Teorema Pi
Teoria
Introdução
Fala chefia!
Antes de mais nada vou propor um problema pra gente resolver:
Imagina que somos pesquisadores e queremos estudar o escoamento dentro de um cilindro liso. Mais especificamente a força de arraste , conhecida também como resistência ao escoamento.
Nosso objetivo é montar uma expressão geral a partir dos nossos experimentos.
Vamos começar com as variáveis que estamos lidando: acredito que temos influência do diâmetro , show então vamos rodar uns experimentos com cilindros de diferentes diâmetros.
Pensei em outra coisa: a velocidade do fluido antes de atingir o cilindro. Mais experimentos...
Massa específica e viscosidade influenciariam? Mais experimentos cada um...
Como nosso experimento tem que ser controlado a gente precisa estudar cada variação fixando todas as outras propriedades e medimos a força de arraste.
Então a gente vai ter que realizar uns experimentos!
Que legal!
Bom... na verdade não...
Imagine se fossem variáveis ao invés de , seriam experimentos. Imagine o tempo que levaria pra se concluir o estudo. Além do preço que isso custaria de cada experimento fosse . Custaria , cem milhões de reais...
Se a gente levasse 30 minutos por experimento e não parasse pra nada, nem dormir:
Isso são 57 anos, na mesma pesquisa. Sem falar que você morreria de sono né?
“Ta mas como os pesquisadores fazem experimentos então? Monte de gente realizou experimentos em MecFLu e viveu pra ver seu artigo publicado, né?”
É aí que entra nosso tópico de hoje: Análise Dimensional
A ideia por trás dessa ferramenta é reduzir nosso número de variáveis a fatores adimensionais. Essencialmente reduzindo o número de testes que devemos fazer!
A gente já falou de um tal número de Reynolds , esse é um dos fatores adimensionais que pudemos descobrir.
Basicamente nosso problema acima é que achamos que a força é função de :
A análise dimensional vai permitir a gente a chegar na seguinte conclusão:
Ou seja, que é dado em função de . Esses caras tem nomes mais famosos: . Coeficiente de Arrasto e Reynolds.
O que fizemos foi tirar a influência das dimensões de massa, comprimento e tempo do nosso problema.
Isso nos permite dizer que a força varia em função de duas variáveis adimensionais:
Logo precisamos realizar experimentos alterando esses fatores, ao invés de mudar 4, 5, 6... experimentos são muito mais fáceis de lidar não é?
Sem falar que nenhuma informação é perdida nesse processo!
Teorema Pi
“Então beleza, como gente faz esse negócio de adimensionalizar as coisas?”
É aí que entra o Teorema Pi de Buckingham, ou só teorema Pi, pros mais chegados.
Nele a gente vai seguir um passo a passo para encontrar nossos fatores adimensionais:
Vamos usar o caso anterior como exemplo pra gente:
Isso quer dizer que temos variáveis dimensionais, ou seja, que tem alguma dimensão: .
Sendo dimensão de massa, de espaço, e de tempo podemos escrever as variáveis como suas dimensões:
Escrevemos assim pois de outra forma teríamos de decidir em algum sistema de medidas, como por exemplo o Sistema Internacional.
Podemos dizer que neste problema temos variáveis e dimensões.
Isso significa que temos pelo menos grupos pi.
Sim, veio de mesmo! O número de grupos pi é maior ou igual ao número de variáveis com dimensão menos o número de dimensões envolvidas no problema.
Um grupo pi é um produto de variáveis que formam um número adimensional (ou um pi para os íntimos haha)
Vamos tentar inicialmente formar esses dois grupos pi.
Para isso precisamos encontrar 3 variáveis que NÃO formem um adimensional, em termos matemáticos:
Ou seja tem mais de uma solução além da trivial .
Por que 3? Pois é o número de dimensões nesse problema. Certo?
Depois disso adicionaremos uma das variáveis que forma um pi, ou seja:
Por exemplo, vamos testar como variáveis repetitivas (Repetitivas porque elas vão aparecer em todos nossos números adimensionais). Vamos colocar
Substituindo as dimensões:
Isso é igual a dizer que
Agrupando os :
Isso nos da um sistema de três equaçõe de três incógnitas:
Da primeira equação temos que:
Da terceira:
Substituindo na segunda equação:
Isso significa que e . Ufa! Acabou?
Não, mas falta pouco! A gente quer encontrar o grupo pi, certo?
Lembrando que:
Substituindo a, b e c que encontramos no sistema:
Beleza isso é adimensional! Show de bola! Encontramos um grupo pi 😊
Mas está muito feio e não parece nada com o que a gente tava tendo antes, aqueles fatores bonitinhos de coeficiente de arrasto . Ou será que está?
Se a gente muda eleva ao quadro a expressão:
Que é o inverso do coeficiente de atrito, como não temos dimensão podemos “brincar” com as potências:
Aí sim! Conseguimos!
