Teorema Pi de Buckingham

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Teoria

Fala aí! Bora aprender TUDO sobre o Teorema de Pi Buckingham?!

Usamos o Teorema de Pi, para os íntimos, para encontrar os números adimensionais! Que como o próprio nome diz, são números sem dimensão. Ou seja, eles não tem unidade!

Vem alguma coisa na sua mente quando eu falo de número adimensional?! Talvez o número de Reynols ?

Ou o Coeficiente de Arrasto, :

São as relações entre números adimensionais que permitem a construção de modelos! Isso permite na prática que antes de fazer o protótipo de um avião, pode ser feito um modelo com semelhanças para teste! 😍 ✈️😍 ✈️😍 ✈️

Nesse vídeo a gente explica tudo o que você precisa saber sobre o Teorema Pi de Buckingham 👇

Ou, siga me os bons no textinho! 😉

Passo a Passo para encontrar Números Adimensionais

Que tal a gente aprender como funciona esse tal de Teorema Pi na prática, com um exemplinho?!

-Vamos que vamos então!

Imagina que somos pesquisadores e queremos estudar o escoamento dentro de um cilindro liso. Mais especificamente a força de arraste , conhecida também como resistência ao escoamento.

Precisamos então encontrar os grupos adimensionais adequados para descrever esse sistema!

Passo 1: Identificar as variáveis envolvidas no problema.

A primeira coisa que precisamos fazer é, identificar as variáveis envolvidas no problema. Quem são? Quantas delas tem dimensão?

O problema já deu a dica que queremos avaliar a força de arraste, então temos:

Isso quer dizer que temos variáveis dimensionais, ou seja, que tem alguma dimensão: .

Passo 2: Escrever as Dimensões das Variáveis

Depois vamos, encontrar as dimensões dessas variáveis através das dimensões básicas: massa , comprimento , tempo e temperatura :

Podemos dizer que neste problema temos variáveis e dimensões.

Passo 3: Calcular no número de grupos

O número de grupos pi nada mais é do que a quantidade de grupos adimensionais que vamos precisar para descrever o problema!

Para isso fazemos:

úáãúõ

No nosso caso temos:

Isso significa que temos pelo menos  grupos .

Passo 4: Definir variáveis Repetidas

Aqui precisamos encontrar 3 variáveis que NÃO formem um adimensional, em termos matemáticos:


Ou seja tem mais de uma solução além da trivial .

-Mas por que 3?

Pois é o número de dimensões nesse problema!

Depois disso adicionaremos uma das variáveis que forma um pi, ou seja:

Para o nosso exemplo, vamos testar como variáveis repetitivas (Repetitivas porque elas vão aparecer em todos nossos números adimensionais). Vamos colocar

Sobrou a variável , então para nosso segundo grupo teremos:

Passo 5: Análise Dimensional

Agora sim é hora de colocar a mão na massa!

Primeiro Grupo

Lembrando que temos:

Substituindo as dimensões:

Isso é igual a dizer que:

Agrupando os termos:

Isso nos da um sistema de três equações de três incógnitas:

Tudo o que precisamos então é resolver o sisteminha! Com isso achamos:

Lembrando que:

Substituindo e que encontramos no sistema:

Beleza isso é adimensional! Show de bola! Encontramos um grupo pi 😊

Mas podemos deixar mais bonitinho:

Que é o inverso do coeficiente de atrito , como não temos dimensão podemos “brincar” com as potências:

Segundo Grupo

Agora fazemos o mesmo processo para achar o segundo grupo pi:

E chegamos ao seguinte resultado:

Escrevemos o grupo pi:

Prontinho!!!

Agora se liga nesse exercício resolvido em vídeo que a gente separou pra você:

Bora praticar com mais exercícios!?

Passo 1: Identificar as variáveis envolvidas no problema.

Passo 2: Escrever as Dimensões das Variáveis

Passo 3: Calcular no número de grupos

Passo 4: Definir variáveis Repetidas

Passo 5: Análise Dimensional

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Expresse as dimensões das variáveis massa específica ρ e densidade relativa d em função das dimensões básicas.

