Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Teoria Completa

Estudamos o movimento retilíneo uniforme(MRU), que é aquele que a velocidade é constante. Agora, vamos estudar o movimento em que a velocidade varia constantemente, ou seja, o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Temos que aceleração é a variação da velocidade no tempo, se a velocidade varia constantemente, significa que não importa o intervalo de tempo analisado a aceleração será a mesma.

a = c o n s t a n t e ; a ≠ 0

Assim como no MRU, também podemos relacionar a posição que o objeto se encontra com o tempo, usando:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2  

S   é a posição do objeto, S 0   a posição inicial do objeto, v 0   a velocidade inicial do objeto, a   é a aceleração do objeto e t   o tempo.

A equação da posição é dada por um polinômio do segundo grau e por isso o gráfico S   x   t   é uma parábola.

Bom, para achar a velocidade em um instante de tempo t , vamos usar a equação:

v = v 0 + a t  

v   é a velocidade do objeto no instante estudado, v 0   é a velocidade inicial do objeto, a   é aceleração do objeto e t   é o tempo.

A equação da velocidade é polinômio de primeiro grau, logo seu gráfico v   x   t   é uma reta onde a tangente do ângulo θ   é a aceleração a .

T g θ = a  

Equação de Torricelli

Se isolarmos t   na equação da velocidade e depois substituirmos ele na equação da posição lá de cima, vamos obter uma equação bem famosa, a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S  

Essa equação relaciona a velocidade com a variação da posição, sem depender do tempo, o que é bem importante, pois em muitos problemas o tempo não será informado e você deverá usar esta equação para resolvê-los.

Velocidade média

Como a aceleração a   é constante, temos que a velocidade varia uniformemente e por isso podemos calcular a velocidade média do movimento assim:

v m = v + v 0 2

Muitas fórmulas?? Vamos ver umas dicas para saber quando usar cada uma das fórmulas:

Primeiro para diferenciarmos que tipo de movimento é :

m o v i m e n t o   r e t i l í n e o u n i f o r m e → a = 0   u n i f o r m e m e n t e   v a r i a d o → a = c o n s t a n t e   ; a ≠ 0

No MRU, temos apenas uma fórmula para usarmos.

Se for MRUV,

  1. Se ele deu ou pediu o tempo, usaremos as equações que possuem o tempo. Depende apenas: dos dados do problema e do que ele pede, para saber se usamos a velocidade ou a posição.
  2. E ele NÃO deu e NÃO pediu o tempo, usaremos a equação de Torricelli.

A equação da velocidade média para M.U.V., é pouco usada, porém é importante conhece-la porque em alguns problemas é mais fácil calcular a velocidade final do que o tempo do percurso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-23

Um elétron possui uma aceleração constante de + 3,2   m / s 2 . Em certo instante, sua velocidade é + 9,6   m / s . Qual é sua velocidade a 2,5   s     antes e b   2,5   s   depois do instante considerado?

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Passo 1

Vamos analisar o enunciado e retirar alguns dados importantes, sabemos que sua aceleração vale:

a =   + 3,2   m / s 2

E temos que ele possuí uma velocidade de:

v = 9,6 m / s  

Gostaríamos de descobrir a velocidade dele 2,5 segundos, antes desse momento, e 2,5 segundos depois desse momento. Como fazer isso?

Por possuir aceleração constante sabemos que ele está em um Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV), então podemos usar a fórmula:

v = v 0 + a t

Que a partir de uma certa velocidade ( v 0 ), uma aceleração ( a ) e um tempo ( t ) nos permite descobrir a velocidade final ( v ).

Passo 2

a o problema pede a velocidade 2,5   s   antes, então no momento em que estamos sabemos que ele possuí uma velocidade v o = 9,6   m / s , uma aceleração a = 3,2   m / s 2 , e queremos descobrir um tempo t =   - 2,5 s , logo:

v = 9,6 + 3,2   .   ( - 2,5 )  

v = 1,6   m / s  

Então ele possuia uma velocidade de 1,6 m / s e com uma aceleração constante de 3,2 m / s 2 , durante 2,5 segundos ele alcançou a velocidade de 9,6 m / s .

