Análise por Semelhança

Teoria Completa

Análise Dimensional e Similaridade

“Senhores passageiros, bem-vindos a bordo!”

E aííí, passageiro do Responde Aí! Você já parou para pensar como os pesquisadores começam em escala de laboratório (com modelos bem pequenininhos) e depois surge um aviãozão enorme? Daqueles que dá um friozinho na barriga só de pensar em decolar, hahaha

Para tranquilizar seu coração, o que está por trás disso não é mágica não. É uma técnica muito útil chamada Análise por Semelhança ou Similaridade.

Aqui em Mecânica dos Fluidos, vimos que o escoamento depende de muitas variáveis, certo? Viscosidade, massa específica, diâmetro, pressão, ... enfim! Dependendo do escoamento que estamos analisando, teremos certas variáveis que serão importantes

Na prática, o que acontece é o seguinte. Antes de fazer o protótipo de um avião, seria legal fazer um modelinho pequeno para testar. Mas e aí? Qual tamanho fazer? Se a força é 10 N no modelo, quanto será a força no protótipo?

Como nem tudo na vida dá para resolver por regra de 3, é aí que entra a Análise por Semelhança! Ela dá um jeito de comparar as variáveis no modelo e no protótipo. 😊 E assim, fazendo experimentos com o aviãozinho, conseguimos projetar a força no aviãozão.

Existem 3 principais tipos de semelhança e em um deles (o nosso principal e queridinho aqui) os números adimensionais vão resolver nossos problemas!

Tipos de semelhança

Os 3 tipos de semelhança (similaridade) são: geométrica, cinemática e dinâmica.

Semelhança geométrica

Para que o modelo (objeto menor) e o protótipo (objeto maior) tenham semelhança geométrica, eles precisam ter

  • o mesmo formato e
  • além disso, todas as dimensões do modelo devem ser relacionadas com as dimensões correspondentes no protótipo pelo mesmo fator de escala (exemplo em um retângulo: se a largura dobrou, o comprimento tem que dobrar também!)

Um exemplo de similaridade geométrica são as maquetes!

Semelhança cinemática

Para dois escoamentos com similaridade cinemática, as velocidades em pontos correspondentes devem ter a mesma direção e sentido; já o módulo dessas velocidades mudam por um mesmo fator de escala :D

Com isso, em escoamentos semelhantes cinematicamente, as linhas de corrente estão relacionadas por um fator de escala constante. E o regime de escoamento é o mesmo 😉

Importante: escoamentos com semelhança cinemática tem semelhança geométrica.

Semelhança dinâmica

Por último, a semelhança mais desejada pelos pesquisadores do mundo inteiro, hahaha, a semelhança dinâmica. Qual é o diferencial dela?

A similaridade dinâmica acontece quando os mesmos tipos de forças no modelo são paralelos no protótipo e além disso, em todos os pontos correspondentes, os módulos das forças são relacionados por um mesmo fator de escala.

Importante: para que um escoamento tenha semelhança dinâmica, ele também tem semelhança cinemática e semelhança geométrica. A figura abaixo mostra o esquema:

A semelhança geométrica sozinha não garante a semelhança cinemática. Nem a semelhança cinemática sozinha garante a dinâmica. Combinado? o/

Similaridade completa

A similaridade completa é quando temos os três tipos de semelhança juntos: geométrica, cinemática e dinâmica. Como a dinâmica engloba as outras 2, ela será a preferida. 😊

Então, quando o enunciado diz que há similaridade completa, ou então, que podemos considerar que entre o modelo e o protótipo temos semelhança dinâmica, o que isso significa?

Significa que podemos igualar os números adimensionais do modelo e do protótipo!! Exemplos:

R e m = R e p

F r m = F r p

C D m = C D p

E como os números adimensionais tem seus significados físicos, vamos conseguir relacionar as grandezas do modelo com as do protótipo. :D

Não dá para fazer por regra de 3 simplesmente, porque os números adimensionais mostram como é a influência de cada variável (se é diretamente proporcional, ou inversa, ao quadrado...). Isso é encontrado pelo Teorema Pi

E para te ajudar nos exercícios, aqui está uma lista dos números adimensionais mais usados em MecFlu! A dica é: ler o enunciado com carinho, anotar as variáveis informadas e as pedidas e escolher os números adimensionais que envolvam elas.

