Teorema Pi

Teoria Completa

Introdução

Fala chefia!

Antes de mais nada vou propor um problema pra gente resolver:

Imagina que somos pesquisadores e queremos estudar o escoamento dentro de um cilindro liso. Mais especificamente a força de arraste F , conhecida também como resistência ao escoamento.

Nosso objetivo é montar uma expressão geral a partir dos nossos experimentos.

Vamos começar com as variáveis que estamos lidando: acredito que temos influência do diâmetro D , show então vamos rodar uns 10 experimentos com cilindros de diferentes diâmetros.

Pensei em outra coisa: a velocidade do fluido V antes de atingir o cilindro. Mais 10 experimentos...

Massa específica e viscosidade influenciariam? Mais 10 experimentos cada um...

Como nosso experimento tem que ser controlado a gente precisa estudar cada variação fixando todas as outras propriedades e medimos a força de arraste.

Então a gente vai ter que realizar uns 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 experimentos!

Que legal!

Bom... na verdade não...

Imagine se fossem 6 variáveis ao invés de 4 , seriam 1.000.000 experimentos. Imagine o tempo que levaria pra se concluir o estudo. Além do preço que isso custaria de cada experimento fosse R $ 100 . Custaria R $ 100.000.000 , cem milhões de reais...

Se a gente levasse 30 minutos por experimento e não parasse pra nada, nem dormir:

1.000.000 × 0,5   h = 500.000   h = 20.833   d i a s

Isso são 57 anos, na mesma pesquisa. Sem falar que você morreria de sono né?

“Ta mas como os pesquisadores fazem experimentos então? Monte de gente realizou experimentos em MecFLu e viveu pra ver seu artigo publicado, né?”

É aí que entra nosso tópico de hoje: Análise Dimensional

A ideia por trás dessa ferramenta é reduzir nosso número de variáveis a fatores adimensionais. Essencialmente reduzindo o número de testes que devemos fazer!

A gente já falou de um tal número de Reynolds R e , esse é um dos fatores adimensionais que pudemos descobrir.

Basicamente nosso problema acima é que achamos que a força F é função de D ,   V ,   μ ,   ρ :

F = f ( D ,   V ,   μ ,   ρ )

A análise dimensional vai permitir a gente a chegar na seguinte conclusão:

F ρ V ² D ² = g ρ V D μ

Ou seja, que F ρ V ² D ² é dado em função de ρ V D μ . Esses caras tem nomes mais famosos: C A   e   R e D . Coeficiente de Arrasto e Reynolds.

O que fizemos foi tirar a influência das dimensões de massa, comprimento e tempo do nosso problema.

Isso nos permite dizer que a força F varia em função de duas variáveis adimensionais:

C A = g (   R e D )

Logo precisamos realizar experimentos alterando esses fatores, ao invés de mudar 4, 5, 6... 100   experimentos são muito mais fáceis de lidar não é?

Sem falar que nenhuma informação é perdida nesse processo!

Teorema Pi

“Então beleza, como gente faz esse negócio de adimensionalizar as coisas?”

É aí que entra o Teorema Pi de Buckingham, ou só teorema Pi, pros mais chegados.

Nele a gente vai seguir um passo a passo para encontrar nossos fatores adimensionais:

Vamos usar o caso anterior como exemplo pra gente:

F = f ( D ,   V ,   μ ,   ρ )

Isso quer dizer que temos 5 variáveis dimensionais, ou seja, que tem alguma dimensão: F , D ,   V ,   μ ,   ρ .

Sendo M dimensão de massa, L de espaço, e T de tempo podemos escrever as variáveis como suas dimensões:

F = M L T - 2

D = L

V = L T - 1

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Escrevemos assim pois de outra forma teríamos de decidir em algum sistema de medidas, como por exemplo o Sistema Internacional.

Podemos dizer que neste problema temos 5 variáveis e 3 dimensões.

Isso significa que temos pelo menos 2 grupos pi.

Sim, veio de 5 - 3 mesmo! O número de grupos pi é maior ou igual ao número de variáveis com dimensão menos o número de dimensões envolvidas no problema.

Um grupo pi é um produto de variáveis que formam um número adimensional (ou um pi para os íntimos haha)

Vamos tentar inicialmente formar esses dois grupos pi.

