Análise por Semelhança

Teoria Completa

Análise Dimensional e Similaridade

“Senhores passageiros, bem-vindos a bordo!”

E aííí, passageiro do Responde Aí! Você já parou para pensar como os pesquisadores começam em escala de laboratório (com modelos bem pequenininhos) e depois surge um aviãozão enorme? Daqueles que dá um friozinho na barriga só de pensar em decolar, hahaha

Para tranquilizar seu coração, o que está por trás disso não é mágica não. É uma técnica muito útil chamada Análise por Semelhança ou Similaridade.

Aqui em Mecânica dos Fluidos, vimos que o escoamento depende de muitas variáveis, certo? Viscosidade, massa específica, diâmetro, pressão, ... enfim! Dependendo do escoamento que estamos analisando, teremos certas variáveis que serão importantes

Na prática, o que acontece é o seguinte. Antes de fazer o protótipo de um avião, seria legal fazer um modelinho pequeno para testar. Mas e aí? Qual tamanho fazer? Se a força é 10 N no modelo, quanto será a força no protótipo?

Como nem tudo na vida dá para resolver por regra de 3, é aí que entra a Análise por Semelhança! Ela dá um jeito de comparar as variáveis no modelo e no protótipo. 😊 E assim, fazendo experimentos com o aviãozinho, conseguimos projetar a força no aviãozão.

Existem 3 principais tipos de semelhança e em um deles (o nosso principal e queridinho aqui) os números adimensionais vão resolver nossos problemas!

Tipos de semelhança

Os 3 tipos de semelhança (similaridade) são: geométrica, cinemática e dinâmica.

Semelhança geométrica

Para que o modelo (objeto menor) e o protótipo (objeto maior) tenham semelhança geométrica, eles precisam ter

  • o mesmo formato e
  • além disso, todas as dimensões do modelo devem ser relacionadas com as dimensões correspondentes no protótipo pelo mesmo fator de escala (exemplo em um retângulo: se a largura dobrou, o comprimento tem que dobrar também!)

Um exemplo de similaridade geométrica são as maquetes!

Semelhança cinemática

Para dois escoamentos com similaridade cinemática, as velocidades em pontos correspondentes devem ter a mesma direção e sentido; já o módulo dessas velocidades mudam por um mesmo fator de escala :D

Com isso, em escoamentos semelhantes cinematicamente, as linhas de corrente estão relacionadas por um fator de escala constante. E o regime de escoamento é o mesmo 😉

Importante: escoamentos com semelhança cinemática tem semelhança geométrica.

Semelhança dinâmica

Por último, a semelhança mais desejada pelos pesquisadores do mundo inteiro, hahaha, a semelhança dinâmica. Qual é o diferencial dela?

A similaridade dinâmica acontece quando os mesmos tipos de forças no modelo são paralelos no protótipo e além disso, em todos os pontos correspondentes, os módulos das forças são relacionados por um mesmo fator de escala.

Importante: para que um escoamento tenha semelhança dinâmica, ele também tem semelhança cinemática e semelhança geométrica. A figura abaixo mostra o esquema:

A semelhança geométrica sozinha não garante a semelhança cinemática. Nem a semelhança cinemática sozinha garante a dinâmica. Combinado? o/

Similaridade completa

A similaridade completa é quando temos os três tipos de semelhança juntos: geométrica, cinemática e dinâmica. Como a dinâmica engloba as outras 2, ela será a preferida. 😊

Então, quando o enunciado diz que há similaridade completa, ou então, que podemos considerar que entre o modelo e o protótipo temos semelhança dinâmica, o que isso significa?

Significa que podemos igualar os números adimensionais do modelo e do protótipo!! Exemplos:

R e m = R e p

F r m = F r p

C D m = C D p

E como os números adimensionais tem seus significados físicos, vamos conseguir relacionar as grandezas do modelo com as do protótipo. :D

Não dá para fazer por regra de 3 simplesmente, porque os números adimensionais mostram como é a influência de cada variável (se é diretamente proporcional, ou inversa, ao quadrado...). Isso é encontrado pelo Teorema Pi

E para te ajudar nos exercícios, aqui está uma lista dos números adimensionais mais usados em MecFlu! A dica é: ler o enunciado com carinho, anotar as variáveis informadas e as pedidas e escolher os números adimensionais que envolvam elas.

E é assim que damos o primeiro passo para projetar um avião. UAU! Vamos praticar isso aí? :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Concurso Público IFRS– Área Engenharia Mecânica - 2013

Para ser de utilidade, um teste de modelo deve resultar em dados que possam, por meio de transposição em escala, fornecer forças, quantidades de movimento e cargas dinâmicas que existiriam no protótipo em tamanho real. Uma ferramenta matemática largamente utilizada na determinação de parâmetros para modelos de projetos é a análise dimensional. Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre o modelo e o protótipo?