E é assim que damos o primeiro passo para projetar um avião. UAU! Vamos praticar isso aí? :)

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Exercício Resolvido #1

Concurso Público IFRS– Área Engenharia Mecânica - 2013

Para ser de utilidade, um teste de modelo deve resultar em dados que possam, por meio de transposição em escala, fornecer forças, quantidades de movimento e cargas dinâmicas que existiriam no protótipo em tamanho real. Uma ferramenta matemática largamente utilizada na determinação de parâmetros para modelos de projetos é a análise dimensional. Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre o modelo e o protótipo?

(A) Semelhança geométrica, semelhança cinemática e semelhança dinâmica

(B) Semelhança geométrica e semelhança cinemática

(C) Semelhança geométrica e semelhança dinâmica

(D) Semelhança cinemática e semelhança dinâmica

(E) Apenas a semelhança geométrica

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Passo 1

Opaaa! Vamos começar os exercícios de análise por semelhança. Para garantir que o nosso objeto estudado é seguro e funciona direitinho numa escala diferente, precisamos que ele tenha uma relação de semelhança completa com o modelo!

Como vimos na teoria, a semelhança geométrica garante que a geometria irá mudar por um fator de escala. Mas isso não quer dizer que as velocidades serão similares também...

Por isso, além da semelhança geométrica, precisamos garantir a semelhança cinemática entre modelo e protótipo. Assim, garantimos a mesma direção e sentido das velocidades correspondentes, e o módulo é mudado por um fator de escala de velocidade

Maaas, ainda não acabamos! Precisamos a semelhança entre as dinâmicas de força para ter similaridade completa. E é justamente que a semelhança dinâmica nos dá 😉

Agora sim, sabemos que as semelhanças geométrica, cinemática e dinâmica devem ser buscadas para ter semelhança completa entre modelo e protótipo. Logo, a alternativa correta é a A.

Resposta

(A) Semelhança geométrica, semelhança cinemática e semelhança dinâmica

Exercício Resolvido #2

Concurso INMETRO (CESPE/UNB) – Pesquisador-tecnologista em Metrologia e Qualidade. Área: Metrologia em Mecânica dos Fluidos – 2009.

Considere um modelo geometricamente semelhante, com semelhança dinâmica completa, de um vertedouro a escoamento livre, em escala 1:9. Nesse caso, se a velocidade próxima à crista do vertedouro no modelo for de 0,3 m/s, então a velocidade correspondente no protótipo, em m/s, será igual a

(A) 0,03.

(B) 0,1.

(C) 0,9.

(D) 1.

(E) 2,7.

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Passo 1

Nesse exercício, estamos trabalhando o caso mais usado em MecFlu: a semelhança dinâmica!

O enunciado garante que há semelhança dinâmica completa. Ou seja, podemos igualar os números adimensionais, além de usar o fator de escala da geometria. :D

O fator de escala foi dado e é 1:9. Com isso, já podemos dizer que o comprimento do protótipo é nove vezes o comprimento do modelo.

L p = 9 L m

Beleza! Agora precisamos escolher um número adimensional para igualar. Como se trata de um escoamento livre, vamos na nossa tabela de números adimensionais e vemos que o número de Froude é importante para esse tipo de escoamento

Como temos semelhança completa:

F r m = F r p

Pela tabela:

V m 2 g L m = V p 2 g L p

Substituindo o fator de escala e a velocidade do modelo,

0,3 2 g L m = V p 2 g . 9 L m

Simplificando:

0,09 = V p 2 9

V p = 9 . 0,09

V p = 0,9   m / s

A velocidade do protótipo é 0,9 m/s, como diz a letra C

Resposta

(C) 0,9.

Exercício Resolvido #3

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 347, ex. P 5.84

(Adaptada) O protótipo da estrutura de uma plataforma oceânica deve enfrentar correntes de 150 cm/s e ondas com períodos de 12 s e 3 m de altura. Se um modelo na escala de 1:15 é testado em um canal de ondas, que velocidade de corrente deve ser encontrada no modelo?