Se a gente faz a mesma coisa pro nosso outro grupo pi:
O resultado é conseguido pelo mesmo procedimento de antes:
Formamos nosso segundo grupo, e o que ele quer dizer, ele não parece nem um pouco com .
Cara, então, chegamos ao ponto mais importante da adimensionalização:
A gente tem que definir que variáveis a gente quer observar o efeito.
No nosso caso, eu escolhi aleatóriamente e , isso foi uma péssima escolha se queremos observar o efeito da força no cilindro. A gente podia ter escolhido e , ou seja, colocando como nossas variáveis repetitivas. E isso acarretaria exatamente no número de Reynolds.
Então aqui a moral da história, escolha suas variáveis com sabedoria. Suas contas não vão estar erradas, você só não vai analisar o efeito que você quer analisar.
Vamos fazer um resumão desse passo a passo para encontrar grupos pi? (Eu ouvi um “Vamoooos!” hahahaha)
Passo a Passo para encontrar Números Adimensionais
Passo 1 – Identificar as variáveis envolvidas no problema. Quem são? Quantas delas tem dimensão? Exemplo:
As 5 variáveis ( têm dimensão
Passo 2 – Encontrar as dimensões dessas variáveis através das dimensões básicas: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (Θ). Exemplo:
Dica: Encontrar as dimensões a partir das unidades da variável
Passo 3 – Cálculo no número de grupos pi
Passo 4 – Escolha variáveis que juntas não formem um número adimensional. Sendo o número de dimensões envolvidas no problema. A escolha sabia é!
Passo 5 – Análise Dimensional!
- Escolha uma das variáveis que “sobrou” (D) e coloque na equação:
- Escreva A, B, C e D de acordo com suas dimensões. Exemplo:
- Agrupe os expoentes de cada dimensão. Exemplo:
- Resolva o sistema. Exemplo:
- Substitua os valores de a, b, c, d na equação a seguir e encontre o grupo pi!
Obs: Faça operações algébricas que achar necessárias para encontrar o grupo pi desejado. Exemplo: elevar ao quadrado, ao cubo, raiz.
Obs2: Para achar todos os grupos pi, repita o Passo 5 para outra variável que “sobrou”.
Nos exercícios esse passo a passo vai ajudar muito, então vamos lá treinar!
Passo a Passo para encontrar Números Adimensionais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Expresse as dimensões das variáveis massa específica e densidade relativa em função das dimensões básicas.
Passo 1
Opa, tudo certinho? Se não tiver, vai ficar tudo certo depois que a gente resolver esse exercício! Bora lá? o/
Descobrir as dimensões das variáveis é um dos passos para encontrar números adimensionais. Então vamos exercitar esse lance de encontrar dimensões! :D
O enunciado pediu para expressar as dimensões em função das dimensões básicas. Quem elas são? Tcharaaaam:
Passo 2
Agora é hora de encontrar a dimensão de cada variável! :D
Uma ótima estratégia para isso é pensar em qual é a unidade dessa variável no Sistema Internacional (SI). Vamos começar com a massa específica:
é dado em kg/m³ no Sistema Internacional. Colocando isso para dimensões, temos massa por comprimento ao cubo. Olha aí:
Encontramos então as dimensões da massa específica em função das dimensões básicas, como foi pedido! 😊
Lembrando que essas chaves significam que estamos analisando as dimensões dessa variável. Beleza?
Agora vamos falar da densidade relativa
Como a densidade relativa é uma divisão entre as mesmas grandezas (massas específicas), algo diferente vai acontecer...
A dimensão encontrada para a densidade relativa foi 1. Eita! Mas o que isso significa?
Calma, jovem, é notícia boa! Isso mostra que a densidade relativa não tem dimensão! Em outras palavras, é um número adimensional. :D
Então encontramos as respostas. YAY!
Resposta
Dimensões da massa específica
é adimensional!
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
A perda de carga é uma variável muito importante no estudo de escoamento em dutos. No Sistema Internacional, a perda de carga é medida em metros. Sua fórmula é:
Onde é o comprimento do tubo, é o diâmetro do mesmo, é a velocidade média do fluido, é a gravidade e é o fator de atrito. (a) Expresse as dimensões das variáveis (b) Qual a dimensão do fator de atrito? (c) Existe algum grupo pi na equação? Qual(is)?
OBS: o número 2 no denominador é adimensional.
Passo 1
Ora ora! Temos aqui um exercício no assunto de Análise Dimensional que fala de perda de carga... Que que é isso? Isso não é outra parte da matéria?
Calma, calma! Você leu certo. Esse aqui é um exercício de Análise Dimensional mesmo. Mas não se preocupe, não vamos calcular a perda de carga! Vamos analisar as dimensões dessas variáveis aí, ok? Então vamos nessa!