Obs: Apesar de parecer estranho utilizarmos um tempo “negativo”, fazemos isso porque adotamos o momento atual como nosso t = 0 s , logo se estamos pensando em momentos anteriores ao momento atual estamos pensando em números negativos!

Passo 3

b como a velocidade pedida é velocidade 2,5   s   depois do instante em que ele possuí a velocidade v 0 = 9,6   m / s com uma aceleração a = 3,2   m / s 2 , podemos escrever:

v = 9,6 + 3,2 ⋅ 2,5

v = 17,6   m / s    

Resposta

a   1,6   m / s    

b   17,6   m / s    

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 53

Um motociclista se dirige para o leste através de uma cidade do Estado do Rio de Janeiro e acelera sua moto após sair de um sinal. Sua aceleração é constante e igual a 4   m / s 2 . Inicialmente ele está a 5,0   m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15   m / s .

  1. Determine sua posição e velocidade para t = 2,0   s .
  2. Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25   m / s ?
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Passo 1

A primeira coisa a descobrir é qual movimento a moto faz.

Sua aceleração é constante e diferente de zero, ele faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado,

D a d o s S 0 = 5   m V 0 = 15   m / s a = 4   m / s 2

Ele diz que a moto está indo para leste, observe o desenho da rosa dos ventos abaixo. Para Leste significa, para direita.

A posição é positiva por que ele está à leste do sinal, ou seja, para direita.

A velocidade e a aceleração são positivas porque ele se move para leste, ou seja, para direita.

Passo 2

a Nesse item, o enunciado nos deu o tempo.

Para encontrar a posição usamos a equação da posição pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado.

S = S 0 + V 0 . t + a . t 2 2

S = 5 + 15.2 + 4 . 2 2 2

S = 43   m

Passo 3

Agora vamos achar a velocidade.

Para encontrar a velocidade usamos a equação da velocidade pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado

V = V 0 + a . t

V = 15 + 4.2

V = 23 m / s

Passo 4

b Agora ele nos deu uma informação extra. A velocidade final.

Ficamos então com os seguintes dados do enunciado:

D a d o s S 0 = 5   m V 0 = 15   m / s V = 25   m / s a = 4   m / s 2

Desta vez, ele não nos deu nem pediu o tempo. Então vamos usar a equação de Torricelli, substituindo os valores dados no enunciado.

V 2 = V 0 2 + 2 . a . Δ S

25 2 = 15 2 + 2.4 . S - 5

8 S - 5 = 625 - 225 = 400

S - 5 = 400 8 = 50

S = 55   m

Resposta

  1. S = 43   m
  2. V = 23   m / s

  3. S = 55   m

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-29

Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0   m / s 2     até atingir a velocidade de 20   m / s . Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0   m / s 2     até parar. a   Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? b   Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?

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Passo 1

a Para calcular o tempo entre a partida e a parada do carro, vamos dividir o movimento em dois, o primeiro de aceleração e o segundo de frenagem.

1 º   m o v i m e n t o →   v 1 = v 0 + 2,0   t   2 º   m o v i m e n t o →   v 2 = v 0 - 1,0   t

Vamos analisar o primeiro movimento e calcular o tempo para chegar do repouso ( v 0 = 0 ) até a velocidade v = 20   m / s    

20 = 0 + 2.0   .   t 1

t 1 = 10   s  

Passo 2

Agora, vamos calcular o tempo de frenagem do carro no segundo movimento

0 = 20 - 1,0   t 2  

t 2 = 20   s  

Somando o tempo dos dois movimentos, temos que o tempo total é :

t t o t a l = t 1 + t 2

t t o t a l = 30   s  

Passo 3

b Novamente, vamos dividir o movimento em dois, pois temos duas acelerações diferentes.

