + 1 cos ⁡ u

= cos ⁡ u

O que significa que posso escrever o limite como:

lim u → 0 ⁡ - 1 + cos ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u - 1 u

Passo 4

Vou multiplicar pelo conjugado quadrado de ( cos ⁡ u - 1 ) em cima e embaixo:

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u - 1 u = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u - 1 u cos ⁡ u + 1 cos ⁡ u + 1

= lim u → 0 ⁡ cos 2 ⁡ u - 1 u cos ⁡ u + 1

Onde sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 . Dessa maneira,

cos 2 ⁡ u - 1 = - sen 2 ⁡ u →     lim u → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ u u cos ⁡ u + 1

Passo 5

Podemos destacar um Limite fundamental ali do resto do limtie, repara:

lim u → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ u u cos ⁡ u + 1 = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ - sen ⁡ u cos ⁡ u + 1

Substituindo o limite fundamental por 1 e u = 0 no resto, teremos:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ - sen ⁡ u cos ⁡ u + 1 = 1 - 0 1 + 1

= 0

Portanto, teremos extensão contínua nesse ponto, x = π 2 . Dessa forma, a equação da função acabaria como:

f x = 0 ,     x = π 2 - 1 + s e n   x x - π 2 ,     x ≠ π 2

Resposta

f x = 0 ,     x = π 2 - 1 + s e n   x x - π 2 ,     x ≠ π 2

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