Passo 1

Opa, tudo certinho? Se não tiver, vai ficar tudo certo depois que a gente resolver esse exercício! Bora lá? o/

Descobrir as dimensões das variáveis é um dos passos para encontrar números adimensionais. Então vamos exercitar esse lance de encontrar dimensões! :D

O enunciado pediu para expressar as dimensões em função das dimensões básicas. Quem elas são? Tcharaaaam:

M   ( m a s s a ) L   ( c o m p r i m e n t o ) T   t e m p o Θ ( t e m p e r a t u r a )

Passo 2

Agora é hora de encontrar a dimensão de cada variável! :D

Uma ótima estratégia para isso é pensar em qual é a unidade dessa variável no Sistema Internacional (SI). Vamos começar com a massa específica:

ρ =   m a s s a v o l u m e

ρ é dado em kg/m³ no Sistema Internacional. Colocando isso para dimensões, temos massa por comprimento ao cubo. Olha aí:

ρ =   M L 3 = M L - 3

Encontramos então as dimensões da massa específica em função das dimensões básicas, como foi pedido! 😊

Lembrando que essas chaves significam que estamos analisando as dimensões dessa variável. Beleza?

Agora vamos falar da densidade relativa d

d =   ρ f l u i d o ρ r e f e r ê n c i a

Como a densidade relativa é uma divisão entre as mesmas grandezas (massas específicas), algo diferente vai acontecer...

d   =   M L - 3 M L - 3 = 1

A dimensão encontrada para a densidade relativa foi 1. Eita! Mas o que isso significa?

Calma, jovem, é notícia boa! Isso mostra que a densidade relativa não tem dimensão! Em outras palavras, é um número adimensional. :D

Então encontramos as respostas. YAY!

Resposta

Dimensões da massa específica ρ =   M L - 3

d   é adimensional!

Exercício Resolvido #2

A perda de carga h p é uma variável muito importante no estudo de escoamento em dutos. No Sistema Internacional, a perda de carga é medida em metros. Sua fórmula é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Onde L é o comprimento do tubo, D é o diâmetro do mesmo, V é a velocidade média do fluido, g é a gravidade e f é o fator de atrito. (a) Expresse as dimensões das variáveis L ,   D ,   V ,   g   e   h p   (b) Qual a dimensão do fator de atrito? (c) Existe algum grupo pi na equação? Qual(is)?

OBS: o número 2 no denominador é adimensional.

Passo 1

Ora ora! Temos aqui um exercício no assunto de Análise Dimensional que fala de perda de carga... Que que é isso? Isso não é outra parte da matéria?

Calma, calma! Você leu certo. Esse aqui é um exercício de Análise Dimensional mesmo. Mas não se preocupe, não vamos calcular a perda de carga! Vamos analisar as dimensões dessas variáveis aí, ok? Então vamos nessa!

A letra a pede para expressarmos as dimensões de L , D , V ,   g e h p em função das dimensões básicas. Quem são as dimensões básicas mesmo? Já vou te lembrar:

M   ( m a s s a ) L   ( c o m p r i m e n t o ) T   t e m p o Θ ( t e m p e r a t u r a )

Começando com L, que é o comprimento do tubo. A dimensão é comprimento é... comprimento mesmo! Então:

L =   L

Atenção! O que está do lado esquerdo é a variável comprimento do tubo. Do lado direito, dentro das chaves, o L maiúsculo representa a dimensão básica comprimento.

Ou seja, essa equação está dizendo pra gente: “As dimensões da variável que está do lado esquerdo são essas que estão no lado direito dentro das chaves.” Ficamos combinados assim? 😊

Ok! Próxima variável: diâmetro do tubo. Olha, se eu te dissesse o valor do diâmetro no Sistema Internacional, eu te diria que o diâmetro são alguns metros, certo?

Metros indica comprimento. Logo, a dimensão do diâmetro do tubo também é comprimento:

D =   L

Agora é a vez da velocidade. Velocidade no Sistema Internacional é medida em m / s . Ou seja, em termos de dimensões, isso significa c o m p r i m e n t o / t e m p o . Então:

V =   L T =   L T - 1

Por sua vez, a gravidade no Sistema Internacional é medida em m / s 2 . Então, as dimensões são c o m p r i m e n t o / t e m p o 2

g =     L T - 2

Finalmente, o enunciado diz que a perda de carga é medida em metros. Então, a dimensão de h p é o próprio comprimento.

h p =     L

Eeee! Encontramos as dimensões das variáveis L , D , V ,   g e h p em função só das dimensões básicas. Show! Podemos ir para letra b!