Para o movimento de aceleração a = 2 ,   0   m / s 2 , temos que foram 10   s   e pela equação da posição conseguimos descobrir quanto o carro andou nesses   10   s    

S = 0 + 0 . t + 2 . 10 2 2

S = 100   m

Passo 4

Olhando o segundo movimento, que já sabemos que foram gastos 20   s   para executar o movimento; o carro estava com velocidade inicial v 0 = 20   m / s   e na posição S 0 = 100   m   , pela função posição:

S = 100 + 20   .   20 - 1 . 20 2 2

S = 500 - 200  

S = 300   m  

Como o veículo saiu inicalmente da posição S = 0 m (posição inicial do movimento 1) e parou na posição S = 300 m (posição final do movimento 2), então ele percorreu 300 m .

Observe que já utilizamos a informação da primeira distância, 100m, na equação do segundo movimento. Por isso não foi preciso somar a distância do primeiro movimento com a do segundo (:

Resposta

a   30   s  

b   300   m  

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 52

Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta-aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270   k m / h em uma distância aproximada de 90   m . Suponha aceleração constante.

  1. Calcule a aceleração do caça em m / s 2
  2. Calcule o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade de decolagem.
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Passo 1

A primeira coisa a descobrir é qual tipo de movimento o caça faz.

Como a aceleração é constante e diferente de zero o caça faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado podemos ver que

D a d o s S 0 = 0   m V 0 = 0   m / s V = 270   k m / h Δ S = 90   m

Temos um pequeno problema para resolver inicialmente, a unidade da velocidade final.

Como estamos trabalhando com a aceleração em m / s 2 as velocidades devem estar em m / s .

Para mudar de k m / h para m / s devemos DIVIDIR o valor da velocidade por 3,6 .

V = 270 3,6 = 75   m / s

Passo 2

a Não foi dado e nem pedido o tempo, nessa letra. Vamos então usar a equação de Torricelli para achar a aceleração, substituindo os valores dados na equação.

V 2 = V 0 2 + 2 a Δ S

75 2 = 0 2 + 2 . a . 90

180 a = 5625

a = 31,25   m / s 2

Passo 3

b Nessa letra ele pede o tempo que o caça atingiu aquela velocidade.

Pelos dados do problema podemos usar qualquer uma das equações que envolvem o tempo, porém é melhor usar

V = V 0 + a t

Porque? Como t é a incógnita, devemos escolher entre uma equação de 2º grau e uma equação de 1º grau, é mais fácil resolver a equação de primeiro grau.

75 = 0 + 31,25 t

31,25 t = 75

t = 2,4   s

Resposta

a   a = 31,25   m / s 2

b   t = 2,4   s

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 35-35

A figura mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo x   com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por x s = 6,0   m . Quais são a o módulo e b   o sentido da aceleração da partícula?

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Passo 1

A partícula descreve um movimento retilíneo uniformemente variado já que a aceleração é constante, e portanto segue essa equação aqui.

S f = S i + v 0 t + a t 2 2  

Como o enunciado definiu a escala vertical do gráfico, temos que cada traço vale 2,0   m , assim descobrimos o valor de S 0

S 0 = - 2,0   m  

O problema quer saber o valor da aceleração e por isso temos que pegar as informações do gráfico X   x   t  

Pelo gráfico conseguimos obter a posição no início do movimento e nos tempos 1 s e 2 s .

S 0 =   - 2   m   ; S 1 = 0   m ; S 2 =   6   m  

Passo 2

Para encontrarmos a aceleração vamos usar a equação da posição para dois trechos.

Para começar, vou escolher o trecho entre os tempos t = 0 s e t = 1 s .

S i = S 0 = - 2 m

S f = S 1 = 0

Com isso, a equação da posição ficará:

S 1 = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Substituindo esses valores na equação da posição e sabendo que o intervalo de tempo entre essas duas posições vale t = 1 s , ficamos com:

0 =   - 2 + v 0 . 1   + a . 1 2 2             1   e q  

Daqui tiramos a primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para um segundo trecho afim de termos 2 equações.

