Equações Adimensionalizadas

Teoria Completa

Aplicação da Análise Dimensional nas equações básicas

Fala pessoal!

No assunto anterior a gente viu como usar o teorema Pi para gerar fatores adimensionais de expressões e como isso poderia reduzir a quantidade de experimentos a serem realizados.

Mas e se você tiver uma equação de algum fenômeno e queria adimensionalizá-la?

Pra a gente entender na prática como isso funciona, vamos pegar uma equação lá da física, a Equação do movimento uniformemente variável (MUV), carinhosamente chamada de Equação horária da posição:

S = S 0 + V 0 t + a t 2 2

Nessa equação temos a posição em função da posição inicial, velocidade inicial,tempo e aceleração de um objeto qualquer. Escrevendo isso de uma forma mais bonitinha, temos:

S = f ( S 0 , V 0 , t , a )

Temos 5 variáveis com as seguintes dimensões:

S = L

S 0 = L

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

t = T

São 2 dimensões e 5 variáveis, logo segundo o Teorema Pi, devemos montar 3 grupos adimensionais. Cada grupo vai ter uma variável só dele, as outras duas variáveis vão ser repetidas

Escolhi S 0 e V 0 como variáveis repetitivas e S ,   a   e   t como variáveis fixas, para cada grupo Pi, com isso chegamos nesses 3 grupos adimensionais que vamos chamar de S * ,   t * e   a * .

Π 1 = S * = S S 0 ,     Π 2 = t * = V 0 S 0 t ,     Π 3 = a * = a S 0 V 0 ²

Agora, com os grupos adimensionais em mãos que a brincadeira começa! Vamos pergar esses grupos, e reescrever eles, isolando as variáveis fixas:

S = S * S 0

t = t * S 0 V 0

a = a * V 0 ² S 0

Substituindo na Equação horária da posição, temos:

( S * S 0 ) = S 0 + V 0 ( t * S 0 V 0 ) + 1 2 ( a * V 0 2 S 0 ) ( t * 2 S 0 2 V 0 2 )

Fazendo os devidos cancelamentos e divisões:

S * = 1 + t * + 1 2 a * t * 2

Esta é a equação adimensionalizada do MUV e nela podemos ver o efeito da aceleração a representada em a * na posição.

Em todas equações tentaremos definir os Pis e substituir com calma na equação, com a prática encontrar os Pis será cada vez mais tranquilo.

Então vamos lá praticar, não deixe de fazer nenhum exercício por nesta parte eles são absurdamente importantes pra entendermos a adimensionalização de equações.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

A Equação de Torricelli é dada por:

V ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Encontre a sua forma adimensional.

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Passo 1

Então, primeiro exemplo bem simples mas que mostra muito da mecânica que vamos utilizar.

Podemos dizer que esta função é representada por:

V = f ( V 0 , a , ∆ S )

Temos quatro variáveis, com as dimensões:

V = L T - 1

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

∆ S = L

Logo temos duas dimensões L e T . Portanto temos pelo menos dois grupos pi.

Passo 2

Vamos aplicar o que aprendemos na teoria anterior:

V 0 a ∆ S b V = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 1 = L 0 T 0

Logo temos o seguinte sisteminha:

a + b + 1 = 0 - a - 1 = 0

Logo a = - 1 e b = 0

Chegamos ao primeiro Pi que vamos chamar de V *

V * = V V 0

O segundo, aplicando o mesmo raciocínio para a :

V 0 a ∆ S b a = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 2 = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - a - 2 = 0

a = - 2 ,   b = 1

Logo o segundo adimensional é:

a * = ∆ S V 0 2 a

Passo 3

Portanto para adimensionalizarmos nossa equação, vamos começar a substituir estes adimensionais da seguinte maneira:

V * = V V 0 é o mesmo que V = V * V 0 :

V * V 0 ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Logo ficamos com a equação:

V * 2 = V 0 2 V 0 2 + 2 a ∆ S V 0 2

V * 2 = 1 + 2 a ∆ S V 0 2

Repare que a * aparece também!

Olha só esse termo em parênteses:

V * 2 = 1 + 2 ∆ S V 0 2 a

Logo,

V * 2 = 1 + 2 a *

Que é nossa equação adimensionalizada.

