Densidade de Cargas

Teoria Completa

Introdução

Até agora, vimos apenas os casos de cargas puntiformes, que tratamos como cargas concentradas em um único ponto.

Na vida real, trabalhamos com corpos extensos,nos quais a carga se distribui por todo o seu volume.

Então, neste capítulo vamos estudar como entender essas distribuições.Para isso, vamos bater um papo sobre a densidade de cargas.

Densidade linear de carga λ – Caso uniforme

Vamos primeiro tratar de corpos unidimensionais, como fios ou barras,nos quais a carga pode se distribuir ao longo de uma linha.

Nessa situação, dizemos que temos uma densidade linear de cargas λ , que é “o quanto de carga você tem para cada unidade de comprimento do fio”.

Então, a gente precisa ver o quanto de carga Δ q existe em um pedacinho de fio Δ x , beleza?

Note que, para o fio desenhado na figura, essa quantidade está igualmente distribuída por todo o fio, então dizemos que a barra estáuniformemente carregada.

Imaginem que cada carguinha laranja vale 1   m C . Então, temos 4   m C de carga para cada unidade de Δ X .

Vamos supor que Δ X seja igual a 1   m m . Dessa forma, a densidade linear de carga do fio será:

λ f i o = Δ Q Δ x = 4   m C 1 m m = 4.10 - 3 10 - 3 = 4 C m

A unidade da densidade linear de cargas no S.I.é o “coulomb por metro”.

Como a barra está uniformemente carregada, então podemos também calcular o valor da densidade linear do fio como a divisão entre a carga total e o comprimento total do fio ;)

λ f i o = Δ Q Δ x = Q f i o L

Assim, podemos pegar qualquer intervalinho do fio ou o fio inteiro para calcular a densidade linear uniforme de cargas.

Mas e se a carga se distribuir de um jeito diferente?

Densidade linear de carga – Caso variável

Observe a figura seguinte:

Vamos começar olhando pra cada pedacinho:

  • No primeiro pedaço temos uma única bolinha de carga ( 1 2 = 1 ) ;
  • No segundo pedaço temos quatro ( 2 2 = 4 ) ;
  • No terceiro temos nove ( 3 2 = 9 ) ;
  • No pedaço n teremos n 2 bolinhas em nossa representação.

As cargas preferem ficar na parte mais à direita do fio. Temos então um caso de densidade linear não homogênea de cargas.

Se liga, como cada pedacinho de comprimento Δ x tem uma quantidade de carga diferente, não podemos simplesmente calcular a densidade linear de carga pegando aleatoriamente um pedacinho desses (como fizemos antes), faz sentido?

Então, a densidade linear de cargas nesse caso, deve ser definida para cada ponto do fio, ou seja, para cada valor de x !

Para isso, devemos tomar um intervalo muito pequeno, tão pequeno que irá se confundir com um ponto x . Esse pedaço infinitesimal d x terá uma carga infinitesimal d q associada a ele, de forma que podemos escrever a densidade linear de carga da seguinte forma:

λ = Δ Q Δ x → λ = d q d x

Para calcular essa derivada, basta saber como a carga q x varia em função de x .

Como vamos calcular a densidade em um único ponto, não vou mais escrever λ f i o , vou escrever λ x , para cada valor de x possível.

Lembrando que cada carguinha tem 1   m C e cada pedaço tem 1 m m , vamos ter o seguinte:

λ x = x 2 m C m m = x 2 . 10 - 3 C 10 - 3 m = x 2 C m

Vamos supor que eu peça o seguinte: quanto de carga temos entre as posições x = 1 m e x = 2 m ?

Para isso, a sacada é:

λ x = d q d x → d q = λ x . d x

Q = ∫ d q = ∫ 1 2 λ x . d x

Calculando:

∫ 1 2 λ x . d x = ∫ 1 2 x 2 . d x = 2 3 - 1 3 3 = 7 3   C

Integrando-se a densidade ao longo do comprimento podemos obter a carga total entre dois intervalos.

Da mesma forma, se o fio tem comprimento L então, para sabermos a carga total basta que integremos entre 0 e L :

∫ 0 L λ x . d x = ∫ 0 L x 2 . d x = L 3 3

Densidade superficial de cargas σ e densidade volumétrica de cargas ρ

Além de termos o caso de um fio, que tem uma única dimensão, podemos também ter um disco ou um retângulo, que possuem duas dimensões, ou até mesmo o caso de corpos de três dimensões, como esferas e cilindros.

