Exercícios Resolvidos de Fasores

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Enunciado

Calcule os números complexos a seguir e deixe seus resultados na forma polar:

a   5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 3 ∠ 60 ° 2 + j  

b   ( 10 ∠ 60 ° ) ( 35 ∠ - 50 ° ) 2 + j 6 - ( 5 + j )

Passo 1

Sempre que vamos trabalhar com números complexos temos que ter em mente que nas operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto nas de multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Passo 2

Na letra a , o primeiro passo é passar ( 2 + j ) para forma polar:

2 + j   →   r = 2 2 + 1 2 = 2,236   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 1 2 = 26,56 °

Substituindo e efetuando a divisão, temos:

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 3 ∠ 60 ° 2,236 ∠ 26,56 °

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 1,34 ∠ 33,44 °

Passo 3

Agora, temos que passar 1,34 ∠ 33,44 ° para forma retangular para efetuarmos a soma que está dentro dos parênteses.

1,34 ∠ 33,44 ° = 1,34 cos ⁡ 33,44 ° + j 1,34   s e n   33,44 ° = 1,12 + j 0,74

Substituindo e somando os números complexos, temos:

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 ) + ( 1,12 + j 0,74

5 ∠ 30 ° 7,12 - j 7,26

Passo 4

Agora é só passar 7,12 - j 7,26 para forma polar e efetuar a multiplicação.

7,12 - j 7,26   →   r = 7,12 2 + 7,26 2 = 10,17   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,26 7,12 = - 45,56 °

Lembrando que na multiplicação de fasores a gente multiplica os módulos e soma os ângulos, temos:

5 ∠ 30 ° 10,17 ∠ - 45,56 °

50,85 ∠ - 15,56 °

Passo 5

Na letra b , podemos efetuar as operações no numerador e denominador diretamente, já que os números complexos estão na forma certa para cada operação.

( 10 ∠ 60 ° ) ( 35 ∠ - 50 ° ) 2 + j 6 - ( 5 + j ) = 350 ∠ 10 ° - 3 + j 5

Passo 6

Agora é só passar - 3 + j 5 para forma polar e efetuar a divisão. Mas quando a parte real do número complexo é negativa, é melhor colocarmos o sinal de menos em evidência e passarmos o que está dentro do parêntese para forma polar.

- 3 + j 5 = - ( 3 - j 5 )

3 - j 5   →   r = 3 2 + 5 2 = 5,83   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 5 3 = - 59 °

Logo, lembrando do sinal de menos:

- 3 - j 5 = - 5,83 ∠ - 59 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos somar 180 ° , mas tanto faz mesmo. Portanto,

- 5,83 ∠ - 59 ° = 5,83 ∠ 121 °

Passo 7

Lembrando que na divisão de fasores a gente divide os módulos e subtrai os ângulos, temos:

350 ∠ 10 ° 5,83 ∠ 121 °

60 ∠ - 111 °

Resposta

a   50,85 ∠ - 15,56 °

b   60 ∠ - 111 °

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