Para isso precisamos encontrar 3 variáveis que NÃO formem um adimensional, em termos matemáticos:

A a B b C c ≠ M 0 L 0 T 0

Ou seja a , b , c tem mais de uma solução além da trivial 0,0 , 0 .

Por que 3? Pois é o número de dimensões nesse problema. Certo?

Depois disso adicionaremos uma das variáveis que forma um pi, ou seja:

A a B b C c D = M 0 L 0 T 0

Por exemplo, vamos testar F ,   V ,   ρ   como variáveis repetitivas (Repetitivas porque elas vão aparecer em todos nossos números adimensionais). Vamos colocar

F a V b ρ c D = M 0 L 0 T 0

Substituindo as dimensões:

M L T - 2 a L T - 1 b M L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

Isso é igual a dizer que

M a L a T - 2 a L b T - b M c L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

Agrupando os M ,   L   e   T :

M a + c L a + b - 3 c + 1 T - 2 a - b = M 0 L 0 T 0

Isso nos da um sistema de três equaçõe de três incógnitas:

a + c = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - 2 a - b = 0

Da primeira equação temos que:

a = - c

Da terceira:

b = - 2 a = 2 c

Substituindo na segunda equação:

- c + 2 c - 3 c + 1 = 0

- 2 c = - 1

c = 1 / 2

Isso significa que a = - 1 / 2 e b = 1 . Ufa! Acabou?

Não, mas falta pouco! A gente quer encontrar o grupo pi, certo?

Lembrando que: F a V b ρ c D = M 0 L 0 T 0

Substituindo a, b e c que encontramos no sistema:

Π 1 = F - 1 / 2 V 1 ρ 1 / 2 D = V D ρ F

Beleza isso é adimensional! Show de bola! Encontramos um grupo pi 😊

Mas está muito feio e não parece nada com o que a gente tava tendo antes, aqueles fatores bonitinhos de coeficiente de arrasto C A . Ou será que está?

Se a gente muda eleva ao quadro a expressão:

Π 1 = V ² D ² ρ F

Que é o inverso do coeficiente de atrito, como não temos dimensão podemos “brincar” com as potências:

Π 1 = V ² D ² ρ F - 1 = F V ² D ² ρ = C A

Aí sim! Conseguimos!

Se a gente faz a mesma coisa pro nosso outro grupo pi:

Π 2 = F a V b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

O resultado é conseguido pelo mesmo procedimento de antes:

a = - 2

b = c = 3

Π 2 = V ³ ρ ³ μ F ²

Formamos nosso segundo grupo, e o que ele quer dizer, ele não parece nem um pouco com R e .

Cara, então, chegamos ao ponto mais importante da adimensionalização:

A gente tem que definir que variáveis a gente quer observar o efeito.

No nosso caso, eu escolhi aleatóriamente D e μ , isso foi uma péssima escolha se queremos observar o efeito da força no cilindro. A gente podia ter escolhido F e μ , ou seja, colocando V ,   D , ρ como nossas variáveis repetitivas. E isso acarretaria exatamente no número de Reynolds.

Então aqui a moral da história, escolha suas variáveis com sabedoria. Suas contas não vão estar erradas, você só não vai analisar o efeito que você quer analisar.

Vamos fazer um resumão desse passo a passo para encontrar grupos pi? (Eu ouvi um “Vamoooos!” hahahaha)

Passo a Passo para encontrar Números Adimensionais

Passo 1 – Identificar as variáveis envolvidas no problema. Quem são? Quantas delas tem dimensão? Exemplo: F = f ( D ,   V ,   μ ,   ρ )

As 5 variáveis ( F ,   D ,   V ,   μ ,   ρ ) têm dimensão

Passo 2 – Encontrar as dimensões dessas variáveis através das dimensões básicas: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (Θ). Exemplo:

ρ = M   ×   L - 3

Dica: Encontrar as dimensões a partir das unidades da variável

Passo 3 – Cálculo no número de grupos pi

N ú m e r o   d e   g r u p o s   p i = N ú m e r o   d e   v a r i á v e i s   c o m   d i m e n s ã o   d o   p r o b l e m a - N ú m e r o   d e   d i m e n s õ e s   e n v o l v i d a s   n o   p r o b l e m a

Passo 4 – Escolha x variáveis que juntas não formem um número adimensional. Sendo x o número de dimensões envolvidas no problema. A escolha sabia é!