A ideia é a mesma. No caso de corpos com duas dimensões, falamos em densidade superficial de cargas σ e temos que derivar a quantidade de cargas em um pequeno pedaço bidimensional do corpo de área d A :

σ = d q d A

Então d A é um elemento infinitesimal de área. Assim, a carga numa determinada região é uma integral de superfície:

Q 2 D = ∫ S σ . d A

O mesmo ocorre quando tomamos corpos com volume,ou seja, com três dimensões. Nesse caso, estamos falando em densidade volumétrica de carga ρ , dada por:

ρ = d q d V

Logo, pra calcular a carga total de um objeto tridimensional, basta integrar em relação ao volume.

Q 3 D = ∫ V ρ P . d V

É só isso.

No entanto, precisamos entender como realizar esses cálculos em questões práticas. Para isso iremos dividir essa integração em 3 casos diferentes.

Integração em coordenadas retangulares

O caso mais simples para calcularmos a carga em um corpo a partir de sua densidade superficial (caso de duas dimensões) ou de sua densidade volumétrica (caso com três dimensões) é aquele em que trabalhamos com retângulos ou paralelepípedos.

Por exemplo:

No retângulo da figura, queremos saber a carga dentro da superfície D . Sabendo que a densidade de cargas do corpo, em função de x e de y vale:

σ x , y = x 2 + y 3

Para isso, precisamos integrar em dois intervalos:

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 2

Com isso, o nosso problema se resolve em uma integral dupla:

Q = ∫ 0 3 ∫ 0 2 ( x 2 + y 3 ) . d y . d x = ∫ 0 3 x 2 y + y 4 4 0 2 . d x

Q = ∫ 0 3 2 x 2 + 2 4 4 . d x = 2 x 3 3 + 2 4 4 . x 0 3 = 18 + 12 = 30   C

O mesmo seria feito no caso de um paralelepípedo de três dimensões. Nesse caso teríamos que fazer uma integral tripla, envolvendo três variáveis x ,   y e z .

Assim, a integral dupla e tripla são integradas, respectivamente, por:

d A = d x . d y

d V = d x . d y . d z

Integração em coordenadas circulares, esféricas e cilíndricas

A coisa fica diferente quando o problema envolve a densidade superficial de discos e a densidade volumétrica de cargas.

Nesses casos, precisamos saber expressar matematicamente os elementos infinitesimais de área e volume em objetos circulares.

Coordenadas Circulares:

Se liga na figura abaixo:

Nesse disco, a densidade superficial de cargas é dada pela seguinte função:

σ r = C r 4

Onde C é uma constante. O nosso trabalho aqui é calcular a carga total desse disco, beleza?

Repare que agora a densidade de cargas é dada em função do raio.

O nosso primeiro passo aqui é determinar a área infinitesimal d A . Para isso, começamos olhando para a área da circunferência de raio r (nossa variável), dada por:

A = π r 2

Para calcular o valor do elemento infinitesimal de área, devemos derivá-la em relação ao raio:

d A d r = 2 π r → d A = 2 π r . d r

Então, o elemento de área vale o produto entre o comprimento do círculo vermelho da figura e a espessura infinitesimal azul d r .

Como queremos calcular a carga total:

0 ≤ r ≤ R

Logo:

Q = ∫ 0 R C r 4 . d A = C ∫ 0 R r 4 . ( 2 π r . d r ) = 2 π C . ∫ 0 R r 5 . d r = C π R 6 3

Coordenadas Esféricas:

No caso da esfera, o problema fica muito parecido.Agora, o elemento de volume é calculado da seguinte forma:

V = 4 3 π r 3 → d V d r = 4 π r 2

d V = 4 π r 2 . d r

Coordenadas Cilíndricas:

Nesse caso, podemos ter uma mistura das duas situações anteriores.

Duas dimensões do cilindro aumentam com o aumento d r , esse aumento é o mesmo que encontramos no caso do disco: d A = 2 . π . r . d r .

Já no eixo do cilindro, temos uma variação perpendicular à área d A , de espessura d l .Dessa forma, o volume infinitesimal será dado por:

d V = d A . d l = 2 π . r . d r . d l

Por aqui, a densidade volumétrica de cargas será determinada em função de duas variáveis: l e r . Então, nosso problema se reduziria a uma integral dupla:

∫ l = 0 L ∫ r = 0 R ρ h , R . d V = ∫ l = 0 L ∫ r = 0 R ρ h , R . 2 π . r . d r . d l

As contas ficariam muito parecidas com os casos anteriores.