Passo 2

Ok... Ainda não ouvimos falar nesse tal fator de atrito f . Porééém, o enunciado me deu uma equação com ele. E além disso, pelo o que fizemos até agora no Passo 1, temos a dimensão de todas as outras variáveis dessa equação.

A ideia aqui é substituir as dimensões dessas variáveis na fórmula e assim encontrar a dimensão de f . Partiu? Vem comigo!

A fórmula do enunciado é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Substituindo h p = L = D =     L

V =   L T - 1

g =     L T - 2

E sabendo que o número 2 do denominador é adimensional, temos:

L = f   L   L ( L T - 1 ) 2   L T - 2

Simplificando

L = f   ( L ) 2 ( T - 1 ) 2   L T - 2

L = f   ( L ) 2 L

f =   L / L

f = 1

Opa! A dimensão do fator de atrito deu 1! O que isso significa?

Que o fator de atrito não tem dimensão! É adimensional!

Passo 3

A letra c pergunta se tem grupo pi na equação. O que é grupo pi mesmo?

Grupo pi é um sinônimo para número adimensional! Por sinal, acabamos de encontrar um número adimensional no Passo 2, que é o fator de atrito. 😊

Encontramos tudo o que o exercício queria. UHUL!

Resposta

(a) L = L , D = L , V   =   L T - 1 , g =     L T - 2 , h p = L

(b) O fator de atrito não tem dimensão, ou seja, é adimensional!

(c) Sim! O fator de atrito é um número adimensional, logo, é um grupo pi.

Exercício Resolvido #3

A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e velocidade angular Ω , da velocidade V   de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

Vamos montar nosso problema pessoal!

Traduzindo o enunciado queremos adimensionalizar a seguinte relação.

F = f ( D , Ω , V , ρ , μ )

Vamos então analisar as dimensões de cada uma das 6 variáveis para determinarmos quantos grupos Pi teremos:

F = M L T - 2

Ω = T - 1

V = L T - 1

D = L

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Ω é unidade de rotação sobre tempo, porém “rotações” são consideradas adimensionais, logo é apenas unidade de inverso de tempo.

Como temos três dimensões, M L T e seis variáveis, temos pelo menos 6 - 3 = 3 grupos Pi.

Passo 2

Agora vamos definir nossas variáveis repetivivas. Neste caso são três por haverem três dimensões.

Pessoalmente eu gosto de utilizar massa específica, velocidade e o diâmetro nesse caso. Mas é possível utilizar outras variáveis e ter grupos Pi diferentes. Normalmente o hélice tem essas três propriedades bem definidas e pouco mutáveis no projeto. Logo se aplicam em todos os efeitos que queremos ver. Enfim vamos montar o primeiro grupo:

V a D b ρ c F = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c + 1 T - a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos um sistema igualando os expoentes das dimensões correpsondentes:

c + 1 = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0

Da terceira equação:

a = - 2

Da primeira equação:

c = - 1

Substituindo na segunda:

- 2 + b - 3 - 1 + 1 = 0

b = - 2

Logo nosso primeiro adimensional é:

Π 1 = F V 2 ρ D 2

Refazendo o processo para a rotação Ω :

V a D b ρ c Ω = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c L a + b - 3 c T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sisteminha:

c = 0 a + b - 3 c = 0 - a - 1 = 0

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 × 0 = 0

b = 1

Π 2 = Ω D V

E nosso último grupo pi, o da viscosidade:

V a D b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0

Primeira equação:

c = - 1

Terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo:

Π 3 = μ ρ V D

Resposta

F ρ V 2 D 2 = f Ω D V , μ ρ V D

Exercício Resolvido #4

Em condições de escoamento laminar, a vazão volumétrica Q através de um pequeno orifício capilar de seção triangular de lado b e comprimento L é uma função de viscosidade μ , da queda de pressão por unidade de comprimento ∆ p / L e de b . Usando o Teorema Pi, reescreva essa relação em forma adimensional. Como varia a vazão volumétrica se o lado b for duplicado?