Observação: esse método vale sempre, basta identificar as variáveis mais simples de se substituir nas equações, neste caso era V .

Resposta

V * 2 = 1 + 2 a *

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Agora que já vimos como adimensionalizar equações usando o Teorema Pi, vamos adimensionalizar a primeira equação básica de Mecânica dos Fluidos: a Equação da Continuidade:

∇ ∙ V = 0

Sendo um escoamento com velocidade no infinito V ∞ ao redor de um cilindro de diâmetro D .

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Passo 1

Beleza galera, vamos tentar escrever esse enunciado como se fosse um problema de grupos adimensionais, porém ele tem uma sacada.

Todo problema de adimensionalização em MecFlu tem essas variáveis características, seriam como nossas condições do contorno do problema, no caso V ∞ e D .

Então nossa função fica:

∇ ∙ V = f ( V ∞ , L )

Ué mas isso é diferente do outro exercício!

Calma, no outro exercício não estávamos lidando com equações diferenciais. Que lidam com valores infinitésimos.

Mas identificadas as variáveis características conseguimos resolver!

Passo 2

Vamos aplicar o teorema.

Temos 3 variáveis e 2 dimensões, L e T .

Logo temos apenas um grupo Pi.

V ∞ a D b ∇ ∙ V = L 0 T 0

Qual a unidade de ∇ ∙ V ?

Lembre-se que isso pod ser escrito como:

∂ ∂ x , ∂ ∂ y ∙ u , v

Ou seja um produto de

1 L ∙ L T = 1 T = T - 1

Logo o problema fica como:

L T - 1 a L b T - 1 = L 0 T 0

Temos o sistema:

a + b = 0 - a - 1 = 0

Onde a = - 1 e b = 1

Portanto o adimensional é:

∇ * ∙ V * = D V ∞ ∇ ∙ V

Passo 3

Para substituirmos na equação basta escrever:

∇ ∙ V = V ∞ D ∇ * ∙ V *

Substituindo:

∇ ∙ V = 0

V ∞ D ∇ * ∙ V * = 0

Como D e V ∞ são constantes, podemos cancelar:

∇ * ∙ V * = 0

Observação: Por que escrevemos ∇ * ∙ V * e não ∇ ∙ V * ?

Simplesmente por que é mais comum representar dessa forma.

Existem deduções que pulam algumas etapas do teorema Pi, que não acho muito triviais para quem acabou de começar a estudar adimensionalização. O passo a passo do teorema Pi é algo bem mecânico e quase infalível.

É o que eu falei: com a prática você já vai identificar alguns grupos pis só olhando para as variáveis. E talvez nem aplique o teorema diretamente.

Resposta

∇ * ∙ V * = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:

ρ g → - ∇ p + μ ∇ ² V   = ρ d V d t

Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:

ρ g - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ d v d t

Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento L , uma velocidade de entrada U e uma massa específica ρ .

Quais são os fatores adimensionais que apareceram?

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Passo 1

Então pessoal vamos com calma, vamos encontrar as variáveis do problema:

v , x , y , z , t , ρ , p , g , μ

Vamos dizer que a função que temos é

v = f ( x , y , z , t , ρ , μ , g , p )

Temos então nove variáveis. Com as seguintes diemensões:

v = L T - 1

x = L

y = L

t = T

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

g = L T - 2

p = M L - 1 T - 2  

Logo temos apenas 3 dimensões, o que nos dá pelo menos 6 grupos pis.

Sei que parece muito mas veremos que é muito mais simples. Lembre-se de usar as variáveis repetitivas U ,   L e ρ .

Passo 2

Encontraremos o primeiro grupo pi, que arbitrariamente será o de g :

U a L b ρ c g = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L T - 2 = M 0 L 0 T 0

Lembrando que montamos o sistema igualando os expoentes de M , L , T . Logo o sistema fica:

a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0 c = 0

Neste caso: c = 0 , a = - 2 , b = 1 .

Nosso primeiro adimensional é

g * = g L U 2

Adimensionaremos agora o tempo t :

U a L b ρ c t = M 0 L 0 T 0