No caso em que a densidade volumétrica de cargas depende somente do raio do cilindro, o volume infinitesimal será dado por:

d V = 2 π r L . d r

Onde L é o comprimento do cilindro.

#PartiuExercícios!;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dado um disco de raio R com a seguinte distribuição de cargas superficiais:

σ r = k   r 2

Qual a carga total?

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Passo 1

É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:

σ = d q d A → d q = σ d A

Q total = ∫ disco   d q

Q total = ∫ 0 R σ d A

Passo 2

Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área d A . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o d A com respeito à elas.

Seja A a área de um disco arbitrário de raio r . Temos então que:

A = π r 2

Desse fato segue que:

d A = 2 π r   d r

Passo 3

Portanto podemos substituir:

Q total = ∫ 0 R k   r 2 2 π r   d r

Q total = 2 π k ∫ 0 R r 3 d r

Q total = 2 π k r 4 4 0 R

Q total = π k R 4 2

Fim de papo.

Resposta

Q total = π k R 4 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Uma barra não condutora possui comprimento L = 14,3   c m e carga q = - 1,35   μ C distribuída uniformemente. Quanto vale a densidade linear de carga λ dessa barra?

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Passo 1

Vamo lá! A gente tem que lembrar antes de tudo que

λ = q L

Então basta substituir os valores dados pelo enunciado e chegaremos no nosso λ ;D (lembrando de converter o comprimento de centímetros para metros hein)

λ = - 1,35 × 10 - 6 C 14,3 × 10 - 2 m

λ = - 9,44 × 10 - 6

Resposta

λ = - 9,44 × 10 - 6

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja uma esfera de raio R e densidade de cargas dada pela expressão

ρ r = k 0 r 2

Calcule a carga total na esfera.

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Passo 1

Podemos calcular a carga total integrando em toda a esfera as cargas pontuais d q :

Q total = ∫ esfera   d q

O que corresponde à integrar no seguinte domínio (utilizando coordenadas polares):

Q total = ∫ 0 R d q

Passo 2

Podemos trocar o diferencial de carga por um diferencial de espaço utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V

d q = ρ d V

Substituindo:

Q total = ∫ 0 R ρ d V

Plugando a fórmula da densidade que vem do enunciado:

Q t o t a l = ∫ 0 R k 0 r 2 d V

Passo 3

Agora vamos expressar nosso diferencial de volume em função das coordenadas polares que estamos usando. Seja V o volume de uma esfera de raio r arbitrário. Desse fato segue que:

V = 4 3 π r 3

d V = 4 π r 2   d r

Portanto podemos substituir na fórmula:

Q total = ∫ 0 R k 0 r 2 × 4 π r 2 d r

Q total = 4 π k 0 ∫ 0 R d r

Q total = 4 π k 0 R

Fim de papo.

Resposta

Q total = 4 π k 0 R

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Observe a figura abaixo:

Dado que esse anel tem raio a , digamos que a densidade de carga linear dele seja:

λ = λ 0 sen ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo trigonométrico, medido à partir do eixo O x no sentido anti-horário e λ 0 é uma constante arbitrária. A questão é: qual a carga total do anel?

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Passo 1

A densidade de carga linear não significa que vamos estar sempre integrando em uma barra reta. Linear significa somente que estamos integrando em uma dimensão só.

Bom, o início do esquema é sempre o mesmo:

λ = d q d l → d q = λ   d l

Agora integramos em todo o anel:

Q total = ∫ Anel   λ   d l

Show. A função λ θ nós temos, agora falta identificar esse d l e o nosso domínio de integração, que ainda está meio misterioso.

Passo 2

Estamos usando um sistema de coordenadas cartesianas, quem deve ser o nosso d l ? Seria d x ou d y ? Ou nenhum dos dois? Só conseguimos responder isso se entendermos o que de fato é o diferencial de comprimento d l : ele é um pedaço infinitesimal do anel.