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Passo 1

Esse exercício quer calcular a velocidade do fluido que passa por uma plataforma oceânica. Nesse tipo de situação temos um escoamento com superfície livre e podemos usar o número de Froude.

Primeiro, vamos considerar semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo. Assim, poderemos calcular a a velocidade porque vamos igualar os números de Froude nos dois casos :D

Já que estamos falando muito nele, vou apresentar haha

F r =   V 2 g L

Ou, então

F r =   V g L

Beleza, então igualando Froude do modelo e do protótipo

F r m = F r p

V m g L m = V p g L p

Dá para simplificar

V m V p = L m L p

Bem, até aí, sabemos a velocidade do protótipo, que é

V p = 150 c m s = 1,5 m s

Para achar a velocidade no modelo, precisamos da relação entre os comprimentos. No enunciado é 1:15, logo

L m L p = 1 1 5

Substituindo

V m 1,5 = 1 15

Com isso, conseguimos calcular a velocidade no modelo

V m ≅ 0,39   m / s

Resposta

V m ≅ 0,39   m / s

Exercício Resolvido #4

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 347, ex. P 5.80

O protótipo de uma embarcação de 35 m é projetado para uma velocidade de cruzeiro de 11 m/s (em torno de 21kn). Seu arrasto deve ser simulado em um modelo de 1 m de comprimento, em um tanque de reboque. Para a escala de Froude, encontrar (a) a velocidade de reboque, (b) a razão entre os arrastos do protótipo e do modelo (c) a razão entre as potências do protótipo e do modelo.

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Passo 1

Opa! :D Temos aqui um modelo para fazer um protótipo de embarcação.

Para passar de um para o outro e descobrir velocidade, força e potência, vamos considerar que eles são similares dinamicamente, certo? o/

Considerando essa semelhança dinâmica, podemos usar a escala de Froude dita no enunciado. Ou seja: vamos igualar o número de Froude do protótipo e do modelo para encontrar a velocidade!

Lembrando que o número de Froude é essa carinha aqui:

F r =   V 2 g L

Ou, podemos escrever também:

F r =   V g L

E o número de Froude do modelo é igual ao do protótipo:

F r m = F r p

V m g L m = V p g L p

Reorganizando isso aí e simplificando a gravidade:

V m V p = L m L p

Sabemos do enunciado que a razão entre os comprimentos L é:

L m L p = 1 35

Então:

V m V p = L m L p = 1 35

Já que o protótipo é projetado para velocidade 11 m/s, a velocidade do modelo é:

V m = 11 1 35 = 1,86   m / s

Passo 2

Para encontrar a razão entre as forças de arrasto do protótipo e do modelo, vamos usar o número adimensional coeficiente de arrasto C D .

Lembrando que consideramos no Passo 1 semelhança dinâmica. É por isso que podemos igualar o C D também, assim como fizemos com Froude.

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Igualando:

F D m 1 2 ρ V m 2 A m = F D p 1 2 ρ V p 2 A p

Reorganizando a equação para colocar a razão que queremos encontrar do lado esquerdo, vamos ter:

F D m F D p = 1 2 ρ V m 2 A m 1 2 ρ V p 2 A p

Como nos dois casos é o mesmo fluido (mesma massa específica), podemos simplificar assim:

F D m F D p = V m 2 A m V p 2 A p = V m V p 2 A m A p

No Passo 1, descobrimos a razão entre as velocidades

F D m F D p = 1 35 2 A m A p

Para encontrar a relação entre as áreas (área projetada na direção do escomento), vamos considerar uma embarcação com essa área quadrada, já que só temos a informação de comprimento da geometria.

F D m F D p = 1 35 L m L p 2

A relação entre os comprimentos é 1:35. Logo,

F D m F D p = 1 35 1 35 2

F D m F D p = 1 428 7 5

Então, a razão entre os arrastos do modelo e do protótipo é 1:42875

Passo 3

Finalmente, vamos achar a razão entre as potências. Lembrando que a potência pode ser definida como força vezes a velocidade

P = F V

Repara que a potência não é um número adimensional. Vamos achar a razão entre elas, substituindo os valores de força e velocidade que encontramos entre os passos.