Passo 1

Então galera esse nosso primeiro exercício é relativamente simples, só toma cuidado, não sai pegando toda variável que você ver pela frente, lê quais delas são função de alguma coisa.

Nesse caso vemos que a vazão Q é função da viscosidade μ , da queda de pressão ∆ p / L e da largura b .

Logo nosso problema é encontrar os grupos pi ou números adimensionais de:

Q = f μ ,   b , ∆ p L

Temso então 4 variáveis de dimensões:

Q = L ³ T - 1

μ = M L - 1 T - 1

b = L

∆ p L = M L - 1 T - 2 L = M L - 2 T - 2

Logo temos 3 dimensões M , L   e   T .

Isso significa que existem pelo menos 1 grupo pi.

Passo 2

Vamos então tentar montar esse grupo pi. Como queremos observar a vazão vamos colocar as otras três variáveis como repetitivas:

Π 1 = μ a b b ∆ p L c Q = M 0 L 0 T 0

M L - 1 T - 1 a L b M L - 2 T - 2 c L ³ T - 1 = M 0 L 0 T 0

M a + c L - a + b - 2 c + 3 T - a - 2 c - 1 = M 0 L 0 T 0

Igualando os expoentes correspondentes de cada dimensão:

a + c = 0 - a + b - 2 c + 3 = 0 - a - 2 c - 1 = 0

Da primeira equação:

a = - c

Substituindo a primeira na terceira: c - 2 c - 1 = 0

c = - 1

Logo

a = 1

Resolvendo a segunda equação:

- a + b - 2 c + 3 = 0

- 1 + b + 2 + 3 = 0

b = - 4

Logo nosso pi é:

Π 1 = μ b - 4 ∆ p L - 1 Q

Ou,

Q = Π 1 b 4 ∆ p L μ

Logo se duplicamos b , Q aumenta 2 4 = 16 vezes.

Resposta

Duplicando b , Q aumenta 16 vezes.

Exercício Resolvido #5

Ao estudar o transporte de areia pelas ondas oceânicas, A. Shields, em 1936, postulou que o limiar de tensão de cisalhamento τ induzida pelas ondas no fundo, requerida para mover partículas, depende da gravidade g , do tamanho d da partícula e da sua massa específica ρ p , da massa específica ρ e da viscosidade μ da água. Encontre grupos adimensionais adequados para esse problema, que em 1936 resultou no célebre diagrama de transporte de areia de Shields.

Passo 1

Fala rapaziada!

Mais um probleminha de análise dimensional em que vamos aplicar o teorema pi. Vamos ver nossas variáveis:

τ = f ( g , d , ρ p , ρ , μ )

Que possuem as seguintes dimensões:

τ = M L - 1 T - 2

g = L T - 2

d = L

ρ p = M L - 3

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

Temos seis variáveis e três dimensões, logo temos pelo menos três grupos pi.

Passo 2

Escolherei g , d , ρ como nossas variáveis repetitivas, e agora vamos encontrar o adimensional para τ :

g a d b ρ c τ = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - 2 a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos o sistema:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - 2 a - 2 = 0

Da primeira equação:

c = - 1

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda equação:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo o primeiro Pi é:

Π 1 = τ ρ g d

No segundo grupo pi será o de ρ p :

g a d b ρ c ρ p = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 3 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 3 T - 2 a = M 0 L 0 T 0

Monstando o sistema temos:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 3 = 0 - 2 a = 0

Resolvendo o sistema:

c = - 1

a = 0

b = 0

Logo o pi é:

Π 2 = ρ p ρ

E finalmente o terceiro grupo adimensional:

g a d b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 2 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - 2 a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sistema:

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - 2 a - 1 = 0

Da primeira equação:

c = - 1

Da última equação:

a = - 1 2

E susbtituindo na segunda equação:

- 1 2 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = 1 2 - 2 = - 3 2

Logo nosso último pi é:

Π 3 = μ ρ g d 3

Resposta

τ ρ g d = f ρ p ρ , μ ρ g d 3