Teoria Completa
Estudamos o movimento retilíneo uniforme(MRU), que é aquele que a velocidade é constante. Agora, vamos estudar o movimento em que a velocidade varia constantemente, ou seja, o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
Temos que aceleração é a variação da velocidade no tempo, se a velocidade varia constantemente, significa que não importa o intervalo de tempo analisado a aceleração será a mesma.
Assim como no MRU, também podemos relacionar a posição que o objeto se encontra com o tempo, usando:
é a posição do objeto, a posição inicial do objeto, a velocidade inicial do objeto, é a aceleração do objeto e o tempo.
A equação da posição é dada por um polinômio do segundo grau e por isso o gráfico é uma parábola.
Bom, para achar a velocidade em um instante de tempo , vamos usar a equação:
é a velocidade do objeto no instante estudado, é a velocidade inicial do objeto, é aceleração do objeto e é o tempo.
A equação da velocidade é polinômio de primeiro grau, logo seu gráfico é uma reta onde a tangente do ângulo é a aceleração
Equação de Torricelli
Se isolarmos na equação da velocidade e depois substituirmos ele na equação da posição lá de cima, vamos obter uma equação bem famosa, a equação de Torricelli:
Essa equação relaciona a velocidade com a variação da posição, sem depender do tempo, o que é bem importante, pois em muitos problemas o tempo não será informado e você deverá usar esta equação para resolvê-los.
Velocidade média
Como a aceleração é constante, temos que a velocidade varia uniformemente e por isso podemos calcular a velocidade média do movimento assim:
Muitas fórmulas?? Vamos ver umas dicas para saber quando usar cada uma das fórmulas:
Primeiro para diferenciarmos que tipo de movimento é :
No MRU, temos apenas uma fórmula para usarmos.
Se for MRUV,
- Se ele deu ou pediu o tempo, usaremos as equações que possuem o tempo. Depende apenas: dos dados do problema e do que ele pede, para saber se usamos a velocidade ou a posição.
- E ele NÃO deu e NÃO pediu o tempo, usaremos a equação de Torricelli.
A equação da velocidade média para M.U.V., é pouco usada, porém é importante conhece-la porque em alguns problemas é mais fácil calcular a velocidade final do que o tempo do percurso.
Exercício Resolvido #1
Um elétron possui uma aceleração constante de . Em certo instante, sua velocidade é . Qual é sua velocidade antes e depois do instante considerado?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado e retirar alguns dados importantes, sabemos que sua aceleração vale:
E temos que ele possuí uma velocidade de:
Gostaríamos de descobrir a velocidade dele 2,5 segundos, antes desse momento, e 2,5 segundos depois desse momento. Como fazer isso?
Por possuir aceleração constante sabemos que ele está em um Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV), então podemos usar a fórmula:
Que a partir de uma certa velocidade (), uma aceleração () e um tempo () nos permite descobrir a velocidade final ().
Passo 2
o problema pede a velocidade antes, então no momento em que estamos sabemos que ele possuí uma velocidade , uma aceleração , e queremos descobrir um tempo , logo:
Então ele possuia uma velocidade de 1,6 e com uma aceleração constante de 3,2 , durante 2,5 segundos ele alcançou a velocidade de 9,6 .
Obs: Apesar de parecer estranho utilizarmos um tempo “negativo”, fazemos isso porque adotamos o momento atual como nosso , logo se estamos pensando em momentos anteriores ao momento atual estamos pensando em números negativos!
Passo 3
como a velocidade pedida é velocidade depois do instante em que ele possuí a velocidade com uma aceleração , podemos escrever:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um motociclista se dirige para o leste através de uma cidade do Estado do Rio de Janeiro e acelera sua moto após sair de um sinal. Sua aceleração é constante e igual a . Inicialmente ele está a a leste do sinal, movendo-se para leste a .
- Determine sua posição e velocidade para .
- Onde está o motociclista quando sua velocidade é de ?
Passo 1
A primeira coisa a descobrir é qual movimento a moto faz.
Sua aceleração é constante e diferente de zero, ele faz um Movimento Uniformemente Variado.
Pelo enunciado,
Ele diz que a moto está indo para leste, observe o desenho da rosa dos ventos abaixo. Para Leste significa, para direita.
A posição é positiva por que ele está à leste do sinal, ou seja, para direita.
