Campo e Energia em um Capacitor.

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Teoria

Campo Elétrico em Capacitores

Fala Aí, galerinha do bem!

É comum os professores cobrarem como calcular o campo elétrico e a energia em um capacitor. Vamos aprender como que determinamos tudo isso aí agora. ;]

Quando carregamos um capacitor, por exemplo, criamos um campo elétrico E entre as placas desse capacitor. Calcular esse campo não é nada diferente do que já sabemos, em uma situação de equilíbrio eletrostático pode ser calculado por:

E = V d

Lembrou, né? Mas se liga, esse caso só serve pra capacitores de placas paralelas!

Agora podemos relacionar isso aí com a capacitância e a carga, já que V = Q C , teremos:

E = Q C . d

Sendo esse d aqui a distância entre as placas.

Visualmente, o que acontece é o seguinte:

Daí pra cada tipo de capacitor você substitui seus valores de C pra resolver os problemas que vierem. Show? Vamos pro próximo.

Energia em Capacitores

Quando armazenamos uma carga no capacitor naturalmente estamos transferindo energia para ele. A energia potencial ou energia armazenada em um capacitor é dada por:

U = C V 2 2

Além disso, como temos que:

C = Q V

Então podemos calcular a energia potencial em função da carga Q , curtiu?

U = Q 2 2 C

Podemos brincar de substituir essa fórmula na da energia de outras maneiras, e vamos chegar à três fórmulas diferentes:

U = Q 2 2 C = C V 2 2 = Q V 2

Elas três dão no mesmo, a única coisa é você prestar atenção em qual delas vai resolver o seu problema mais rápido. Eu recomendo você gravar a primeira e usar a fórmula da capacitância para chegar nas outras duas.

Existe uma demonstração não muito complicada dessa fórmula só que não é muito relevante colocar aqui...

Ah, só lembrando aqui que a energia potencial do capacitor pode ser entendida também como o trabalho realizado pra criar um campo elétrico entre as placas carregadas, carregando o capacitor.

Então quando te perguntarem o trabalho pra carregar o capacitor, já sabe né? :}

Densidade de Energia em Capacitores

Densidade de energia, assim como a densidade que a gente já conhece, nada mais nada menos é que a quantidade de energia por unidade de volume. Algo do tipo:

u = U V o l

Sendo u a densidade de energia e V o l o volume da região que estamos interessados.

Catando um resultado qualquer daqueles de energia, tipo o U = C V 2 2 , podemos traduzir a expressão acima em

u = C V 2 2 . V o l

Vamos trabalhar um pouco mais essa expressão? A gente pode começar abrindo esse volume aí. Visualmente o volume que a gente quer saber aqui é o espaço entre os capacitores, se liga:

Esse volume da região entre as placas é o produto da área da placa A pela distância entre as placas d , logo:

V o l = A . d

Continuando na mesma linha, vamos também substituir na expressão os valores que conhecemos pra voltagem e capacitância.

V = E . d

C = ε 0 A d

Substituindo isso tudo na expressão da densidade de energia, teremos:

u = ε 0 A d E ² d ² 2 . A . d

u = ε 0 E 2 2

Essa expressão ainda vai aparecer bastante por aí, mas ela basicamente nos diz que a densidade de energia em um capacitor depende exclusivamente da intensidade do campo elétrico entre suas placas.

Deu pra pegar tudo? Vamos fixar melhor tudo isso nos exercícios. #VamoQueVamo!

Na prática

Um capacitor de placas paralelas possui capacitância C = 2 μ F e carga Q = 4 μ C . Se a distância entre as placas é 1 m m encontre o módulo do seu campo elétrico, sua energia e densidade de energia.

Bom, vamos começar pelo que é mais simples de se encontrar. Para a energia temos 3 expressões diretas:

U = Q 2 2 C = C V 2 2 = Q V 2

Como temos a carga e a capacitância, optaremos por:

U = Q 2 2 C = 4 2 2 × 2 = 4 J

Agora não tem jeito, precisamos do módulo do campo elétrico e só temos a seguinte opção:

E = V d

Mas a gente não tem a voltagem, e aí?