P m = F m V m

P p = F p V p

Então a razão é

P m P p = F m V m F p V p = F m F p V m V p

Dos passos 1 e 2, encontramos as razões entre as velocidades e forças

P m P p = 1 428 7 5 1 35

Logo, a razão entre as potências é

P m P p ≈ 1 253 652

Resposta

V m = 1,86   m / s

F D m F D p = 1 428 7 5

P m P p ≈ 1 253 652

Exercício Resolvido #5

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 340, ex. P 5.4

Quando testada em água a 20°C escoando a 2 m/s, uma esfera de 8 cm de diâmetro apresenta um arrasto de 5 N. Qual será a velocidade e a força de arrasto sobre um balão meteorológico de 1,5 m de diâmetro atracado no ar nas condições padrão ao nível do mar sob condições dinamicamente semelhantes?

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Passo 1

Primeiro passo que vamos fazer é organizar o que foi dado e o que foi pedido. Vamos lá? É importante notar que entre modelo e protótipo temos fluidos diferentes nesse exercício!

Água a 20°C (fluido usado no teste – modelo) :

ρ m ≅ 1000   k g / m 3

μ m ≅ 0,001   P a . s  

Ar a nível do mar (fluido usado no balão – protótipo) :

ρ p ≅ 1 , 2255   k g / m 3

μ p ≅ 1 , 78 . 10 - 5   P a . s  

Velocidade de teste (modelo) do fluido

V m   =   2   m / s

Diâmetro da esfera de teste (modelo)

D m   =   8   c m   =   0,08   m

Diâmetro do balão (protótipo)

D p   =   1,5   m

Força de arrasto no caso teste (modelo)

F D m   =   5   N

Com todos esse valores, precisamos calcular velocidade e força de arrasto no protótipo. Como há semelhança dinâmica, podemos igualar números adimensionais.

Passo 2

Pela similaridade dinâmica (e consequentemente cinemática) o regime de escoamento é o mesmo. Um número adimensional que diz respeito ao tipo de escoamento e que envolve velocidades e demais variáveis que já conhecemos é o número de Reynolds

R e =   ρ V D μ

Igualando

R e m = R e p

ρ m V m D m μ m =   ρ p V p D p μ p

Substituindo o que já sabemos do enunciado

1000 × 2 × 0,08 0,001 =   1,2255 × V p × 1,5 1,78 . 10 - 5

Então, a velocidade do ar no balão (protótipo) é

V p ≅ 1,55   m / s

Opa! Encontramos a primeira pergunta do exercício

Passo 3

Para responder a segunda pergunta (Qual a força de arrasto no protótipo?) precisamos de um número adimensional que a englobe, certo?

Esse número é o coeficiente de arrasto.

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Sendo V a velocidade do fluido e A a área projetada na direção do escoamento

A área projetada de uma esfera é π R 2 ou π d 2 / 4 . Então, para o modelo, temos a seguinte área

A m = π d m 2 4

Por sua vez, a área projetada do balão também é um círculo. Logo, para o protótipo,

A p = π d p 2 4

Pela semelhança dinâmica, igualamos o coeficiente de arrasto no modelo e no protótipo

C D m = C D p

F D m 1 2 ρ m V m 2 A m = F D p 1 2 ρ p V p 2 A p

F D m ρ m V m 2 = F D p ρ p V p 2 A p

Substituindo os valores que conhecemos até agora

5 1000 × 2 2 × π d m 2 4 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × π d p 2 4

Simplificando

5 1000 × 2 2 × d m 2 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × d p 2

Substituindo os diâmetros

5 1000 × 2 2 × 0,08 2 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × 1,5 2

Fazendo as contas

F D p ≈ 1,3   N

E assim, encontramos a força de arrasto no balão 😉

Resposta

V p ≅ 1,55   m / s

F D p ≈ 1,3   N

Exercício Resolvido #6

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 347, ex. P 5.81

(Adaptada) Um avião, de comprimento total de 16,8 m, é projetado para voar a 680 m/s a uma altitude padrão de 8.000 m. Um modelo na escala 1:30 deve ser testado em um túnel de vento com hélio pressurizado a 20°C. Qual é a pressão adequada do túnel em atm?