A velocidade e a aceleração são positivas porque ele se move para leste, ou seja, para direita.
Passo 2
Nesse item, o enunciado nos deu o tempo.
Para encontrar a posição usamos a equação da posição pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado.
Passo 3
Agora vamos achar a velocidade.
Para encontrar a velocidade usamos a equação da velocidade pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado
Passo 4
Agora ele nos deu uma informação extra. A velocidade final.
Ficamos então com os seguintes dados do enunciado:
Desta vez, ele não nos deu nem pediu o tempo. Então vamos usar a equação de Torricelli, substituindo os valores dados no enunciado.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de até atingir a velocidade de . Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante de até parar. Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?
Passo 1
Para calcular o tempo entre a partida e a parada do carro, vamos dividir o movimento em dois, o primeiro de aceleração e o segundo de frenagem.
Vamos analisar o primeiro movimento e calcular o tempo para chegar do repouso até a velocidade
Passo 2
Agora, vamos calcular o tempo de frenagem do carro no segundo movimento
Somando o tempo dos dois movimentos, temos que o tempo total é :
Passo 3
Novamente, vamos dividir o movimento em dois, pois temos duas acelerações diferentes.
Para o movimento de aceleração , temos que foram e pela equação da posição conseguimos descobrir quanto o carro andou nesses
Passo 4
Olhando o segundo movimento, que já sabemos que foram gastos para executar o movimento; o carro estava com velocidade inicial e na posição , pela função posição:
Como o veículo saiu inicalmente da posição (posição inicial do movimento 1) e parou na posição (posição final do movimento 2), então ele percorreu .
Observe que já utilizamos a informação da primeira distância, 100m, na equação do segundo movimento. Por isso não foi preciso somar a distância do primeiro movimento com a do segundo (:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta-aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de em uma distância aproximada de . Suponha aceleração constante.
- Calcule a aceleração do caça em
- Calcule o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade de decolagem.
Passo 1
A primeira coisa a descobrir é qual tipo de movimento o caça faz.
Como a aceleração é constante e diferente de zero o caça faz um Movimento Uniformemente Variado.
Pelo enunciado podemos ver que
Temos um pequeno problema para resolver inicialmente, a unidade da velocidade final.
Como estamos trabalhando com a aceleração em as velocidades devem estar em .
Para mudar de para devemos DIVIDIR o valor da velocidade por .
Passo 2
Não foi dado e nem pedido o tempo, nessa letra. Vamos então usar a equação de Torricelli para achar a aceleração, substituindo os valores dados na equação.
Passo 3
Nessa letra ele pede o tempo que o caça atingiu aquela velocidade.
Pelos dados do problema podemos usar qualquer uma das equações que envolvem o tempo, porém é melhor usar
Porque? Como é a incógnita, devemos escolher entre uma equação de 2º grau e uma equação de 1º grau, é mais fácil resolver a equação de primeiro grau.
Resposta
Exercício Resolvido #5
A figura mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por . Quais são o módulo e o sentido da aceleração da partícula?
Passo 1
A partícula descreve um movimento retilíneo uniformemente variado já que a aceleração é constante, e portanto segue essa equação aqui.
Como o enunciado definiu a escala vertical do gráfico, temos que cada traço vale , assim descobrimos o valor de
O problema quer saber o valor da aceleração e por isso temos que pegar as informações do gráfico
Pelo gráfico conseguimos obter a posição no início do movimento e nos tempos e .
Passo 2
Para encontrarmos a aceleração vamos usar a equação da posição para dois trechos.
Para começar, vou escolher o trecho entre os tempos e .
Com isso, a equação da posição ficará:
Substituindo esses valores na equação da posição e sabendo que o intervalo de tempo entre essas duas posições vale , ficamos com:
Daqui tiramos a primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos olhar para um segundo trecho afim de termos 2 equações.
Eu escolhi olhar para o trecho entre e , onde temos:
Com isso, a equação da posição vai ficar:
Substituindo os valores e lembrando que o intervalo de tempo entre essas posições vale , teremos:
Passo 4
Como queremos a aceleração , e não temos informação de , podemos fazer um sisteminha de equações para cortar e ficarmos só com a aceleração
Multiplicando a primeira equação por e depois fazer a
Chegamos em
A aceleração da partícula é no sentido positivo da trajetória, pois o valor encontrado é positivo.