A a B b C c ≠ M 0 L 0 T 0

Passo 5 – Análise Dimensional!

  • Escolha uma das variáveis que “sobrou” (D) e coloque na equação:
  • A a B b C c D = M 0 L 0 T 0

  • Escreva A, B, C e D de acordo com suas dimensões. Exemplo:
  • M L T - 2 a L T - 1 b M L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

  • Agrupe os expoentes de cada dimensão. Exemplo:
  • M a + c L a + b - 3 c + 1 T - 2 a - b = M 0 L 0 T 0

  • Resolva o sistema. Exemplo: a + c = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - 2 a - b = 0
  • Substitua os valores de a, b, c, d na equação a seguir e encontre o grupo pi!

A a B b C c D = M 0 L 0 T 0

Obs: Faça operações algébricas que achar necessárias para encontrar o grupo pi desejado. Exemplo: elevar ao quadrado, ao cubo, raiz.

Obs2: Para achar todos os grupos pi, repita o Passo 5 para outra variável que “sobrou”.

Nos exercícios esse passo a passo vai ajudar muito, então vamos lá treinar!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Expresse as dimensões das variáveis massa específica ρ e densidade relativa d em função das dimensões básicas.

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Passo 1

Opa, tudo certinho? Se não tiver, vai ficar tudo certo depois que a gente resolver esse exercício! Bora lá? o/

Descobrir as dimensões das variáveis é um dos passos para encontrar números adimensionais. Então vamos exercitar esse lance de encontrar dimensões! :D

O enunciado pediu para expressar as dimensões em função das dimensões básicas. Quem elas são? Tcharaaaam:

M   ( m a s s a ) L   ( c o m p r i m e n t o ) T   t e m p o Θ ( t e m p e r a t u r a )

Passo 2

Agora é hora de encontrar a dimensão de cada variável! :D

Uma ótima estratégia para isso é pensar em qual é a unidade dessa variável no Sistema Internacional (SI). Vamos começar com a massa específica:

ρ =   m a s s a v o l u m e

ρ é dado em kg/m³ no Sistema Internacional. Colocando isso para dimensões, temos massa por comprimento ao cubo. Olha aí:

ρ =   M L 3 = M L - 3

Encontramos então as dimensões da massa específica em função das dimensões básicas, como foi pedido! 😊

Lembrando que essas chaves significam que estamos analisando as dimensões dessa variável. Beleza?

Agora vamos falar da densidade relativa d

d =   ρ f l u i d o ρ r e f e r ê n c i a

Como a densidade relativa é uma divisão entre as mesmas grandezas (massas específicas), algo diferente vai acontecer...

d   =   M L - 3 M L - 3 = 1

A dimensão encontrada para a densidade relativa foi 1. Eita! Mas o que isso significa?

Calma, jovem, é notícia boa! Isso mostra que a densidade relativa não tem dimensão! Em outras palavras, é um número adimensional. :D

Então encontramos as respostas. YAY!

Resposta

Dimensões da massa específica ρ =   M L - 3

d   é adimensional!

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

A perda de carga h p é uma variável muito importante no estudo de escoamento em dutos. No Sistema Internacional, a perda de carga é medida em metros. Sua fórmula é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Onde L é o comprimento do tubo, D é o diâmetro do mesmo, V é a velocidade média do fluido, g é a gravidade e f é o fator de atrito. (a) Expresse as dimensões das variáveis L ,   D ,   V ,   g   e   h p   (b) Qual a dimensão do fator de atrito? (c) Existe algum grupo pi na equação? Qual(is)?

OBS: o número 2 no denominador é adimensional.

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Passo 1

Ora ora! Temos aqui um exercício no assunto de Análise Dimensional que fala de perda de carga... Que que é isso? Isso não é outra parte da matéria?

Calma, calma! Você leu certo. Esse aqui é um exercício de Análise Dimensional mesmo. Mas não se preocupe, não vamos calcular a perda de carga! Vamos analisar as dimensões dessas variáveis aí, ok? Então vamos nessa!