Ué só a gente substituir esse carinha aqui:

V = Q C

Daí temos:

E = Q C d = 4 2 × 1 × 10 - 3 = 2 × 10 3 N / C  

Detalhe que as unidades da carga e capacitância estão todas em micro   ( μ ) e por isso não precisamos converter na hora da divisão pois elas se cortam. Já a distância entre as placas precisou ser convertida pra gente já ter o resultado no S I que nos dá o campo elétrico em N e w t o n C o u l o m b .

Por último a densidade de energia vai ficar:

μ = ε 0 E 2 2 = 8,85 × 10 - 12 × 2 × 10 3 2 2 = 1,77 × 10 - 5 J / m 3

Repara que a densidade de energia tem unidade de energia por volume e no S I é J o u l e s / m ³ , beleza?

Vamos praticar com uns exercícios agora?

Densidade de Energia em Capacitores

Na prática

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual das seguintes afirmativas é falsa?

  1. No processo de carregamento de um capacitor, cria-se um campo elétrico entre suas placas.
  2. O trabalho necessário para se carregar um capacitor pode ser pensado como o trabalho necessário para se criar um campo elétrico entre suas placas
  3. A densidade de energia na região entre as placas de um capacitor depende linearmente do módulo do campo elétrico
  4. A diferença de potencial entre as placas de um capacitor plano paralelo depende linearmente do módulo do campo elétrico
  5. Ao dobrarmos a carga em cada uma das placas de um capacitor dado, dobramos a diferença de potencial entre suas placas

Passo 1

Vamos vendo uma por uma.

No processo de carregamento de um capacitor, cria-se um campo elétrico entre suas placas?

Sim, isso é verdadeiro. Se existe diferença de potencial entre dois pontos (como é o caso das placas opostas do capacitor) então necessariamente existe campo elétrico entre esses dois pontos.

Passo 2

O trabalho necessário para se carregar um capacitor pode ser pensado como o trabalho necessário para se criar um campo elétrico entre suas placas?

Pela mesma lógica do passo 1, isso é verdadeiro.

Passo 3

A densidade de energia na região entre as placas de um capacitor depende linearmente do módulo do campo elétrico?

Falso, basta olhar a fórmula: μ = ϵ 0 E 2 2

Podemos ver que a energia depende linearmente do quadrado do módulo.

Passo 4

A diferença de potencial entre as placas de um capacitor plano paralelo depende linearmente do módulo do campo elétrico?

Verdadeiro, basta olhar a fórmula: Δ V = - ∫ E → ∙ d r → . Se não estiver convencido, substitua o campo por um múltiplo dele k E → , você vai ver que o resultado é ter a d.d.p. (diferença de potencial) original multiplicada pelo fator k . Por isso a dependência entre o campo e a d.d.p. é linear.

Passo 5

Ao dobrarmos a carga em cada uma das placas de um capacitor dado, dobramos a diferença de potencial entre suas placas?

Verdade pois o campo depende linearmente da carga, por consequência a ddp também depende linearmente dela. Basta ver a Lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q ϵ 0

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

Um capacitor de 200   μ F é usado em uma câmera fotográfica para armazenar energia. Suponha que o capacitor foi carregado a 400   V . Qual é o valor da energia armazenada?

Passo 1

Vimos que a energia em um capacitor é calculada por U = Q 2 2 C .

Sabendo que Q = C V , basta substituirmos os valores certo? :)

Passo 2

A carga Q vai ser

Q = 200 × 10 - 6 × 400

Q = 0,08   C

Então, substituindo na fórmula da energia:

U = 0,08 2 2 × 200 × 10 - 6

U = 16   J

Resposta

U = 16   J

Exercício Resolvido #3

Para a segurança dos clientes, o supermercado utiliza lâmpadas de emergência e rádios transmissores que trabalham com corrente contínua. Para carregar suas baterias, no entanto, esses dispositivos utilizam corrente alternada. Isso é possível graças a seus retificadores que possuem, cada um, dois capacitores de 1.400   μ F , associados em paralelo. Os capacitores, descarregados e ligados a uma rede elétrica de tensão máxima igual a 170 V, estarão com carga plena após um certo intervalo de tempo t. Considerando t, determine:

a) a carga elétrica total acumulada;

b) a energia potencial total armazenada.

