Densidade de Carga
Teoria
Fala aí! Pronto para aprender sobre densidade de carga de uma maneira bem simples e eficaz? Vem comigo!
Quando estamos trabalhando com cargas puntiformes, temos que toda a carga que tem nelas fica concentrada nem um único ponto. Mas, na vida real lidamos com corpos extensos, nos quais a carga se distribuiu por todo o seu comprimento, área e volume. Sendo assim, faz-se necessário entender como é essa distribuição de carga nesses corpos e, por isso estudamos a densidade de carga.
Densidade de Carga Linear
Vamos tratar primeiro de corpos unidimensionais, como fios e barras, nos quais a carga se distribuiu apenas ao longo de uma linha.
Nesse caso, dizemos que temos uma densidade de carga linear, que por definição "é a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de comprimento do fio". É representada por
Então, precisamos ver o quanto de carga

Perceba nessa imagem que as cargas preferem ficar mais para direita da barra do que para a esquerda, ou seja, a densidade de carga linear é não homogênea e vai depender do ponto
Dado isso, vamos definir a densidade de carga linear como a derivada da carga em relação ao comprimento da barra:
sendo
É muito comum encontrarmos questões que dão uma expressão para a densidade de carga linear em função de
Vamos fazer um exemplo aqui para você entender melhor.
Uma barra de comprimento
Bom, nós deduzimos rapidamente ali em cima a fórmula para calcularmos a carga total, então, vamos usá-la, substituindo apenas a expressão de
Pegou a dinâmica?
Então bora para o próximo ponto!
Densidade de Carga Superficial
Aqui a lógica é a mesma do que para a densidade de carga linear, mas agora estamos lidando com um corpo bidimensional e não mais unidimensional.
Sendo assim, a densidade de carga superficial é definida como "a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de ÁREA". É representada por
Similarmente, dada uma densidade de carga superficial em função da área podemos encontrar a carga total do corpo resolvendo a integral:
Densidade de Carga Volumétrica
Aqui vamos seguir a mesma lógica só que para corpos tridimensionais.
A densidade de carga volumétrica é definida como "a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de VOLUME". É representada por
E, podemos novamente calcular a carga total a partir da densidade de carga volumétrica dada:
E prontinho!
Tudo que temos que fazer agora é praticar com muitos exercícios resolvidos do Responde Aí! 😁
Densidade de Carga Superficial
Densidade de Carga Volumétrica
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Dado um disco de raio com a seguinte distribuição de cargas superficiais:
Qual a carga total?
Passo 1
É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:
Passo 2
Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o com respeito à elas.
Seja a área de um disco arbitrário de raio . Temos então que:
Desse fato segue que:
Passo 3
Portanto podemos substituir:
Fim de papo.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria.
Uma barra não condutora possui comprimento e carga distribuída uniformemente. Quanto vale a densidade linear de carga dessa barra?
Passo 1
Vamo lá! A gente tem que lembrar antes de tudo que
Então basta substituir os valores dados pelo enunciado e chegaremos no nosso ;D (lembrando de converter o comprimento de centímetros para metros hein)
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Seja uma esfera de raio e densidade de cargas dada pela expressão
Calcule a carga total na esfera.
Passo 1
Podemos calcular a carga total integrando em toda a esfera as cargas pontuais :
O que corresponde à integrar no seguinte domínio (utilizando coordenadas polares):
Passo 2
Podemos trocar o diferencial de carga por um diferencial de espaço utilizando a definição da densidade:
Substituindo:
Plugando a fórmula da densidade que vem do enunciado:
Passo 3
Agora vamos expressar nosso diferencial de volume em função das coordenadas polares que estamos usando. Seja o volume de uma esfera de raio arbitrário. Desse fato segue que:
Portanto podemos substituir na fórmula:
Fim de papo.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Observe a figura abaixo:
Dado que esse anel tem raio , digamos que a densidade de carga linear dele seja:
Onde é o ângulo trigonométrico, medido à partir do eixo no sentido anti-horário e é uma constante arbitrária. A questão é: qual a carga total do anel?
Passo 1
A densidade de carga linear não significa que vamos estar sempre integrando em uma barra reta. Linear significa somente que estamos integrando em uma dimensão só.
Bom, o início do esquema é sempre o mesmo:
Agora integramos em todo o anel:
Show. A função nós temos, agora falta identificar esse e o nosso domínio de integração, que ainda está meio misterioso.
