Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

Elaboração própria

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = 1 + x 3 2 x

Passo 1

Nessa função aí, dá pra ver que temos um denominador que zera com x = 0 , não é? E claro, isso não pode rolar se não temos uma descontinuidade. Show, então como não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua, vamos calcular:

lim x 0 1 + x 3 2 x

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Passo 2

Para resolver esse cara, vou substituir todo o x 3 por u , para simplificar a matemática do negócio:

u = x 3         ;         x = 3 u     2 x = 2 3 u

Veja então que, como quando x 0 , u 0 também, reescrevemos o limite para

lim u 0 1 + u 2 3 u

Passo 3

Agora vamos efetivamente calcular o limite, beleza? Pra isso, olha essa macete usando as propriedades dos limites:

lim u 0 1 + u 2 3 u = lim u 0 1 + u 1 u 2 3 = lim u 0 1 + u 1 u 2 3

E cara, não é que o limite que sobrou é o limite fundamental exponencial? Se tá: na dúvida, tenta fazer essa substituição aqui:

u = 1 x   1 u = x

Fazendo essa substituição e considerando que a gente tem que alterar os limites também quando fazemos substituições:

u 0       ;       x ±

Ficamos com:

lim u 0 1 + u 1 u = lim x ± 1 + 1 x x = e

Viu só? Duas formas diferentes de escrevermos o limite fundamental trigonométrico! O limite vai ficar então: lim u 0 1 + u 2 3 u = lim u 0 1 + u 1 u 2 3 = e 2 3

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente escrever na forma de extensão contínua

f x = e 2 3 ,     x = 0 1 + x 3 2 x   ,     x 0

Resposta

f x = e 2 3 ,     x = 0 1 + x 3 2 x   ,     x 0

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