Resposta
Sentido positivo da trajetória
Exercício Resolvido #6
Um carro se move ao longo do eixo por uma distância de , partindo do repouso em e terminando em repouso em . No primeiro quarto do percurso a aceleração é de . Nos outros três quartos a aceleração passa a ser . Quais são o tempo necessário para percorrer os e a velocidade máxima?
Passo 1
e Queremos o tempo necessário para percorrer os , para isso devemos dividir o trajeto em dois trechos, o trecho em que há um movimento de aceleração, primeiro um quarto do caminho, e o segundo trecho em que o carro desacelera, os outros três quartos do caminho.
Passo 2
Vamos descobrir o tempo necessário para percorrer os iniciais, substituindo os valores que temos referente a esse trecho na equação da posição
Passo 3
Tendo o tempo que o carro acelera, podemos descobrir a velocidade máxima, que é a velocidade que o carro obtém ao final desse um quarto de caminho, pois a partir desse momento o carro começa a desacelerar.
Passo 4
Tenda a velocidade máxima, achamos também a velocidade inicia do trecho 2
Assim podemos calcular o tempo gasto no segundo trecho pela equação da posição ou pela equação da velocida, como a da velocidade é uma equação do primeiro grau, usaremos ela:
Passo 5
Somando o tempo do trecho 1 e do trecho 2 obtemos o tempo total
Resposta
Exercício Resolvido #7
No instante em que um sinal de trânsito fica verde um automóvel começa a se mover com uma aceleração constante de No mesmo instante um caminhão, que se move com uma velocidade constante de , ultrapassa o automóvel. A que distância do sinal o automóvel alcança o caminhão? Qual é a velocidade do automóvel nesse instante?
Passo 1
Para saber a posição que o automóvel encontra o caminhão, vamos considerar a posição inicial sendo a posição que ambos saem (o sinal) como , vamos seguir o passo a passo que aprendemos para resolver esses exercícios.
Passo 2
Primeiro vamos descobrir o tipo de movimento que cada um executa.
O enunciado nos mostra que o carro está acelerando com , saindo do repouso realizando um movimento retilíneo uniformemente variado. Já o caminhão, passa no sinal com velocidade constante realizando assim um movimento retilíneo uniforme.
Passo 3
Vamos escrever as equações agora de cada movimento
Passo 4
Queremos descobrir a posição que eles se encontram, mas para isso precisamos saber o instante que isso ocorre, como é um encontro podemos igualar suas posições.
Dividindo por temos
Passo 5
Sabendo o instante em que ocorreu o encontro, fica fácil descobrir a posição do encontro e a velocidade do automóvel, basta substituirmos na equação da posição e da velocidade.
Para descobrirmos a posição vamos substituir na equação da posição do caminhão por ser uma equação linear mais “simples”
Passo 6
Para sabermos a velocidade do automóvel no instante de tempo , vamos substituir esse instante de tempo na equação da velocidade que é:
Por isso temos que a velocidade nesse instante é dada por
Resposta
Exercício Resolvido #8
Na figura, um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo . Em , o carro vermelho está em e o carro verde está em . Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de os carros se cruzam em se tem uma velocidade constante de eles se cruzam em Quais são a velocidade inicial e a aceleração do carro verde?
Passo 1
Aqui temos dois movimentos sendo descritos pelo carro vermelho com velocidade constante ou no outro caso com .
Já o carro verde possui aceleração que queremos encontrar, descrevendo um movimento retilíneo uniformemente variado com velocidade incial que também queremos descobrir.
Para encontrar a velocidade e a aceleração do carro verde foi nos dado o ponto de encontro dos carros para essas duas velocidades possíveis do carro vermelho.
Passo 2
O primeiro passo é definir o movimento de cada veículo, o carro vermelho está em um movimento retilíneo uniforme, em um momento com velocidade e em outro com velocidade Enquanto o carro verde executa um movimento acelerado, já que o enunciado pede velocidade e aceleração.
Passando essas velocidades pra metros por segundo, temos:
Passo 3
Vamos agora escrever a equação de cada movimento com os dados que nos foi fornecido
O carro vermelho descreve um movimento uniforme:
E como pro carro vermelho a posição inicial é , temos as seguintes hipóteses.
Passo 4
Vamos apenas igualar a posição de encontro nas equações da posição do carro vermelho, começando pelo caso 1, onde a posição de encontro é .