A letra a pede para expressarmos as dimensões de L , D , V ,   g e h p em função das dimensões básicas. Quem são as dimensões básicas mesmo? Já vou te lembrar:

M   ( m a s s a ) L   ( c o m p r i m e n t o ) T   t e m p o Θ ( t e m p e r a t u r a )

Começando com L, que é o comprimento do tubo. A dimensão é comprimento é... comprimento mesmo! Então:

L =   L

Atenção! O que está do lado esquerdo é a variável comprimento do tubo. Do lado direito, dentro das chaves, o L maiúsculo representa a dimensão básica comprimento.

Ou seja, essa equação está dizendo pra gente: “As dimensões da variável que está do lado esquerdo são essas que estão no lado direito dentro das chaves.” Ficamos combinados assim? 😊

Ok! Próxima variável: diâmetro do tubo. Olha, se eu te dissesse o valor do diâmetro no Sistema Internacional, eu te diria que o diâmetro são alguns metros, certo?

Metros indica comprimento. Logo, a dimensão do diâmetro do tubo também é comprimento:

D =   L

Agora é a vez da velocidade. Velocidade no Sistema Internacional é medida em m / s . Ou seja, em termos de dimensões, isso significa c o m p r i m e n t o / t e m p o . Então:

V =   L T =   L T - 1

Por sua vez, a gravidade no Sistema Internacional é medida em m / s 2 . Então, as dimensões são c o m p r i m e n t o / t e m p o 2

g =     L T - 2

Finalmente, o enunciado diz que a perda de carga é medida em metros. Então, a dimensão de h p é o próprio comprimento.

h p =     L

Eeee! Encontramos as dimensões das variáveis L , D , V ,   g e h p em função só das dimensões básicas. Show! Podemos ir para letra b!

Passo 2

Ok... Ainda não ouvimos falar nesse tal fator de atrito f . Porééém, o enunciado me deu uma equação com ele. E além disso, pelo o que fizemos até agora no Passo 1, temos a dimensão de todas as outras variáveis dessa equação.

A ideia aqui é substituir as dimensões dessas variáveis na fórmula e assim encontrar a dimensão de f . Partiu? Vem comigo!

A fórmula do enunciado é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Substituindo h p = L = D =     L

V =   L T - 1

g =     L T - 2

E sabendo que o número 2 do denominador é adimensional, temos:

L = f   L   L ( L T - 1 ) 2   L T - 2

Simplificando

L = f   ( L ) 2 ( T - 1 ) 2   L T - 2

L = f   ( L ) 2 L

f =   L / L

f = 1

Opa! A dimensão do fator de atrito deu 1! O que isso significa?

Que o fator de atrito não tem dimensão! É adimensional!

Passo 3

A letra c pergunta se tem grupo pi na equação. O que é grupo pi mesmo?

Grupo pi é um sinônimo para número adimensional! Por sinal, acabamos de encontrar um número adimensional no Passo 2, que é o fator de atrito. 😊

Encontramos tudo o que o exercício queria. UHUL!

Resposta

(a) L = L , D = L , V   =   L T - 1 , g =     L T - 2 , h p = L

(b) O fator de atrito não tem dimensão, ou seja, é adimensional!

(c) Sim! O fator de atrito é um número adimensional, logo, é um grupo pi.

Exercício Resolvido #3

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P5.25

A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e velocidade angular Ω , da velocidade V   de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

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Passo 1

Vamos montar nosso problema pessoal!

Traduzindo o enunciado queremos adimensionalizar a seguinte relação.

F = f ( D , Ω , V , ρ , μ )

Vamos então analisar as dimensões de cada uma das 6 variáveis para determinarmos quantos grupos Pi teremos:

F = M L T - 2

Ω = T - 1

V = L T - 1

D = L

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Ω é unidade de rotação sobre tempo, porém “rotações” são consideradas adimensionais, logo é apenas unidade de inverso de tempo.

Como temos três dimensões, M L T e seis variáveis, temos pelo menos 6 - 3 = 3 grupos Pi.

Passo 2

Agora vamos definir nossas variáveis repetivivas. Neste caso são três por haverem três dimensões.

