Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Teoria Completa

Estudamos o movimento retilíneo uniforme(MRU), que é aquele que a velocidade é constante. Agora, vamos estudar o movimento em que a velocidade varia constantemente, ou seja, o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Temos que aceleração é a variação da velocidade no tempo, se a velocidade varia constantemente, significa que não importa o intervalo de tempo analisado a aceleração será a mesma.

a = c o n s t a n t e ; a ≠ 0

Assim como no MRU, também podemos relacionar a posição que o objeto se encontra com o tempo, usando:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2  

S   é a posição do objeto, S 0   a posição inicial do objeto, v 0   a velocidade inicial do objeto, a   é a aceleração do objeto e t   o tempo.

A equação da posição é dada por um polinômio do segundo grau e por isso o gráfico S   x   t   é uma parábola.

Bom, para achar a velocidade em um instante de tempo t , vamos usar a equação:

v = v 0 + a t  

v   é a velocidade do objeto no instante estudado, v 0   é a velocidade inicial do objeto, a   é aceleração do objeto e t   é o tempo.

A equação da velocidade é polinômio de primeiro grau, logo seu gráfico v   x   t   é uma reta onde a tangente do ângulo θ   é a aceleração a .

T g θ = a  

Equação de Torricelli

Se isolarmos t   na equação da velocidade e depois substituirmos ele na equação da posição lá de cima, vamos obter uma equação bem famosa, a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S  

Essa equação relaciona a velocidade com a variação da posição, sem depender do tempo, o que é bem importante, pois em muitos problemas o tempo não será informado e você deverá usar esta equação para resolvê-los.

Velocidade média

Como a aceleração a   é constante, temos que a velocidade varia uniformemente e por isso podemos calcular a velocidade média do movimento assim:

v m = v + v 0 2

Muitas fórmulas?? Vamos ver umas dicas para saber quando usar cada uma das fórmulas:

Primeiro para diferenciarmos que tipo de movimento é :

m o v i m e n t o   r e t i l í n e o u n i f o r m e → a = 0   u n i f o r m e m e n t e   v a r i a d o → a = c o n s t a n t e   ; a ≠ 0

No MRU, temos apenas uma fórmula para usarmos.

Se for MRUV,

  1. Se ele deu ou pediu o tempo, usaremos as equações que possuem o tempo. Depende apenas: dos dados do problema e do que ele pede, para saber se usamos a velocidade ou a posição.
  2. E ele NÃO deu e NÃO pediu o tempo, usaremos a equação de Torricelli.

A equação da velocidade média para M.U.V., é pouco usada, porém é importante conhece-la porque em alguns problemas é mais fácil calcular a velocidade final do que o tempo do percurso.

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-23

Um elétron possui uma aceleração constante de + 3,2   m / s 2 . Em certo instante, sua velocidade é + 9,6   m / s . Qual é sua velocidade a 2,5   s     antes e b   2,5   s   depois do instante considerado?

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Passo 1

Vamos analisar o enunciado e retirar alguns dados importantes, sabemos que sua aceleração vale:

a =   + 3,2   m / s 2

E temos que ele possuí uma velocidade de:

v = 9,6 m / s  

Gostaríamos de descobrir a velocidade dele 2,5 segundos, antes desse momento, e 2,5 segundos depois desse momento. Como fazer isso?

Por possuir aceleração constante sabemos que ele está em um Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV), então podemos usar a fórmula:

v = v 0 + a t

Que a partir de uma certa velocidade ( v 0 ), uma aceleração ( a ) e um tempo ( t ) nos permite descobrir a velocidade final ( v ).

Passo 2

a o problema pede a velocidade 2,5   s   antes, então no momento em que estamos sabemos que ele possuí uma velocidade v o = 9,6   m / s , uma aceleração a = 3,2   m / s 2 , e queremos descobrir um tempo t =   - 2,5 s , logo:

v = 9,6 + 3,2   .   ( - 2,5 )  

v = 1,6   m / s  

Então ele possuia uma velocidade de 1,6 m / s e com uma aceleração constante de 3,2 m / s 2 , durante 2,5 segundos ele alcançou a velocidade de 9,6 m / s .

Obs: Apesar de parecer estranho utilizarmos um tempo “negativo”, fazemos isso porque adotamos o momento atual como nosso t = 0 s , logo se estamos pensando em momentos anteriores ao momento atual estamos pensando em números negativos!

Passo 3

b como a velocidade pedida é velocidade 2,5   s   depois do instante em que ele possuí a velocidade v 0 = 9,6   m / s com uma aceleração a = 3,2   m / s 2 , podemos escrever:

v = 9,6 + 3,2 ⋅ 2,5

v = 17,6   m / s    

Resposta

a   1,6   m / s    

b   17,6   m / s    

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 53

Um motociclista se dirige para o leste através de uma cidade do Estado do Rio de Janeiro e acelera sua moto após sair de um sinal. Sua aceleração é constante e igual a 4   m / s 2 . Inicialmente ele está a 5,0   m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15   m / s .