Eu escolhi olhar para o trecho entre t = 0 e t = 2 s , onde temos:

S i = S 0 = - 2,0 m

S f = S 2 = 6,0 m

Com isso, a equação da posição vai ficar:

S 2 = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Substituindo os valores e lembrando que o intervalo de tempo entre essas posições vale t = 2 s , teremos:

6 =     - 2 + v 0 . 2 + a . 2 2 2         2   e q  

Passo 4

Como queremos a aceleração a , e não temos informação de v 0 , podemos fazer um sisteminha de equações para cortar v 0 e ficarmos só com a aceleração a

0 =   - 2 + v 0 . 1   + a . 1 2 2             1   e q

6 =     - 2 + v 0 . 2 + a . 2 2 2         2   e q  

Multiplicando a primeira equação 1   e q por 2   e depois fazer a 2   e q - 1   e q

Chegamos em

8 - 4 =     0 .   v 0 + 2 a - a  

a = 4   m / s 2    

A aceleração da partícula é 4   m / s 2 no sentido positivo da trajetória, pois o valor encontrado é positivo.

Resposta

a   4 m / s 2

b Sentido positivo da trajetória

Exercício Resolvido #6

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 35-34 - Modificado

Um carro se move ao longo do eixo x   por uma distância de 900   m , partindo do repouso ( em x = 0 ) e terminando em repouso (   em x = 900   m ) . No primeiro quarto do percurso a aceleração é de + 2,25   m / s 2 . Nos outros três quartos a aceleração passa a ser - 0,750   m / s 2 . Quais são a o tempo necessário para percorrer os 900   m   e b a velocidade máxima?

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Passo 1

a e b Queremos o tempo necessário para percorrer os 900   m , para isso devemos dividir o trajeto em dois trechos, o trecho em que há um movimento de aceleração, primeiro um quarto do caminho, e o segundo trecho em que o carro desacelera, os outros três quartos do caminho.

1 º   u m   q u a r t o   x 0 = 0   x f = 225   m   v 0 = 0   a = 2,25   m / s 2

2 º   u m   q u a r t o   x 0 = 225   m   x f = 900   m   v f = 0   a = - 0,75   m / s 2

Passo 2

Vamos descobrir o tempo necessário para percorrer os 225   m   iniciais, substituindo os valores que temos referente a esse trecho na equação da posição

225 = 0 + 0 t + 2,25 t 2 2

t = 14,14   s  

Passo 3

Tendo o tempo que o carro acelera, podemos descobrir a velocidade máxima, que é a velocidade que o carro obtém ao final desse um quarto de caminho, pois a partir desse momento o carro começa a desacelerar.

v = 0 + 2,25 .   14,14   s

v = 31,82   m / s    

Passo 4

Tenda a velocidade máxima, achamos também a velocidade inicia v 0   do trecho 2

Assim podemos calcular o tempo gasto no segundo trecho pela equação da posição ou pela equação da velocida, como a da velocidade é uma equação do primeiro grau, usaremos ela:

0 = 31,82 - 0,75 .   t

t = 42,43   s

Passo 5

Somando o tempo do trecho 1 e do trecho 2 obtemos o tempo total

t t o t a l = 14,14 + 42,43  

t t o t a l = 56,57   s  

Resposta

a   t t o t a l = 56,57   s  

b   v m á x = 31,82   m / s    

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 38-71

No instante em que um sinal de trânsito fica verde um automóvel começa a se mover com uma aceleração constante a de 2,2   m / s 2 . No mesmo instante um caminhão, que se move com uma velocidade constante de 9,5   m / s , ultrapassa o automóvel. a A que distância do sinal o automóvel alcança o caminhão? b   Qual é a velocidade do automóvel nesse instante?

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Passo 1

Para saber a posição que o automóvel encontra o caminhão, vamos considerar a posição inicial sendo a posição que ambos saem (o sinal) como s 0 = 0 , vamos seguir o passo a passo que aprendemos para resolver esses exercícios.