(A) Semelhança geométrica, semelhança cinemática e semelhança dinâmica

(B) Semelhança geométrica e semelhança cinemática

(C) Semelhança geométrica e semelhança dinâmica

(D) Semelhança cinemática e semelhança dinâmica

(E) Apenas a semelhança geométrica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opaaa! Vamos começar os exercícios de análise por semelhança. Para garantir que o nosso objeto estudado é seguro e funciona direitinho numa escala diferente, precisamos que ele tenha uma relação de semelhança completa com o modelo!

Como vimos na teoria, a semelhança geométrica garante que a geometria irá mudar por um fator de escala. Mas isso não quer dizer que as velocidades serão similares também...

Por isso, além da semelhança geométrica, precisamos garantir a semelhança cinemática entre modelo e protótipo. Assim, garantimos a mesma direção e sentido das velocidades correspondentes, e o módulo é mudado por um fator de escala de velocidade

Maaas, ainda não acabamos! Precisamos a semelhança entre as dinâmicas de força para ter similaridade completa. E é justamente que a semelhança dinâmica nos dá 😉

Agora sim, sabemos que as semelhanças geométrica, cinemática e dinâmica devem ser buscadas para ter semelhança completa entre modelo e protótipo. Logo, a alternativa correta é a A.

Resposta

(A) Semelhança geométrica, semelhança cinemática e semelhança dinâmica

Exercício Resolvido #2

Concurso INMETRO (CESPE/UNB) – Pesquisador-tecnologista em Metrologia e Qualidade. Área: Metrologia em Mecânica dos Fluidos – 2009.

Considere um modelo geometricamente semelhante, com semelhança dinâmica completa, de um vertedouro a escoamento livre, em escala 1:9. Nesse caso, se a velocidade próxima à crista do vertedouro no modelo for de 0,3 m/s, então a velocidade correspondente no protótipo, em m/s, será igual a

(A) 0,03.

(B) 0,1.

(C) 0,9.

(D) 1.

(E) 2,7.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício, estamos trabalhando o caso mais usado em MecFlu: a semelhança dinâmica!

O enunciado garante que há semelhança dinâmica completa. Ou seja, podemos igualar os números adimensionais, além de usar o fator de escala da geometria. :D

O fator de escala foi dado e é 1:9. Com isso, já podemos dizer que o comprimento do protótipo é nove vezes o comprimento do modelo.

L p = 9 L m

Beleza! Agora precisamos escolher um número adimensional para igualar. Como se trata de um escoamento livre, vamos na nossa tabela de números adimensionais e vemos que o número de Froude é importante para esse tipo de escoamento

Como temos semelhança completa:

F r m = F r p

Pela tabela:

V m 2 g L m = V p 2 g L p

Substituindo o fator de escala e a velocidade do modelo,

0,3 2 g L m = V p 2 g . 9 L m

Simplificando:

0,09 = V p 2 9

V p = 9 . 0,09

V p = 0,9   m / s

A velocidade do protótipo é 0,9 m/s, como diz a letra C

Resposta

(C) 0,9.

Exercício Resolvido #3

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 347, ex. P 5.84

(Adaptada) O protótipo da estrutura de uma plataforma oceânica deve enfrentar correntes de 150 cm/s e ondas com períodos de 12 s e 3 m de altura. Se um modelo na escala de 1:15 é testado em um canal de ondas, que velocidade de corrente deve ser encontrada no modelo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse exercício quer calcular a velocidade do fluido que passa por uma plataforma oceânica. Nesse tipo de situação temos um escoamento com superfície livre e podemos usar o número de Froude.

Primeiro, vamos considerar semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo. Assim, poderemos calcular a a velocidade porque vamos igualar os números de Froude nos dois casos :D

Já que estamos falando muito nele, vou apresentar haha

F r =   V 2 g L

Ou, então

F r =   V g L

Beleza, então igualando Froude do modelo e do protótipo

F r m = F r p

V m g L m = V p g L p

Dá para simplificar

V m V p = L m L p

Bem, até aí, sabemos a velocidade do protótipo, que é

V p = 150 c m s = 1,5 m s

Para achar a velocidade no modelo, precisamos da relação entre os comprimentos. No enunciado é 1:15, logo

L m L p = 1 1 5

Substituindo

V m 1,5 = 1 15

Com isso, conseguimos calcular a velocidade no modelo

V m ≅ 0,39   m / s

Resposta

V m ≅ 0,39   m / s

Exercício Resolvido #4

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 347, ex. P 5.80

O protótipo de uma embarcação de 35 m é projetado para uma velocidade de cruzeiro de 11 m/s (em torno de 21kn). Seu arrasto deve ser simulado em um modelo de 1 m de comprimento, em um tanque de reboque. Para a escala de Froude, encontrar (a) a velocidade de reboque, (b) a razão entre os arrastos do protótipo e do modelo (c) a razão entre as potências do protótipo e do modelo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa! :D Temos aqui um modelo para fazer um protótipo de embarcação.

