Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

Ver Teoria

Enunciado

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

V → = a x y 2 t   i → + b y 3 t   j → + c x y 3   k →

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(c) Qual o vetor aceleração no ponto P1 e t1?

Passo 1

Sabe-se que a aceleração é dada pela derivada substantiva da velocidade, ou seja:

a → = D V → D t = ∂ V → ∂ t + V → ⋅ ∇ → V →

Abrindo os termos, temos:

a → = ∂ V x ∂ t + V x ∂ V x ∂ x + V y ∂ V x ∂ y + V z ∂ V x ∂ z i → + ∂ V y ∂ t + V x ∂ V y ∂ x + V y ∂ V y ∂ y + V z ∂ V y ∂ z j → + ∂ V z ∂ t + V x ∂ V z ∂ x + V y ∂ V z ∂ y + V z ∂ V z ∂ z k →

Tcharaaaammmm, agora, o que a gente vai precisar fazer? Literalmente abrir essas derivadas com o campo de velocidade que foi dado pra gente no enunciado.

Passo 2

a → = a x y 2 + a x y 2 t × a y 2 t + b y 3 t × 2 a x y t + c x y 3 0 i → +

+ b y 3 + a x y 2 t   0 + b y 3 t × 3 b y 2 t + c x y 3 0 j → +

+ 0 + a x y 2 t × c y 3 + b y 3 t   3 c x y 2 + c x y 3 ( 0 ) k →

Portanto,

a → = a x y 2 + a 2 x y 4 t 2 + 2 a b x y 4 t 2 i → + b y 3 + 3 b 2 y 5 t 2 j → + a c x y 5 t + 3 b c x y 5 t k →

Substituindo tal que já foi dado no enunciado o ponto desejado igual a P(1,2,3) e t1 = 2s, temos:

a → = 1.1 . 2 2 + 1 2 . 1.2 4 . 2 2 - 2.1 . 1 3 . 1.2 4 . 2 2 i → + - 1 3 . 2 3 + 3 - 1 3 2 . 2 5 . 2 2 j → + 1.1 . 1.2 5 . 2 - 3 1 3 . 1.1 . 2 5 . 2 k →

a → = 76 3 i → + 40 j →

Resposta

a → = 76 3 i → + 40 j →

Exercícios de Livros Relacionados

A inclinação da superfície livre de uma onda em regime permanente em um escoamento unidimensional em uma camada de líquido pouco profunda é descrito pela equação ∂ h ∂ x = - u g ∂ u ∂ x Use um escala
A equação que descreve a vibração de pequena amplitude de uma viga é ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0 em que y é a deflexão da viga no local x e no tempo t , ρ e E são a massa específica e o módu
O teorema de transporte de Reynolds (TTR) é discutido no Capítulo 4. Para o caso geral de um volume de controle móvel c/ou deformável, escrevemos o TTR da seguinte maneira:onde V r → é a velocidade re
Uma aplicação importante da mecânica dos fluidos é o estudo da ventilação de uma sala. Em particular, suponhamos que há uma fonte 5 (massa por unidade de tempo) de poluição do ar em uma sala de volume
Considere a ventilação de uma sala bem misturada como aquela da Figura P7-25. A equação diferencial da concentração de massa na sala como função do tempo é dada no Problema 7-25 e é repetida aqui por