  1. Determine sua posição e velocidade para t = 2,0   s .
  2. Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25   m / s ?
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Passo 1

A primeira coisa a descobrir é qual movimento a moto faz.

Sua aceleração é constante e diferente de zero, ele faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado,

D a d o s S 0 = 5   m V 0 = 15   m / s a = 4   m / s 2

Ele diz que a moto está indo para leste, observe o desenho da rosa dos ventos abaixo. Para Leste significa, para direita.

A posição é positiva por que ele está à leste do sinal, ou seja, para direita.

A velocidade e a aceleração são positivas porque ele se move para leste, ou seja, para direita.

Passo 2

a Nesse item, o enunciado nos deu o tempo.

Para encontrar a posição usamos a equação da posição pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado.

S = S 0 + V 0 . t + a . t 2 2

S = 5 + 15.2 + 4 . 2 2 2

S = 43   m

Passo 3

Agora vamos achar a velocidade.

Para encontrar a velocidade usamos a equação da velocidade pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado

V = V 0 + a . t

V = 15 + 4.2

V = 23 m / s

Passo 4

b Agora ele nos deu uma informação extra. A velocidade final.

Ficamos então com os seguintes dados do enunciado:

D a d o s S 0 = 5   m V 0 = 15   m / s V = 25   m / s a = 4   m / s 2

Desta vez, ele não nos deu nem pediu o tempo. Então vamos usar a equação de Torricelli, substituindo os valores dados no enunciado.

V 2 = V 0 2 + 2 . a . Δ S

25 2 = 15 2 + 2.4 . S - 5

8 S - 5 = 625 - 225 = 400

S - 5 = 400 8 = 50

S = 55   m

Resposta

  1. S = 43   m
  2. V = 23   m / s

  3. S = 55   m

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-29

Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0   m / s 2     até atingir a velocidade de 20   m / s . Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0   m / s 2     até parar. a   Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? b   Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?

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Passo 1

a Para calcular o tempo entre a partida e a parada do carro, vamos dividir o movimento em dois, o primeiro de aceleração e o segundo de frenagem.

1 º   m o v i m e n t o →   v 1 = v 0 + 2,0   t   2 º   m o v i m e n t o →   v 2 = v 0 - 1,0   t

Vamos analisar o primeiro movimento e calcular o tempo para chegar do repouso ( v 0 = 0 ) até a velocidade v = 20   m / s    

20 = 0 + 2.0   .   t 1

t 1 = 10   s  

Passo 2

Agora, vamos calcular o tempo de frenagem do carro no segundo movimento

0 = 20 - 1,0   t 2  

t 2 = 20   s  

Somando o tempo dos dois movimentos, temos que o tempo total é :

t t o t a l = t 1 + t 2

t t o t a l = 30   s  

Passo 3

b Novamente, vamos dividir o movimento em dois, pois temos duas acelerações diferentes.

Para o movimento de aceleração a = 2 ,   0   m / s 2 , temos que foram 10   s   e pela equação da posição conseguimos descobrir quanto o carro andou nesses   10   s    

S = 0 + 0 . t + 2 . 10 2 2

S = 100   m

Passo 4

Olhando o segundo movimento, que já sabemos que foram gastos 20   s   para executar o movimento; o carro estava com velocidade inicial v 0 = 20   m / s   e na posição S 0 = 100   m   , pela função posição:

S = 100 + 20   .   20 - 1 . 20 2 2

S = 500 - 200  

S = 300   m  

Como o veículo saiu inicalmente da posição S = 0 m (posição inicial do movimento 1) e parou na posição S = 300 m (posição final do movimento 2), então ele percorreu 300 m .

Observe que já utilizamos a informação da primeira distância, 100m, na equação do segundo movimento. Por isso não foi preciso somar a distância do primeiro movimento com a do segundo (:

Resposta

a   30   s  

b   300   m  

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 52

Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta-aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 270   k m / h em uma distância aproximada de 90   m . Suponha aceleração constante.

  1. Calcule a aceleração do caça em m / s 2
  2. Calcule o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade de decolagem.
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Passo 1

A primeira coisa a descobrir é qual tipo de movimento o caça faz.

Como a aceleração é constante e diferente de zero o caça faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado podemos ver que

D a d o s S 0 = 0   m V 0 = 0   m / s V = 270   k m / h Δ S = 90   m

Temos um pequeno problema para resolver inicialmente, a unidade da velocidade final.

Como estamos trabalhando com a aceleração em m / s 2 as velocidades devem estar em m / s .

Para mudar de k m / h para m / s devemos DIVIDIR o valor da velocidade por 3,6