Pessoalmente eu gosto de utilizar massa específica, velocidade e o diâmetro nesse caso. Mas é possível utilizar outras variáveis e ter grupos Pi diferentes. Normalmente o hélice tem essas três propriedades bem definidas e pouco mutáveis no projeto. Logo se aplicam em todos os efeitos que queremos ver. Enfim vamos montar o primeiro grupo:

V a D b ρ c F = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c + 1 T - a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos um sistema igualando os expoentes das dimensões correpsondentes:

c + 1 = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0

Da terceira equação:

a = - 2

Da primeira equação:

c = - 1

Substituindo na segunda:

- 2 + b - 3 - 1 + 1 = 0

b = - 2

Logo nosso primeiro adimensional é:

Π 1 = F V 2 ρ D 2

Refazendo o processo para a rotação Ω :

V a D b ρ c Ω = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c L a + b - 3 c T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sisteminha:

c = 0 a + b - 3 c = 0 - a - 1 = 0

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 × 0 = 0

b = 1

Π 2 = Ω D V

E nosso último grupo pi, o da viscosidade:

V a D b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0

Primeira equação:

c = - 1

Terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo:

Π 3 = μ ρ V D

Resposta

F ρ V 2 D 2 = f Ω D V , μ ρ V D

Exercício Resolvido #4

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P 5.18

Em condições de escoamento laminar, a vazão volumétrica Q através de um pequeno orifício capilar de seção triangular de lado b e comprimento L é uma função de viscosidade μ , da queda de pressão por unidade de comprimento ∆ p / L e de b . Usando o Teorema Pi, reescreva essa relação em forma adimensional. Como varia a vazão volumétrica se o lado b for duplicado?

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Passo 1

Então galera esse nosso primeiro exercício é relativamente simples, só toma cuidado, não sai pegando toda variável que você ver pela frente, lê quais delas são função de alguma coisa.

Nesse caso vemos que a vazão Q é função da viscosidade μ , da queda de pressão ∆ p / L e da largura b .

Logo nosso problema é encontrar os grupos pi ou números adimensionais de:

Q = f μ ,   b , ∆ p L

Temso então 4 variáveis de dimensões:

Q = L ³ T - 1

μ = M L - 1 T - 1

b = L

∆ p L = M L - 1 T - 2 L = M L - 2 T - 2

Logo temos 3 dimensões M , L   e   T .

Isso significa que existem pelo menos 1 grupo pi.

Passo 2

Vamos então tentar montar esse grupo pi. Como queremos observar a vazão vamos colocar as otras três variáveis como repetitivas:

Π 1 = μ a b b ∆ p L c Q = M 0 L 0 T 0

M L - 1 T - 1 a L b M L - 2 T - 2 c L ³ T - 1 = M 0 L 0 T 0

M a + c L - a + b - 2 c + 3 T - a - 2 c - 1 = M 0 L 0 T 0

Igualando os expoentes correspondentes de cada dimensão:

a + c = 0 - a + b - 2 c + 3 = 0 - a - 2 c - 1 = 0

Da primeira equação:

a = - c

Substituindo a primeira na terceira: c - 2 c - 1 = 0

c = - 1

Logo

a = 1

Resolvendo a segunda equação:

- a + b - 2 c + 3 = 0

- 1 + b + 2 + 3 = 0

b = - 4

Logo nosso pi é:

Π 1 = μ b - 4 ∆ p L - 1 Q

Ou,

Q = Π 1 b 4 ∆ p L μ

Logo se duplicamos b , Q aumenta 2 4 = 16 vezes.

Resposta

Duplicando b , Q aumenta 16 vezes.

Exercício Resolvido #5

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 342, ex. P 5.27

Ao estudar o transporte de areia pelas ondas oceânicas, A. Shields, em 1936, postulou que o limiar de tensão de cisalhamento τ induzida pelas ondas no fundo, requerida para mover partículas, depende da gravidade g , do tamanho d da partícula e da sua massa específica ρ p , da massa específica ρ e da viscosidade μ da água. Encontre grupos adimensionais adequados para esse problema, que em 1936 resultou no célebre diagrama de transporte de areia de Shields.

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Passo 1

Fala rapaziada!

Mais um probleminha de análise dimensional em que vamos aplicar o teorema pi. Vamos ver nossas variáveis:

τ = f ( g , d , ρ p , ρ , μ )

Que possuem as seguintes dimensões:

τ = M L - 1 T - 2

g = L T - 2

d = L

ρ p = M L - 3

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1