Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 33

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = s e n ( x 2 - 4 )   x + 2

Passo 1

Esse denominador vai zerar quando x + 2 = 0 , ou seja, x = - 2 . Vamos calcular o limite da função nesse ponto:

lim x - 2 s e n ( x 2 - 4 )   x + 2

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Passo 2

Repara que no argumento do seno temos x 2 - 4 , que é igual a x + 2 x - 2 , pelo produto notável. Dessa forma, se multiplicarmos em cima e embaixo por x - 2 , poderíamos aplicar uma substituição do limite fundamental, dessa forma:

lim x - 2 sen x 2 - 4 x + 2 = lim x - 2 sen x 2 - 4 x + 2 x - 2 x - 2

= lim x - 2 sen x 2 - 4 x 2 - 4 x - 2 = lim x - 2 sen x 2 - 4 x 2 - 4 lim x - 2 x - 2

Passo 3

Para resolver o Limite Fundamental Trigonométrico, fazemos uma substituição:

u = x 2 - 4     ;     x - 2

u - 2 2 - 4 = 0

lim x - 2 sen x 2 - 4 x 2 - 4 lim x - 2 x - 2 = lim u 0 sen u u lim x - 2 x - 2

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro cara e o valor do x no segundo:

lim u 0 sen u u lim x - 2 x - 2 = 1 - 2 - 2

= - 4

Passo 4

Assim, aplicando a extensão contínua nesse ponto, teremos a função valendo ela mesma para x - 2 e - 4 quando x = - 2 :

f x = - 4 ,     x = - 2 s e n ( x 2 - 4 )   x + 2 ,     x - 2

Resposta

f x = - 4 ,     x = - 2 s e n ( x 2 - 4 )   x + 2 ,     x - 2

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