A letra a pede para expressarmos as dimensões de , , e em função das dimensões básicas. Quem são as dimensões básicas mesmo? Já vou te lembrar:
Começando com L, que é o comprimento do tubo. A dimensão é comprimento é... comprimento mesmo! Então:
Atenção! O que está do lado esquerdo é a variável comprimento do tubo. Do lado direito, dentro das chaves, o L maiúsculo representa a dimensão básica comprimento.
Ou seja, essa equação está dizendo pra gente: “As dimensões da variável que está do lado esquerdo são essas que estão no lado direito dentro das chaves.” Ficamos combinados assim? 😊
Ok! Próxima variável: diâmetro do tubo. Olha, se eu te dissesse o valor do diâmetro no Sistema Internacional, eu te diria que o diâmetro são alguns metros, certo?
Metros indica comprimento. Logo, a dimensão do diâmetro do tubo também é comprimento:
Agora é a vez da velocidade. Velocidade no Sistema Internacional é medida em . Ou seja, em termos de dimensões, isso significa . Então:
Por sua vez, a gravidade no Sistema Internacional é medida em . Então, as dimensões são
Finalmente, o enunciado diz que a perda de carga é medida em metros. Então, a dimensão de é o próprio comprimento.
Eeee! Encontramos as dimensões das variáveis , , e em função só das dimensões básicas. Show! Podemos ir para letra b!
Passo 2
Ok... Ainda não ouvimos falar nesse tal fator de atrito . Porééém, o enunciado me deu uma equação com ele. E além disso, pelo o que fizemos até agora no Passo 1, temos a dimensão de todas as outras variáveis dessa equação.
A ideia aqui é substituir as dimensões dessas variáveis na fórmula e assim encontrar a dimensão de . Partiu? Vem comigo!
A fórmula do enunciado é:
Substituindo
E sabendo que o número 2 do denominador é adimensional, temos:
Simplificando
Opa! A dimensão do fator de atrito deu 1! O que isso significa?
Que o fator de atrito não tem dimensão! É adimensional!
Passo 3
A letra c pergunta se tem grupo pi na equação. O que é grupo pi mesmo?
Grupo pi é um sinônimo para número adimensional! Por sinal, acabamos de encontrar um número adimensional no Passo 2, que é o fator de atrito. 😊
Encontramos tudo o que o exercício queria. UHUL!
Resposta
(a) , , , ,
(b) O fator de atrito não tem dimensão, ou seja, é adimensional!
(c) Sim! O fator de atrito é um número adimensional, logo, é um grupo pi.
Exercício Resolvido #3
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P5.25
A força de propulsão de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro e velocidade angular , da velocidade de avanço, da massa específica e da viscosidade do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.
Passo 1
Vamos montar nosso problema pessoal!
Traduzindo o enunciado queremos adimensionalizar a seguinte relação.
Vamos então analisar as dimensões de cada uma das 6 variáveis para determinarmos quantos grupos Pi teremos:
é unidade de rotação sobre tempo, porém “rotações” são consideradas adimensionais, logo é apenas unidade de inverso de tempo.
Como temos três dimensões, e seis variáveis, temos pelo menos grupos Pi.
Passo 2
Agora vamos definir nossas variáveis repetivivas. Neste caso são três por haverem três dimensões.
Pessoalmente eu gosto de utilizar massa específica, velocidade e o diâmetro nesse caso. Mas é possível utilizar outras variáveis e ter grupos Pi diferentes. Normalmente o hélice tem essas três propriedades bem definidas e pouco mutáveis no projeto. Logo se aplicam em todos os efeitos que queremos ver. Enfim vamos montar o primeiro grupo:
Montamos um sistema igualando os expoentes das dimensões correpsondentes:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Logo nosso primeiro adimensional é:
Refazendo o processo para a rotação :
Montamos nosso sisteminha:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda:
E nosso último grupo pi, o da viscosidade:
Primeira equação:
Terceira equação:
Substituindo na segunda:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #4
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 341, ex. P 5.18
Em condições de escoamento laminar, a vazão volumétrica através de um pequeno orifício capilar de seção triangular de lado e comprimento é uma função de viscosidade , da queda de pressão por unidade de comprimento e de . Usando o Teorema Pi, reescreva essa relação em forma adimensional. Como varia a vazão volumétrica se o lado for duplicado?
Passo 1
Então galera esse nosso primeiro exercício é relativamente simples, só toma cuidado, não sai pegando toda variável que você ver pela frente, lê quais delas são função de alguma coisa.
Nesse caso vemos que a vazão é função da viscosidade , da queda de pressão e da largura .
Logo nosso problema é encontrar os grupos pi ou números adimensionais de:
Temso então variáveis de dimensões:
Logo temos dimensões .
Isso significa que existem pelo menos grupo pi.
Passo 2
Vamos então tentar montar esse grupo pi. Como queremos observar a vazão vamos colocar as otras três variáveis como repetitivas:
Igualando os expoentes correspondentes de cada dimensão:
Da primeira equação:
Substituindo a primeira na terceira:
Logo
Resolvendo a segunda equação:
Logo nosso pi é: