Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

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Enunciado

Verifique se a função tem extensão contínua.

f x = x 2 + 1 x 6 + x 2 - 2   e m   q u a l q u e r   x ∈   R

Passo 1

Bom, quais são os possíveis problemas a serem gerados nesse cálculo de domínio? Temos que o que está dentro da raiz deve ser ≥ 0 e o denominador ≠ 0 .

Por partes, o termo dentro da raiz primeiro:

x 2 + 1

Repara, esse termo vai ser sempre positivo, pois é uma soma de uma raiz de grau par (no caso, expoente ao quadrado) com um termo maior que 0 !

x 2 + 1 ≥ 0

Passo 2

Agora o denominador:

x 6 + x 2 - 2

Novamente, vemos um termo com soma de raízes de grau par ( 2 e 6 para esse termo) só que com um cara maior do que 0 . Com isso, queremos o denominador diferente de 0

x 6 + x 2 - 2 ≠ 0

A solução desse cara é

x ≠ - 1       ;       x ≠ 1

Com isso, vamos aplicar o limite nesses dois pontos.

Passo 3

Em x = - 1 , vamos ver

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 1 x 6 + x 2 - 2 = 1 + 1 1 + 1 - 2 = 2 0

= ± ∞

Precisa nem analisar lateralmente, já vemos que não haverá extensão contínua nesse ponto.

Em x = 1 , teremos

lim x → 1 ⁡ x 2 + 1 x 6 + x 2 - 2 = 1 + 1 1 + 1 - 2 = 2 0

= ± ∞

Novamente, não haverá extensão contínua nesse ponto.

Resposta

A   f u n ç ã o   n ã o   t e m   e x t e n s ã o   c o n t í n u a .

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