Dica: para similaridade em escoamentos supersônicos, usamos os números adimensionais Reynolds e Mach.

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Passo 1

Vamos aprender a usar um novo número adimensional nesse exercício: o número de Mach

Mas antes de usá-lo vamos identificar as variáveis no modelo e no protótipo

Protótipo (avião):

L p = 16,8   m

V p = 680   m / s

- o protótipo está submetido ao ar a 8000 m de altitude, com isso

ρ p = 0,525   k g / m ³

μ p = 1,53 × 10 - 5 P a . s

a p = 308   m / s (velocidade do som)

Modelo:

L m / L p = 1 / 3 0

- o modelo está submetido ao hélio a 20°C

μ m = 1,97 × 10 - 5 P a . s

a m = 1005   m / s (velocidade do som)

Não conhecemos a velocidade do modelo, nem a massa específica e queremos saber a pressão. Então, a estratégia é encontrar a velocidade pelo número de Mach, a velocidade por Reynolds e assim encontrar a pressão pela equação dos gases (pV=nRT) 😉

Mas calma, porque vamos passo a passo!

Passo 2

O número de Mach, conforme vimos na tabela de número adimensionais da teoria, é

M a =   V a = v e l o c i d a d e   d o   e s c o a m e n t o v e l o c i d a d e   d o   s o m

Considerando a similaridade de escoamento supersônico e seguindo a dica do enunciado, vamos igualar o Mach do modelo e do protótipo

M a m = M a p

V m a m = V p a p

Substituindo os valores que conhecemos

V m 1005 = 680 308

V m ≅ 2218,8   m / s

Encontramos então a velocidade do modelo. Super alta! Vamos usá-la em Reynolds!

Passo 3

Também por similaridade podemos igualar o número de Reynolds do protótipo e do modelo. Assim, vamos descobrir a massa específica do Hélio nas condições do escoamento

Lembrando de Reynolds:

R e =   ρ V L μ

Igualando

R e m = R e p

ρ m V m L m μ m = ρ p V p L p μ p

Substituindo

ρ m × 2218,8 × L m 1,97 × 10 - 5 = 0,525 × 680 × L p 1,53 × 10 - 5

Reorganizando

ρ m L m L p = 0,525 × 680 × 1,97 × 10 - 5 2218,8 × 1,53 × 10 - 5

ρ m 1 30 = 0,525 × 680 × 1,97 2218,8 × 1,53

Com isso, encontramos que a massa específica do hélio nessas condições é

ρ m ≅ 6,21   k g / m ³

Passo 4

Agora que sabemos a massa específica do hélio, é hora de encontrar o que foi pedido no enunciado: a pressão. Para isso, vamos considerar a equação dos gases

p V = n R T

Isolando a pressão

p = n V R T

Sabendo que o número de mols é a massa sobre massa molar

n   =   m / M M

p = m V R T M M

Assim, relacionamos pressão e massa específica!

p m = ρ m R T m M M

Usando a constante do gás Hélio R a 20°C (293 K)

p m = 6,21 × 2077 × 293

p m = 3,77   M P a

E assim encontramos a pressão do Hélio nas condições do modelo!

Resposta

p m = 3,77   M P a

Exercício Resolvido #7

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 345, ex. P 5.67

Um estudante precisa medir o arrasto sobre um protótipo de dimensão característica d p movendo-se à velocidade U p em ar nas condições atmosféricas padrão. Ele constrói um modelo de dimensão característica d m , de forma que a relação d p / d m é um certo fator f. Ele então mede o arrasto sobre o modelo em condições dinamicamente semelhantes (também com ar nas condições atmosféricas padrão). O estudante afirma que a força de arrasto sobre o protótipo será idêntica àquela medida no modelo. Essa afirmação está correta? Explique.

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Passo 1

Nesse exercício, temos que comparar a força de arrasto F D do modelo com a força de arrasto do protótipo.