Passo 1

A carga elétrica acumulada é dada por Q = C V , enquanto a energia potencial será U = Q 2 2 C .

Basta substituir os valores :)

Lembrando que, como temos dois capacitores em paralelo precisamos calcular a capacitância equivalente.

C e q = 1400 ⋅ 10 - 6 + 1400 ⋅ 10 - 6

C e q = 2800 ⋅ 10 - 6 F

Passo 2

a) Calculando a carga total acumulada:

Q = 28 00 × 10 - 6 × 170

Q = 0 , 476 C

Passo 3

b) A energia potencial vai ser

U = 0,476 2 2 × 28 00 × 10 - 6

U = 40,46   J

Resposta

Q = 0 , 476   C

U = 40,46   J

Exercício Resolvido #4

A diferença de potencial entre as placas de um capacitor de 3,00   μ F é de 100   V .

a) Quanta energia é armazenada no capacitor?

b) Quanta energia adicional é necessária para aumentar a diferença de potencial entre as placas de 100   V para 200   V ?

Passo 1

A energia em um capacitor é calculada por U = Q 2 2 C .

Para a letra b, vamos usar a relação Q = C V para calcular Q em um V de 200   V , depois é só substituir na fórmula da energia.

Passo 2

a) A carga Q aqui vai ser

Q = 3 × 10 - 6 × 100

Q = 0,3   m C

Então, substituindo na fórmula da energia:

U = ( 0,3 × 10 - 3 ) 2 2 × 3 × 10 - 6

U = 0,015   J

Passo 3

b) Agora, a carga é

Q = 3 × 10 - 6 × 200

Q = 0,6   m C

Na fórmula de energia:

U = ( 0,6 × 10 - 3 ) 2 2 × 3 × 10 - 6

U = 0,06   J

A energia adicional será a energia necessária quando V = 200   V menos a energia necessária quando V = 100   V . Então:

U a d i c i o n a l = 0,06 - 0,015 = 0,045   J

Resposta

  1. U = 0,015   J
  2. U a d i c i o n a l = 0,0 45   J

Exercício Resolvido #5

Um capacitor possui placas paralelas separadas por uma distância igual a 1   m m . O espaço entre as placas está cheio de poliéster (Constante dielétrica, K = 3 ), que possui rigidez dielétrica E m a x = E → m a x = 6 × 10 7 N / C . I Qual a voltagem máxima, e I I a carga máxima possível que o capacitor pode suportar sem que ocorra ruptura dielétrica.

Considere que na ausência do poliéster o capacitor possui capacitância C 0 = 1 μ F .

a I   6 × 10 7   V ; I I   0,18   C

b I   6 × 10 4   V ; I I   0,18   C

c I   18 × 10 4   V ; I I   0,06   C

d I   6 × 10 7   V ; I I   1,8   C

e I   6 × 10 4   V ; I I   1,8   C

Passo 1

I Qual a voltagem máxima.

Entre as placas de um capacitor, o campo elétrico é constante, assim, a voltagem máxima está associada ao campo elétrico máximo por:

V m a x = E m a x d

Onde d = 1   m m = 10 - 3 m é a separação entre as placas, logo:

V m a x = 6 × 10 7 × 10 - 3

V m a x = 6 × 10 4

Passo 2

I I a carga máxima possível que o capacitor pode suportar sem que ocorra ruptura dielétrica.

A carga máxima está relacionada com a voltagem máxima por:

V m a x = Q m a x C → Q m a x = C V m a x

Onde, por conta do material dielétrico:

C = K C 0

Logo:

Q m a x = K C 0 V m a x

Substituindo os valores, teremos:

Q m a x = 3 × 10 - 6 × 6 × 10 4

Q m a x = 18 × 10 - 2

Q m a x = 0,18   C

Logo, a resposta certa é a letra b .