Para passar de um para o outro e descobrir velocidade, força e potência, vamos considerar que eles são similares dinamicamente, certo? o/

Considerando essa semelhança dinâmica, podemos usar a escala de Froude dita no enunciado. Ou seja: vamos igualar o número de Froude do protótipo e do modelo para encontrar a velocidade!

Lembrando que o número de Froude é essa carinha aqui:

F r =   V 2 g L

Ou, podemos escrever também:

F r =   V g L

E o número de Froude do modelo é igual ao do protótipo:

F r m = F r p

V m g L m = V p g L p

Reorganizando isso aí e simplificando a gravidade:

V m V p = L m L p

Sabemos do enunciado que a razão entre os comprimentos L é:

L m L p = 1 35

Então:

V m V p = L m L p = 1 35

Já que o protótipo é projetado para velocidade 11 m/s, a velocidade do modelo é:

V m = 11 1 35 = 1,86   m / s

Passo 2

Para encontrar a razão entre as forças de arrasto do protótipo e do modelo, vamos usar o número adimensional coeficiente de arrasto C D .

Lembrando que consideramos no Passo 1 semelhança dinâmica. É por isso que podemos igualar o C D também, assim como fizemos com Froude.

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Igualando:

F D m 1 2 ρ V m 2 A m = F D p 1 2 ρ V p 2 A p

Reorganizando a equação para colocar a razão que queremos encontrar do lado esquerdo, vamos ter:

F D m F D p = 1 2 ρ V m 2 A m 1 2 ρ V p 2 A p

Como nos dois casos é o mesmo fluido (mesma massa específica), podemos simplificar assim:

F D m F D p = V m 2 A m V p 2 A p = V m V p 2 A m A p

No Passo 1, descobrimos a razão entre as velocidades

F D m F D p = 1 35 2 A m A p

Para encontrar a relação entre as áreas (área projetada na direção do escomento), vamos considerar uma embarcação com essa área quadrada, já que só temos a informação de comprimento da geometria.

F D m F D p = 1 35 L m L p 2

A relação entre os comprimentos é 1:35. Logo,

F D m F D p = 1 35 1 35 2

F D m F D p = 1 428 7 5

Então, a razão entre os arrastos do modelo e do protótipo é 1:42875

Passo 3

Finalmente, vamos achar a razão entre as potências. Lembrando que a potência pode ser definida como força vezes a velocidade

P = F V

Repara que a potência não é um número adimensional. Vamos achar a razão entre elas, substituindo os valores de força e velocidade que encontramos entre os passos.

P m = F m V m

P p = F p V p

Então a razão é

P m P p = F m V m F p V p = F m F p V m V p

Dos passos 1 e 2, encontramos as razões entre as velocidades e forças

P m P p = 1 428 7 5 1 35

Logo, a razão entre as potências é

P m P p ≈ 1 253 652

Resposta

V m = 1,86   m / s

F D m F D p = 1 428 7 5

P m P p ≈ 1 253 652

Exercício Resolvido #5

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 340, ex. P 5.4

Quando testada em água a 20°C escoando a 2 m/s, uma esfera de 8 cm de diâmetro apresenta um arrasto de 5 N. Qual será a velocidade e a força de arrasto sobre um balão meteorológico de 1,5 m de diâmetro atracado no ar nas condições padrão ao nível do mar sob condições dinamicamente semelhantes?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro passo que vamos fazer é organizar o que foi dado e o que foi pedido. Vamos lá? É importante notar que entre modelo e protótipo temos fluidos diferentes nesse exercício!

Água a 20°C (fluido usado no teste – modelo) :

ρ m ≅ 1000   k g / m 3

μ m ≅ 0,001   P a . s  

Ar a nível do mar (fluido usado no balão – protótipo) :

ρ p ≅ 1 , 2255   k g / m 3

μ p ≅ 1 , 78 . 10 - 5   P a . s  

Velocidade de teste (modelo) do fluido

V m   =   2   m / s

Diâmetro da esfera de teste (modelo)

D m   =   8   c m   =   0,08   m

Diâmetro do balão (protótipo)

D p   =   1,5   m