Exercícios Resolvidos de Fasores

Ver Teoria

Enunciado

Usando fasores, determine:

a   3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

b   20 sen ⁡ 400 t + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) - 5   s e n ( 400 t - 20 ° )

Passo 1

No domínio do tempo é complicado efetuarmos essas operações, já que são senoides defasadas e com amplitudes diferentes. Então, utilizaremos fasores para efetuarmos essas contas. É importante ressaltar que para podemos fazer isso é necessário que a frequência ω seja a mesma.

Passo 2

Na letra ( a ) , temos:

3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

Como as duas parcelas estão escritas em termo de cosseno, podemos transformá-los diretamente para fasores:

3 ∠ 10 ° - 5 ∠ - 30 °

Passo 3

Agora, para efetuarmos essa subtração precisamos passar os dois fasores para forma retangular:

3 ∠ 10 ° = 3 cos ⁡ 10 ° + j 3   s e n   10 ° = 2,95 + j 0,52

5 ∠ - 30 ° = 5 cos ⁡ - 30 ° + j 5   s e n - 30 = 4,33 - j 2,5

Efetuando a subtração, temos:

2,95 + j 0,52 - ( 4,33 - j 2,5 )

- 1,38 + j 3,02 = - ( 1,38 - j 3,02 )

Passo 4

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar o resultado que encontramos para forma polar:

1,38 - j 3,02     →     r = 1,38 2 + 3,02 2 = 3,32   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 3,02 1,38 = - 65,44 °

Não podemos esquecer do sinal de menos. Logo,

- 1,38 - j 3,02 = - 3,32 ∠ - 65,44 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos somar 180 ° . Portanto,

- 3,32 ∠ - 65,44 ° = 3,32 ∠ 114,56 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 20   r a d / s , temos:

3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

Passo 5

Na letra ( b ) , precisamos escrever todas as parcelas em termos de cosseno antes de transformá-las para fasores. Então,

20 sen ⁡ 400 t = 20   c o s ( 400 t - 90 ° )

- 5   s e n 400 t - 20 ° = 5   c o s 400 t - 20 ° + 90 °

Portanto, temos a seguinte expressão com todas as parcelas escritas em termos de cosseno:

20   c o s 400 t - 90 ° + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) + 5   c o s 400 t + 70 °

Passo 6

Agora, vamos escrever a expressão na forma fasorial.

20 ∠ - 90 ° + 10 ∠ 60 ° + 5 ∠ 70 °

Para efetuar essas somas precisamos passar cada fasor para forma retangular:

20 ∠ - 90 ° = - j 20

Quando temos o ângulo de 90 ° ou - 90 ° , passamos de uma forma para outra rapidamente, sem efetuar conta.

Isso ocorre porque se o fasor tem um desses ângulos ele só possui componente no eixo imaginário do plano complexo. Se for - 90 ° ele estará na parte negativa, logo na sua forma retangular terá apenas parte imaginária negativa ( - j ) . Já se for 90 ° sua forma retangular terá apenas parte imaginária positiva ( + j ) .

10 ∠ 60 ° = 10 cos ⁡   60 ° + j 10   s e n   60 ° = 5 + j 8,66

5 ∠ 70 ° = 5 cos ⁡ 70 ° + j 5   s e n   70 ° = 1,71 + j 4,7

Passo 7

Agora sim podemos efetuar as operações.

- j 20 + 5 + j 8,66 + 1,71 + j 4,7 = 6,71 - j 6,64

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar para forma polar:

6,71 - j 6,64     →     r = 6,71 2 + 6,64 2 = 9,44   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 6,64 6,71 = - 44,7 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 400   r a d / s , temos:

9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Resposta

a   3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

b   9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Exercícios de Livros Relacionados

Determine v ( t ) nas seguintes equações integro-diferenciais usando o método de fasores: v t + ∫ v d t = 10 cos ⁡ t d v d t + 5 v t + 4 ∫ v d t = 20 s e n ( 4 t + 10 ° )
A equação de malha para um circuito R L C série é d i d t + 2 i + ∫ - ∞ t id t = cos ⁡ ( 2 t )A Supondo que o valor da integral em t = - ∞ seja zero, determine i ( t ) usando o método de fasores.
Usando fasores, determine i ( t ) nas seguintes equações:2 (d i)/(d t) + 3 i (t) = 4 cos ( 2 t - 45 ° ) 10 int i d t + (d i)/(d t) + 6 i (t) = 5 cos ( 5 t + 22 ° )
Um filtro passa-todas é o filtro cuja resposta em amplitude e constante. (Então, ele passa todas as frequências igualmente bem). Pode ser Iigado em cascata com outro filtro par manter uma resposta em
Projete um circuito que transforme uma entrada de tensão senoidal em uma saída de tensão cossenoidal.