Exercícios Resolvidos de Extensão Contínua

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Enunciado

Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta R .

f x = s e n 3 6 x x 2

Passo 1

Esse denominador vai zerar quando x 2 = 0 , ou seja, x = 0 . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 6 x x 2

Passo 2

Repara que no argumento do seno temos 6 x . Dessa forma, se multiplicarmos em cima e embaixo por 6 x 3 , já que temos o seno elevado ao cubo, poderíamos aplicar uma substituição do Limite Fundamental Trigonométrico, dessa forma:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 6 x x 2 = lim x → 0 ⁡ s e n 3 6 x x 2 6 x 3 6 x 3

= lim x → 0 ⁡ s e n 3 6 x 6 x 3 6 x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ s e n 3 6 x 6 x 3 lim x → 0 ⁡ 6 x 3 x 2

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 6 x 6 x 3 lim x → 0 ⁡ 6 x 3 x 2

Passo 3

Para resolver o Limite Fundamental Trigonométrico, fazemos uma substituição:

u = 6 x     ;     x → 0

u → 6 0 = 0

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 6 x 6 x 3 lim x → 0 ⁡ 6 x 3 x 2 = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 3 lim x → 0 ⁡ 6 x

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro cara e o valor do x no segundo:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 3 lim x → 0 ⁡ 6 x = 1 6 0

= 0

Passo 4

Assim, aplicando a extensão contínua nesse ponto, teremos a função valendo ela mesma para x ≠ 0 e 0 quando x = 0 :

f x = 0 ,     x = 0 s e n 3 6 x x 2 ,     x ≠ 0

Resposta

f x = 0 ,     x = 0 s e n 3 6 x x 2 ,     x ≠ 0

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