Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

Elaboração própria

Agora que já vimos como adimensionalizar equações usando o Teorema Pi, vamos adimensionalizar a primeira equação básica de Mecânica dos Fluidos: a Equação da Continuidade:

∇ ∙ V = 0

Sendo um escoamento com velocidade no infinito V ∞ ao redor de um cilindro de diâmetro D .

Passo 1

Beleza galera, vamos tentar escrever esse enunciado como se fosse um problema de grupos adimensionais, porém ele tem uma sacada.

Todo problema de adimensionalização em MecFlu tem essas variáveis características, seriam como nossas condições do contorno do problema, no caso V ∞ e D .

Então nossa função fica:

∇ ∙ V = f ( V ∞ , L )

Ué mas isso é diferente do outro exercício!

Calma, no outro exercício não estávamos lidando com equações diferenciais. Que lidam com valores infinitésimos.

Mas identificadas as variáveis características conseguimos resolver!

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Passo 2

Vamos aplicar o teorema.

Temos 3 variáveis e 2 dimensões, L e T .

Logo temos apenas um grupo Pi.

V ∞ a D b ∇ ∙ V = L 0 T 0

Qual a unidade de ∇ ∙ V ?

Lembre-se que isso pod ser escrito como:

∂ ∂ x , ∂ ∂ y ∙ u , v

Ou seja um produto de

1 L ∙ L T = 1 T = T - 1

Logo o problema fica como:

L T - 1 a L b T - 1 = L 0 T 0

Temos o sistema:

a + b = 0 - a - 1 = 0

Onde a = - 1 e b = 1

Portanto o adimensional é:

∇ * ∙ V * = D V ∞ ∇ ∙ V

Passo 3

Para substituirmos na equação basta escrever:

∇ ∙ V = V ∞ D ∇ * ∙ V *

Substituindo:

∇ ∙ V = 0

V ∞ D ∇ * ∙ V * = 0

Como D e V ∞ são constantes, podemos cancelar:

∇ * ∙ V * = 0

Observação: Por que escrevemos ∇ * ∙ V * e não ∇ ∙ V * ?

Simplesmente por que é mais comum representar dessa forma.

Existem deduções que pulam algumas etapas do teorema Pi, que não acho muito triviais para quem acabou de começar a estudar adimensionalização. O passo a passo do teorema Pi é algo bem mecânico e quase infalível.

É o que eu falei: com a prática você já vai identificar alguns grupos pis só olhando para as variáveis. E talvez nem aplique o teorema diretamente.

Resposta

∇ * ∙ V * = 0

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