Passo 2

Primeiro vamos descobrir o tipo de movimento que cada um executa.

O enunciado nos mostra que o carro está acelerando com a = 2,2   m / s 2 , saindo do repouso v 0 = 0   realizando um movimento retilíneo uniformemente variado. Já o caminhão, passa no sinal com velocidade constante v = 9,5   m / s     realizando assim um movimento retilíneo uniforme.

Passo 3

Vamos escrever as equações agora de cada movimento

c a r r o S = s 0 + v 0 t + a t 2 2 → S = 2,2 . t 2 2  

c a m i n h ã o   S = s 0 + v t → S = 9,5 t  

Passo 4

a   Queremos descobrir a posição que eles se encontram, mas para isso precisamos saber o instante que isso ocorre, como é um encontro podemos igualar suas posições.

2,2 t 2 2 = 9,5 t

Dividindo por t temos

1,1 t = 9,5

t = 8,636   s

Passo 5

Sabendo o instante em que ocorreu o encontro, fica fácil descobrir a posição do encontro e a velocidade do automóvel, basta substituirmos na equação da posição e da velocidade.

Para descobrirmos a posição vamos substituir na equação da posição do caminhão por ser uma equação linear mais “simples”

S = 9,5   .   8,636

S = 82,04   m

Passo 6

b Para sabermos a velocidade do automóvel no instante de tempo t = 8,636   s , vamos substituir esse instante de tempo na equação da velocidade que é:

v = v 0 + a t → v = 2,2 t

Por isso temos que a velocidade nesse instante é dada por

v = 2,2   .   8,636

v = 19     m / s  

Resposta

a   82,04   m  

b   19   m / s    

Exercício Resolvido #8

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 36-40

Na figura, um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x . Em t = 0 , o carro vermelho está em x v e r m e l h o = 0   e o carro verde está em x v e r d e = 220   m . Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de 20   k m / h ,   os carros se cruzam em x = 44,5   m ;   se tem uma velocidade constante de 40   k m / h ,   eles se cruzam em x = 76,6   m .   Quais são a   a velocidade inicial e b a aceleração do carro verde?

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Passo 1

Aqui temos dois movimentos sendo descritos pelo carro vermelho com velocidade constante v = 20 k m / h ou no outro caso com v = 40 k m / h .

Já o carro verde possui aceleração a que queremos encontrar, descrevendo um movimento retilíneo uniformemente variado com velocidade incial v 0 que também queremos descobrir.

Para encontrar a velocidade v 0 e a aceleração a   do carro verde foi nos dado o ponto de encontro dos carros para essas duas velocidades possíveis do carro vermelho.

Passo 2

O primeiro passo é definir o movimento de cada veículo, o carro vermelho está em um movimento retilíneo uniforme, em um momento com velocidade v = 20   k m / h     e em outro com velocidade v = 40   k m / h .     Enquanto o carro verde executa um movimento acelerado, já que o enunciado pede velocidade e aceleração.

Passando essas velocidades pra metros por segundo, temos:

v v e r m e l h o ,   1 = 20 ∙ 10 3 3600 = 50 9   m / s

v v e r m e l h o ,   2 = 40 ∙ 10 3 3600 = 100 9   m / s

Passo 3

Vamos agora escrever a equação de cada movimento com os dados que nos foi fornecido

O carro vermelho descreve um movimento uniforme:

S = S 0 + v t

E como pro carro vermelho a posição inicial é S 0 = 0 , temos as seguintes hipóteses.

c a r r o v e r m e l h o c a s o 1 : S = 50 9 t c a s o 2 ; S = 100 9 t

Passo 4

Vamos apenas igualar a posição de encontro nas equações da posição do carro vermelho, começando pelo caso 1, onde a posição de encontro é S = 44,5 m .

c a s o 1 44,5 = 50 9 .   t →   t = 8,01   s