Densidade de Cargas

Teoria Completa

Introdução

Até agora, vimos apenas os casos de cargas puntiformes, que tratamos como cargas concentradas em um único ponto.

Na vida real, trabalhamos com corpos extensos,nos quais a carga se distribui por todo o seu volume.

Então, neste capítulo vamos estudar como entender essas distribuições.Para isso, vamos bater um papo sobre a densidade de cargas.

Densidade linear de carga λ – Caso uniforme

Vamos primeiro tratar de corpos unidimensionais, como fios ou barras,nos quais a carga pode se distribuir ao longo de uma linha.

Nessa situação, dizemos que temos uma densidade linear de cargas λ , que é “o quanto de carga você tem para cada unidade de comprimento do fio”.

Então, a gente precisa ver o quanto de carga Δ q existe em um pedacinho de fio Δ x , beleza?

Note que, para o fio desenhado na figura, essa quantidade está igualmente distribuída por todo o fio, então dizemos que a barra estáuniformemente carregada.

Imaginem que cada carguinha laranja vale 1   m C . Então, temos 4   m C de carga para cada unidade de Δ X .

Vamos supor que Δ X seja igual a 1   m m . Dessa forma, a densidade linear de carga do fio será:

λ f i o = Δ Q Δ x = 4   m C 1 m m = 4.10 - 3 10 - 3 = 4 C m

A unidade da densidade linear de cargas no S.I.é o “coulomb por metro”.

Como a barra está uniformemente carregada, então podemos também calcular o valor da densidade linear do fio como a divisão entre a carga total e o comprimento total do fio ;)

λ f i o = Δ Q Δ x = Q f i o L

Assim, podemos pegar qualquer intervalinho do fio ou o fio inteiro para calcular a densidade linear uniforme de cargas.

Mas e se a carga se distribuir de um jeito diferente?

Densidade linear de carga – Caso variável

Observe a figura seguinte:

Vamos começar olhando pra cada pedacinho:

  • No primeiro pedaço temos uma única bolinha de carga ( 1 2 = 1 ) ;
  • No segundo pedaço temos quatro ( 2 2 = 4 ) ;
  • No terceiro temos nove ( 3 2 = 9 ) ;
  • No pedaço n teremos n 2 bolinhas em nossa representação.

As cargas preferem ficar na parte mais à direita do fio. Temos então um caso de densidade linear não homogênea de cargas.

Se liga, como cada pedacinho de comprimento Δ x tem uma quantidade de carga diferente, não podemos simplesmente calcular a densidade linear de carga pegando aleatoriamente um pedacinho desses (como fizemos antes), faz sentido?

Então, a densidade linear de cargas nesse caso, deve ser definida para cada ponto do fio, ou seja, para cada valor de x !

Para isso, devemos tomar um intervalo muito pequeno, tão pequeno que irá se confundir com um ponto x . Esse pedaço infinitesimal d x terá uma carga infinitesimal d q associada a ele, de forma que podemos escrever a densidade linear de carga da seguinte forma:

λ = Δ Q Δ x → λ = d q d x

Para calcular essa derivada, basta saber como a carga q x varia em função de x .

Como vamos calcular a densidade em um único ponto, não vou mais escrever λ f i o , vou escrever λ x , para cada valor de x possível.

Lembrando que cada carguinha tem 1   m C e cada pedaço tem 1 m m , vamos ter o seguinte:

λ x = x 2 m C m m = x 2 . 10 - 3 C 10 - 3 m = x 2 C m

Vamos supor que eu peça o seguinte: quanto de carga temos entre as posições x = 1 m e x = 2 m ?

Para isso, a sacada é:

λ x = d q d x → d q = λ x . d x

Q = ∫ d q = ∫ 1 2 λ x . d x

Calculando:

∫ 1 2 λ x . d x = ∫ 1 2 x 2 . d x = 2 3 - 1 3 3 = 7 3   C

Integrando-se a densidade ao longo do comprimento podemos obter a carga total entre dois intervalos.

Da mesma forma, se o fio tem comprimento L então, para sabermos a carga total basta que integremos entre 0 e L :

∫ 0 L λ x . d x = ∫ 0 L x 2 . d x = L 3 3

Densidade superficial de cargas σ e densidade volumétrica de cargas ρ

Além de termos o caso de um fio, que tem uma única dimensão, podemos também ter um disco ou um retângulo, que possuem duas dimensões, ou até mesmo o caso de corpos de três dimensões, como esferas e cilindros.

A ideia é a mesma. No caso de corpos com duas dimensões, falamos em densidade superficial de cargas σ e temos que derivar a quantidade de cargas em um pequeno pedaço bidimensional do corpo de área d A :

σ = d q d A

Então d A é um elemento infinitesimal de área. Assim, a carga numa determinada região é uma integral de superfície:

Q 2 D = ∫ S σ . d A

O mesmo ocorre quando tomamos corpos com volume,ou seja, com três dimensões. Nesse caso, estamos falando em densidade volumétrica de carga ρ , dada por:

ρ = d q d V

Logo, pra calcular a carga total de um objeto tridimensional, basta integrar em relação ao volume.

Q 3 D = ∫ V ρ P . d V

É só isso.

No entanto, precisamos entender como realizar esses cálculos em questões práticas. Para isso iremos dividir essa integração em 3 casos diferentes.