O número adimensional que tem essa variável é o coeficiente de arrasto C D ! Olha aí

C D = F D 1 2 ρ U 2 A

Sendo ρ a massa específica do fluido, U a velocidade do fluido (que no caso é o ar) e A a área projetada do objeto na direção do escoamento.

Como o enunciado diz que as condições entre modelo e protótipo são dinamicamente semelhantes, podemos igualar os coeficientes de arrasto

C D m = C D p

Assim,

F D m 1 2 ρ U 2 A m = F D p 1 2 ρ U 2 A p

Como no modelo e no protótipo, a massa específica se mantém pois é o mesmo fluido, podemos simplificar

F D m U m 2   A m = F D p U p 2   A p

Para encontrar a relação entre as forças de arrasto, precisamos saber as relações entre as velocidades e entre as áreas.

Passo 2

Começando pelas velocidades. :D

O enunciado garante que temos semelhança dinâmica, certo? Com isso, temos semelhana cinemática, o que significa que o regime de escoamento se mantém. Logo, o número de Reynolds no protótipo e no modelo é o mesmo!

R e m = R e p

Sendo que

R e =   ρ U d μ

Substituindo

ρ U m d m μ =   ρ U p d p μ

Como é o mesmo fluido nos dois casos, a massa específica e a viscosidade dinâmica se mantém e podemos cortar

U m d m =   U p d p

Daí, vamos lembrar que o enunciado deu a relação entre os diâmetros

d p d m = f

O que nos dá

U m =   U p . f

Logo, a relação entre as velocidades é

U m U p = f

Substituindo na nossa igualdade entre os coeficientes de arrasto CD

F D m U m 2   A m = F D p U p 2   A p ⇒ F D m U m U p 2   A m = F D p A p

Substituindo a relação das velocidades

F D m f 2   A m = F D p A p

Passo 3

Beleza! Agora é hora de analisar as áreas e assim encontrar a relação entre elas. Como a dimensão característica é d (ou seja, um diâmetro), o modelo e o protótipo são esferas!

A área projetada da esfera é π R 2 ou π d 2 / 4 . Substituindo

F D m f 2 .   π ( d m ) 2 4 = F D p π ( d p ) 2 4

Simplificando

F D m f 2 ( d m ) 2 = F D p ( d p ) 2

Lembrando que a relação entre os diâmetros é

d p / d m = f

d p = f d m

Substituindo

F D m f 2 ( d m ) 2 = F D p ( f d m ) 2

F D m f 2 = F D p f 2

Finalmente

F D m = F D p

Logo, o estudante estava certo! A força de arrasto do modelo é a mesma força de arrasto do protótipo!

Resposta

Sim, o estudante estava certo, pois pela análise por semelhança (dinâmica) verificamos que para esse caso, as forças de arrasto no modelo e no protótipo são iguais.

Exercício Resolvido #8

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.34

Com uma boa aproximação, a condutividade térmica k de um gás depende apenas da massa específica ρ , do livre caminho médio l , da constante R do gás e da temperatura absoluta T . Para o ar a 20 ℃ e 1   a t m , k   ≈ 0,026   W / ( m . K ) e l   ≈   6,5 E-8 m. Use essas informações para determinar o valor de k para o hidrogênio a 20 ℃ e 1   a t m se l   ≈ 1,2 E-7 m.

ρ a r   =   1,205   k g / m ³

R a r   =   287   m ² / s ² ⋅ K

ρ h i d r o g ê n i o   =   0,0839   k g / m ³

R h i d r o g ê n i o   =   4124   m ² / s ² ⋅ K

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Passo 1

Esse problema envolve encontrar o grupo pi e também aplicar a análise por semelhança! Então, vamos lá encontrar o grupo pi!

Nosso problema pode ser escrito como:

k = f ρ , l , R , T

De dimensões:

k = M L T - 3 Θ - 1

ρ = M L - 3

l = L

R = L 2 T - 2 Θ - 1

T = Θ

Temos cinco variáveis e quatro dimensões, logo temos pelo menos um grupo pi:

Isso não nos dá escolha a não ser ρ , l , R , T