Resposta

b I   6 × 10 4   V ; I I   0,18   C

Exercício Resolvido #6

Um capacitor plano-paralelo tem placas idênticas de área A , cada uma, com separação L entre elas (conforme parte superior da figura ao lado). Numa primeira etapa, tal capacitor é ligado a uma bateria até atingir um módulo de diferença de potencial V 0 entre suas placas e, imediatamente, desconectado da bateria.

  1. Determine o módulo E 0 do campo elétrico e a energia eletrostática armazenada U 0 .
  2. Numa segunda etapa um isolante de constante dielétrica K é inserido no capacitor, preenchendo pela metade região entre suas placas, conforme mostrado na parte inferior da figura ao lado.

  3. Determine o módulo V da nova diferença de potencial entre as placas.
  4. Determine o módulo E i ( i = 1 , 2 , 3 ) do novo campo elétrico em cada uma das duas “metades” ( 1 e 2 ) entre as placas.
  5. Determine a nova energia eletrostática armazenada U .

Passo 1

a)

Bom, temos a voltagem e a separação entre as placas. O macete é usar a fórmula do potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Só que ele deu o módulo V 0 , então vamos trabalhar tudo em módulo:

V 0 = - ∫ C E 0 d r

Como temos que E 0 é constante, integramos d r ao longo do caminho, que é igual ao comprimento do mesmo:

V 0 = E 0 ∫ C d r

V 0 = E 0 L

Clássico resultado de capacitores:

E 0 = V 0 L

Passo 2

Agora podemos aplicar a fórmula da energia armazenada para matar a questão, escolhendo a mais adequada:

U 0 = C 0 V 0 2 2

A capacitância podemos jogar direto aquela nossa fórmula de bolso:

C 0 = ϵ 0 A L

U 0 = ϵ 0 A 2 L V 0 2

Passo 3

Como temos duas regiões em série, a voltagem entre elas é a soma das voltagens. Logo:

V = V 1 + V 2

Podemos achar esses módulos de voltagens integrando o campo, que é uniforme, na região onde estão definidas cada uma delas:

V 1 = E 0 ∫ 0 L / 2 d r

V 1 = E 0 L 2

Já o outro, é a mesma integral só que o campo elétrico é dividido pela constante dielétrica:

V 2 = E 0 L 2 K

Somando:

V = E 0 L 2 + E 0 L 2 K

V = E 0 L 2 1 + 1 K

Substituindo o valor da voltagem original V 0 = E 0 L :

V = V 0 2 1 + 1 K

Passo 4

O campo na primeira região é o mesmo de antes, porque lá não mudou nada.

E 1 = E 0

Na segunda região (onde enfiam um dielétrico) é só dividir pela constante dielétrica:

E 2 = E 0 K

Passo 5

Para calcular a nova energia armazenada é só substituir na fórmula:

U = C V 2 2

A voltagem nova nós temos... A capacitância nova não... Vamos ter que calcular ela ou tentar outra fórmula. Eu tentaria brincar com essa aqui:

U = Q V 2

A voltagem nós temos e a carga nova é igual. A carga de dois elementos em série é igual. Logo:

U = Q 0 V 2

U = Q 0 2 V 0 2 1 + 1 K = Q 0 V 0 4 1 + 1 K

A carga antiga entra na equação relacionando com a capacitância antiga:

C 0 = Q 0 V 0 → Q 0 = C 0 V 0

Voltando então

U = Q 0 V 0 4 1 + 1 K

U = C 0 V 0 2 4 1 + 1 K

E a capacitância antiga nós temos.