Integração em coordenadas retangulares

O caso mais simples para calcularmos a carga em um corpo a partir de sua densidade superficial (caso de duas dimensões) ou de sua densidade volumétrica (caso com três dimensões) é aquele em que trabalhamos com retângulos ou paralelepípedos.

Por exemplo:

No retângulo da figura, queremos saber a carga dentro da superfície D . Sabendo que a densidade de cargas do corpo, em função de x e de y vale:

σ x , y = x 2 + y 3

Para isso, precisamos integrar em dois intervalos:

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 2

Com isso, o nosso problema se resolve em uma integral dupla:

Q = ∫ 0 3 ∫ 0 2 ( x 2 + y 3 ) . d y . d x = ∫ 0 3 x 2 y + y 4 4 0 2 . d x

Q = ∫ 0 3 2 x 2 + 2 4 4 . d x = 2 x 3 3 + 2 4 4 . x 0 3 = 18 + 12 = 30   C

O mesmo seria feito no caso de um paralelepípedo de três dimensões. Nesse caso teríamos que fazer uma integral tripla, envolvendo três variáveis x ,   y e z .

Assim, a integral dupla e tripla são integradas, respectivamente, por:

d A = d x . d y

d V = d x . d y . d z

Integração em coordenadas circulares, esféricas e cilíndricas

A coisa fica diferente quando o problema envolve a densidade superficial de discos e a densidade volumétrica de cargas.

Nesses casos, precisamos saber expressar matematicamente os elementos infinitesimais de área e volume em objetos circulares.

Coordenadas Circulares:

Se liga na figura abaixo:

Nesse disco, a densidade superficial de cargas é dada pela seguinte função:

σ r = C r 4

Onde C é uma constante. O nosso trabalho aqui é calcular a carga total desse disco, beleza?

Repare que agora a densidade de cargas é dada em função do raio.

O nosso primeiro passo aqui é determinar a área infinitesimal d A . Para isso, começamos olhando para a área da circunferência de raio r (nossa variável), dada por:

A = π r 2

Para calcular o valor do elemento infinitesimal de área, devemos derivá-la em relação ao raio:

d A d r = 2 π r → d A = 2 π r . d r

Então, o elemento de área vale o produto entre o comprimento do círculo vermelho da figura e a espessura infinitesimal azul d r .

Como queremos calcular a carga total:

0 ≤ r ≤ R

Logo:

Q = ∫ 0 R C r 4 . d A = C ∫ 0 R r 4 . ( 2 π r . d r ) = 2 π C . ∫ 0 R r 5 . d r = C π R 6 3

Coordenadas Esféricas:

No caso da esfera, o problema fica muito parecido.Agora, o elemento de volume é calculado da seguinte forma:

V = 4 3 π r 3 → d V d r = 4 π r 2

d V = 4 π r 2 . d r

Coordenadas Cilíndricas:

Nesse caso, podemos ter uma mistura das duas situações anteriores.

Duas dimensões do cilindro aumentam com o aumento d r , esse aumento é o mesmo que encontramos no caso do disco: d A = 2 . π . r . d r .

Já no eixo do cilindro, temos uma variação perpendicular à área d A , de espessura d l .Dessa forma, o volume infinitesimal será dado por:

d V = d A . d l = 2 π . r . d r . d l

Por aqui, a densidade volumétrica de cargas será determinada em função de duas variáveis: l e r . Então, nosso problema se reduziria a uma integral dupla:

∫ l = 0 L ∫ r = 0 R ρ h , R . d V = ∫ l = 0 L ∫ r = 0 R ρ h , R . 2 π . r . d r . d l

As contas ficariam muito parecidas com os casos anteriores.

No caso em que a densidade volumétrica de cargas depende somente do raio do cilindro, o volume infinitesimal será dado por:

d V = 2 π r L . d r

Onde L é o comprimento do cilindro.

#PartiuExercícios!;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dado um disco de raio R com a seguinte distribuição de cargas superficiais:

σ r = k   r 2

Qual a carga total?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:

σ = d q d A → d q = σ d A

Q total = ∫ disco   d q

Q total = ∫ 0 R σ d A

Passo 2

Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área d A . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o d A com respeito à elas.

Seja A a área de um disco arbitrário de raio r . Temos então que:

A = π r 2

Desse fato segue que:

d A = 2 π r   d r

Passo 3

Portanto podemos substituir:

Q total = ∫ 0 R k   r 2 2 π r   d r

Q total = 2 π k ∫ 0 R r 3 d r

Q total = 2 π k r 4 4 0 R

Q total = π k R 4 2

Fim de papo.

Resposta

Q total = π k R 4 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Uma barra não condutora possui comprimento L = 14,3   c m e carga q = - 1,35   μ C distribuída uniformemente. Quanto vale a densidade linear de carga λ dessa barra?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamo lá! A gente tem que lembrar antes de tudo que

λ = q L

Então basta substituir os valores dados pelo enunciado e chegaremos no nosso λ ;D (lembrando de converter o comprimento de centímetros para metros hein)

λ = - 1,35 × 10 - 6 C 14,3 × 10 - 2 m

λ = - 9,44 × 10 - 6

Resposta

λ = - 9,44 × 10 - 6

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja uma esfera de raio R e densidade de cargas dada pela expressão