Ou seja, não pode ser nem d x nem d y . O único jeito de tratar esse comprimento infinitesimal é com coordenadas polares:

Agora sim, podemos então escrever:

d l = a   d θ

Passo 3

E em função de θ nós sabemos escrever nosso domínio de integração. Portanto:

Q total = ∫ 0 2 π λ 0 sen ⁡ θ a   d θ

Q total = a λ 0 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ = a λ 0 - cos ⁡ θ θ = 0 θ = 2 π = a λ 0 1 - 1

Logo:

Q total = a λ 0 × 0

Q total = 0

A carga total deu zero, sendo que ela não é nula em todos os pontos. Pode isso, produção? Claro que pode, ora. Basta que a quantidade de cargas positivas seja igual à quantidade de cargas negativas. Que é exatamente o que acontece. Como podemos observar pela característica da função seno:

sen ⁡ θ > 0 → θ ∈ 0 , π

sen ⁡ θ < 0 → θ ∈ π , 2 π

Podemos perceber que a carga total vai dar zero.

Isso encerra como calcular a carga de barras curvas circulares, é só trocar para coordenadas polares.

Resposta

Q total = 0

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Um disco de raio b de espessura desprezível tem um furo circular em seu centro. Dado que o raio do furo é a e o disco possui densidade de carga superficial igual a:

σ = C r 2 ,     r > 0

Com C tendo unidades de carga. Calcule a carga total do disco.

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Passo 1

Desenhando o que foi descrito temos:

Passo 2

Como queremos a carga total, utilizamos a definição da densidade superficial:

σ = d q d A → d q = σ d A

E trocamos o diferencial de área por sua expressão em coordenadas polares. Uma dica para os impacientes (tipo eu): calcule o diferencial com calma. A expressão para a área do círculo você conhece:

A = π r 2

Derivando:

d A = 2 π r   d r

E assim evitamos erros crassos, como o que eu acabei de cometer resolvendo essa questão haha.

Passo 3

Integrando em todo o disco:

Q total = ∫ a b σ d A

Segue que:

Q total = ∫ a b C r 2 ⋅ 2 π r   d r

Puxando o 2 π C pra fora e arrumando:

Q total   = 2 π C ∫ a b d r r

Finalmente fazemos a conta da integral:

Q total = 2 π C ln ⁡ r a b

Q total = 2 π C ln ⁡ b - ln ⁡ a

Arrumando novamente:

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

Resposta

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Uma esfera centrada na origem tem raio R e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:

ρ = A r 2

Onde A é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio R 0 , se:

  1. R 0 ≥ R
  2. R 0 < R
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Passo 1

Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:

No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.

Passo 2

Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item a assim:

Q i n t = Q t o t a l

Q i n t = ∫ 0 R d q

Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:

d V = 4 π r 2   d r

Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.

Passo 3

Substituindo:

Q i n t = ∫ 0 R A r 2 × 4 π r 2   d r

Arrumando:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R r 4 d r

E finalmente calculamos:

Q i n t = 4 π A R 5 5

Item a respondido!

Passo 4

Agora precisamos desenhar a situação do item b :

Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.

Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:

Q i n t = ∫ 0 R 0 d q

Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R 0 r 4 d r

E obtemos o resultado:

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

E acabou.

Resposta

  1. Q i n t = 4 π A R 5 5

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria.

A Figura abaixo mostra uma semicircunferência de raio a com uma carga positiva Q distribuída conforme a seguinte densidade linear λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , com λ 0 sendo uma constante. Nessas circunstâncias, qual é a carga total da semicircunferência?

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Passo 1

Para encontrarmos o valor da carga total Q t o t a l , precisamos resolver a seguinte integral:

Q t o t a l = ∫ 0 π λ ( θ ) d l   .

Como mostramos na Figura acima, o elemento de comprimento d l é dado por d l = a d θ . Se substituímos isso na integral juntamente com λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , ficamos com

Q t o t a l = λ 0 a ∫ 0 π s e n θ d θ = - λ 0 a cos ⁡ π - cos ⁡ 0 .

Disso, vamos chegar à seguinte expressão para a carga total

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

Resposta

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

Exercício Resolvido #8

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 22.65, Adaptado, pp. 70.

Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga + Q = 1,60   ×   10 - 19   C e um elétron com carga – Q = - 1,6   ×   10 - 19   C . Podemos considerar o próton como uma carga puntiforme situada em r = 0 , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por

ρ r = - Q π a 0 3 e - 2 r a 0     ,

em que a 0 = 5,29   ×   10 - 11   m é chamado de raio de Bohr.

  1. Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton;
  2. Como fica a carga quando r → ∞ ? Explique o resultado obtido nesse limite.
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Passo 1

Neste exercício, temos basicamente o que está representado na Figura a) abaixo. O próton, com carga positiva + Q