Passo 2
Estamos usando um sistema de coordenadas cartesianas, quem deve ser o nosso ? Seria ou ? Ou nenhum dos dois? Só conseguimos responder isso se entendermos o que de fato é o diferencial de comprimento : ele é um pedaço infinitesimal do anel.
Ou seja, não pode ser nem nem . O único jeito de tratar esse comprimento infinitesimal é com coordenadas polares:
Agora sim, podemos então escrever:
Passo 3
E em função de nós sabemos escrever nosso domínio de integração. Portanto:
Logo:
A carga total deu zero, sendo que ela não é nula em todos os pontos. Pode isso, produção? Claro que pode, ora. Basta que a quantidade de cargas positivas seja igual à quantidade de cargas negativas. Que é exatamente o que acontece. Como podemos observar pela característica da função seno:
Podemos perceber que a carga total vai dar zero.
Isso encerra como calcular a carga de barras curvas circulares, é só trocar para coordenadas polares.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Um disco de raio de espessura desprezível tem um furo circular em seu centro. Dado que o raio do furo é e o disco possui densidade de carga superficial igual a:
Com tendo unidades de carga. Calcule a carga total do disco.
Passo 1
Desenhando o que foi descrito temos:
Passo 2
Como queremos a carga total, utilizamos a definição da densidade superficial:
E trocamos o diferencial de área por sua expressão em coordenadas polares. Uma dica para os impacientes (tipo eu): calcule o diferencial com calma. A expressão para a área do círculo você conhece:
Derivando:
E assim evitamos erros crassos, como o que eu acabei de cometer resolvendo essa questão haha.
Passo 3
Integrando em todo o disco:
Segue que:
Puxando o pra fora e arrumando:
Finalmente fazemos a conta da integral:
Arrumando novamente:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Uma esfera centrada na origem tem raio e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:
Onde é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio , se:
Passo 1
Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:
No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.
Passo 2
Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item assim:
Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:
E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:
Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.
Passo 3
Substituindo:
Arrumando:
E finalmente calculamos:
Item respondido!
Passo 4
Agora precisamos desenhar a situação do item :
Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.
Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:
Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:
E obtemos o resultado:
E acabou.
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração própria.
A Figura abaixo mostra uma semicircunferência de raio com uma carga positiva distribuída conforme a seguinte densidade linear , com sendo uma constante. Nessas circunstâncias, qual é a carga total da semicircunferência?
Passo 1
Para encontrarmos o valor da carga total , precisamos resolver a seguinte integral:
Como mostramos na Figura acima, o elemento de comprimento é dado por . Se substituímos isso na integral juntamente com , ficamos com
Disso, vamos chegar à seguinte expressão para a carga total
Resposta
Exercício Resolvido #8
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 22.65, Adaptado, pp. 70.
Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga e um elétron com carga . Podemos considerar o próton como uma carga puntiforme situada em , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por
em que é chamado de raio de Bohr.
- Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio centralizada sobre o próton;
- Como fica a carga quando ? Explique o resultado obtido nesse limite.
Passo 1
Neste exercício, temos basicamente o que está representado na Figura a) abaixo. O próton, com carga positiva localizado na origem e a carga do elétron distribuída ao longo de uma esfera de raio com uma densidade de cargas com comportamento exponencial.
A carga total da Figura a) é dada por
sendo que é a carga ‘espalhada’ do elétron dentro da esfera de raio , que é negativa. Para obtermos a carga total, primeiro vamos calcular a carga do elétron...
Passo 2
a) Para calcularmos , vamos utilizar a Figura b), que mostra um volume ’. Incluindo esse elemento de volume e a densidade volumétrica dada, temos que a carga total é dada por
Como você faz lá no cálculo frequentemente, poderíamos utilizar a integral por partes duas vezes na integral acima e obter o resultado. Aqui, para a gente avançar mais rápido, vou te mostrar o resultado de integrais desse tipo:
em que é uma constante de integração. Aplicando esse resultado em e substituindo os limites de integração, você vai chegar no seguinte:
Somando esse resultando com a carga do próton, a carga total será
Podemos simplicar um pouco mais para obter que:
Passo 3
b) No limite de , como a função exponencial vai a zero mais rapidamente do que as funções de dentro dos parênteses vão para infinito, então, teremos que:
Esse é um resultado esperado, pois se a gente integra sobre todo o espaço, carga total será
que é exatamente a soma das cargas do próton e do elétron, fazendo com que o átomo de hidrogênio seja neutro.
Resposta
- pois o átomo de hidrogênio como um todo é neutro.
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