C 0 = ϵ 0 A L

E finalmente

U = ϵ 0 A 4 L V 0 2 1 + 1 K

Resposta

a)

E 0 = V 0 L

U 0 = ϵ 0 A 2 L V 0 2

b)

V = V 0 2 1 + 1 K

c)

E 1 = E 0

E 2 = E 0 K

d)

U = ϵ 0 A 4 L V 0 2 1 + 1 K

Exercício Resolvido #7

Duas placas condutoras quadradas, cada qual com lado igual a L , são separadas por uma distância D . Uma placa dielétrica com constante dielétrica K e com dimensões L × L × D é inserida até uma distância x no espaço entre as placas, como indica a figura.

(a) Calcule a capacitância C do sistema.

(b) Suponha que o capacitor seja conectado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre as placas. Se a placa dielétrica for inserida até uma distância adicional d x no espaço entre as placas, mostre que a variação de energia acumulada é dada por:

d U = + K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

(c) Suponha que, antes de a placa se mover uma distância d x , as placas sejam desconectadas da bateria, de modo que as cargas das placas permaneçam constantes. Determine o módulo da carga em cada placa e a seguir mostre que, quando a placa penetra mais uma distância d x no interior do espaço entre as placas, a energia acumulada varia de uma quantidade igual em módulo, mas de sinal contrário ao valor d U encontrado no item (b).

Passo 1

(a) Calcule a capacitância C do sistema.

Vamos imaginar que o dispositivo da figura seja uma associação de dois capacitores em paralelo, sendo que um deles possui um dielétrico entre suas placas. As capacitâncias para os capacitores sem dielétrico C 0 e com dielétrico C K são dadas por:

C 0 = ϵ 0 L L - x D ,

C K = K ϵ 0 L x D .

Fazendo a associação em paralelos, vamos ter a seguinte capacitância equivalente:

C e q = C 0 + C K ,

C e q = ϵ 0 L D L + x K - 1 .

Passo 2

(b) Suponha que o capacitor seja conectado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre as placas. Se a placa dielétrica for inserida até uma distância adicional d x no espaço entre as placas, mostre que a variação de energia acumulada é dada por:

d U = + K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

A energia acumulada no capacitor pode ser calculada como:

U = C e q V 2 2 .

Podemos substituir na expressão acima o valor da capacitância equivalente que calculamos. Temos, então:

U = ϵ 0 L 2 D L + x K - 1 V 2 .

Podemos agora derivar U em relação a x para calcular a taxa de variação:

d U d x = ϵ 0 L V 2 2 D K - 1 .

Por fim, temos que:

d U = K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x .

Passo 3

(c) Suponha que, antes de a placa se mover uma distância d x , as placas sejam desconectadas da bateria, de modo que as cargas das placas permaneçam constantes. Determine o módulo da carga em cada placa e a seguir mostre que, quando a placa penetra mais uma distância d x no interior do espaço entre as placas, a energia acumulada varia de uma quantidade igual em módulo, mas de sinal contrário ao valor d U encontrado no item (b).

A carga acumulada é dada por:

Q = C e q V .

Substituindo o valor de C e q na expressão acima, temos:

Q = ϵ 0 L D L + x K - 1 V .

Já a energia acumulada é calculada como:

U = Q 2 2 C e q .

Bem, como queremos calcular a taxa de variação de U em relação a x , podemos derivar a expressão acima usando a regra da cadeia. Vamos lá:

d U d x = d U d C e q d C e q d x ,

d U d x = - Q 2 2 C e q 2 d C e q d x ,

onde consideramos que a carga é constante! Lembrnado que as placas agora estão desconectadas da bateria ;)

Vamos continuar, agora sim substituindo o valor de Q na expressão aí de cima:

d U d x = - ϵ 0 L D L + x K - 1 V 2 2 ϵ 0 L D L + x K - 1 2 d d x ϵ 0 L D L + x K - 1 ,

d U d x = - V 2 2 ϵ 0 L K - 1 D ,

d U = - K - 1 ϵ 0 V 2 L 2 D d x ,

que é onde queríamos chegar!

Resposta

(a) C e q = ϵ 0 L D L + x K - 1 .

(c)   Q = ϵ 0 L D L + x K - 1 V .