Densidade de Carga

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Teoria

Fala aí! Pronto para aprender sobre densidade de carga de uma maneira bem simples e eficaz? Vem comigo!

Quando estamos trabalhando com cargas puntiformes, temos que toda a carga que tem nelas fica concentrada nem um único ponto. Mas, na vida real lidamos com corpos extensos, nos quais a carga se distribuiu por todo o seu comprimento, área e volume. Sendo assim, faz-se necessário entender como é essa distribuição de carga nesses corpos e, por isso estudamos a densidade de carga.

Densidade de Carga Linear

Vamos tratar primeiro de corpos unidimensionais, como fios e barras, nos quais a carga se distribuiu apenas ao longo de uma linha.

Nesse caso, dizemos que temos uma densidade de carga linear, que por definição "é a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de comprimento do fio". É representada por e expressa em coulomb/metro

Então, precisamos ver o quanto de carga tem em cada pedacinho de fio . Dá uma olhada aqui dessa imagem:

Exemplo de distribuição de carga ao longo de uma barra
Exemplo de distribuição de carga ao longo de uma barra

Perceba nessa imagem que as cargas preferem ficar mais para direita da barra do que para a esquerda, ou seja, a densidade de carga linear é não homogênea e vai depender do ponto da barra que estamos considerando.

Dado isso, vamos definir a densidade de carga linear como a derivada da carga em relação ao comprimento da barra:

sendo uma função que depende de :

É muito comum encontrarmos questões que dão uma expressão para a densidade de carga linear em função de e pede para determinar a carga total. Para resolver esse problema bata a gente pegar a a definição de densidade de carga linear, isolar e depois integrar em todo o comprimento em relação a . Assim:

Vamos fazer um exemplo aqui para você entender melhor.

Uma barra de comprimento tem densidade de carga linear dada por . Calcule a carga total dessa barra.

Bom, nós deduzimos rapidamente ali em cima a fórmula para calcularmos a carga total, então, vamos usá-la, substituindo apenas a expressão de dada na questão:

Pegou a dinâmica?

Então bora para o próximo ponto!

Densidade de Carga Superficial

Aqui a lógica é a mesma do que para a densidade de carga linear, mas agora estamos lidando com um corpo bidimensional e não mais unidimensional.

Sendo assim, a densidade de carga superficial é definida como "a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de ÁREA". É representada por e expressa em coulomb/metro quadrado .

Similarmente, dada uma densidade de carga superficial em função da área podemos encontrar a carga total do corpo resolvendo a integral:

Densidade de Carga Volumétrica

Aqui vamos seguir a mesma lógica só que para corpos tridimensionais.

A densidade de carga volumétrica é definida como "a quantidade de carga que se encontra em cada unidade de VOLUME". É representada por e expressa em coulomb/metro cúbico

E, podemos novamente calcular a carga total a partir da densidade de carga volumétrica dada:

E prontinho!

Tudo que temos que fazer agora é praticar com muitos exercícios resolvidos do Responde Aí! 😁

Densidade de Carga Superficial

Densidade de Carga Volumétrica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dado um disco de raio R com a seguinte distribuição de cargas superficiais:

σ r = k   r 2

Qual a carga total?

Passo 1

É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:

σ = d q d A → d q = σ d A

Q total = ∫ disco   d q

Q total = ∫ 0 R σ d A

Passo 2

Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área d A . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o d A com respeito à elas.

Seja A a área de um disco arbitrário de raio r . Temos então que:

A = π r 2

Desse fato segue que:

d A = 2 π r   d r

Passo 3

Portanto podemos substituir:

Q total = ∫ 0 R k   r 2 2 π r   d r

Q total = 2 π k ∫ 0 R r 3 d r

Q total = 2 π k r 4 4 0 R

Q total = π k R 4 2

Fim de papo.

Resposta

Q total = π k R 4 2

Exercício Resolvido #2

Uma barra não condutora possui comprimento L = 14,3   c m e carga q = - 1,35   μ C distribuída uniformemente. Quanto vale a densidade linear de carga λ dessa barra?

Passo 1

Vamo lá! A gente tem que lembrar antes de tudo que

λ = q L

Então basta substituir os valores dados pelo enunciado e chegaremos no nosso λ ;D (lembrando de converter o comprimento de centímetros para metros hein)

λ = - 1,35 × 10 - 6 C 14,3 × 10 - 2 m

λ = - 9,44 × 10 - 6   C / m

Resposta

λ = - 9,44 × 10 - 6   C / m

Exercício Resolvido #3

Seja uma esfera de raio R e densidade de cargas dada pela expressão

ρ r = k 0 r 2

Calcule a carga total na esfera.

Passo 1

Podemos calcular a carga total integrando em toda a esfera as cargas pontuais d q :

Q total = ∫ esfera   d q

O que corresponde à integrar no seguinte domínio (utilizando coordenadas polares):

Q total = ∫ 0 R d q

Passo 2

Podemos trocar o diferencial de carga por um diferencial de espaço utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V

d q = ρ d V

Substituindo:

Q total = ∫ 0 R ρ d V

Plugando a fórmula da densidade que vem do enunciado:

Q t o t a l = ∫ 0 R k 0 r 2 d V

Passo 3

Agora vamos expressar nosso diferencial de volume em função das coordenadas polares que estamos usando. Seja V o volume de uma esfera de raio r arbitrário. Desse fato segue que:

V = 4 3 π r 3

d V = 4 π r 2   d r

Portanto podemos substituir na fórmula:

Q total = ∫ 0 R k 0 r 2 × 4 π r 2 d r

Q total = 4 π k 0 ∫ 0 R d r

Q total = 4 π k 0 R

Fim de papo.

Resposta

Q total = 4 π k 0 R

Exercício Resolvido #4

Observe a figura abaixo:

Dado que esse anel tem raio a , digamos que a densidade de carga linear dele seja:

λ = λ 0 sen ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo trigonométrico, medido à partir do eixo O x no sentido anti-horário e λ 0 é uma constante arbitrária. A questão é: qual a carga total do anel?

Passo 1

A densidade de carga linear não significa que vamos estar sempre integrando em uma barra reta. Linear significa somente que estamos integrando em uma dimensão só.

Bom, o início do esquema é sempre o mesmo:

λ = d q d l → d q = λ   d l

Agora integramos em todo o anel:

Q total = ∫ Anel   λ   d l

Show. A função λ θ nós temos, agora falta identificar esse d l e o nosso domínio de integração, que ainda está meio misterioso.

Passo 2

Estamos usando um sistema de coordenadas cartesianas, quem deve ser o nosso d l ? Seria d x ou d y ? Ou nenhum dos dois? Só conseguimos responder isso se entendermos o que de fato é o diferencial de comprimento d l : ele é um pedaço infinitesimal do anel.

Ou seja, não pode ser nem d x nem d y . O único jeito de tratar esse comprimento infinitesimal é com coordenadas polares:

Agora sim, podemos então escrever:

d l = a   d θ

Passo 3

E em função de θ nós sabemos escrever nosso domínio de integração. Portanto:

Q total = ∫ 0 2 π λ 0 sen ⁡ θ a   d θ

Q total = a λ 0 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ = a λ 0 - cos ⁡ θ θ = 0 θ = 2 π = a λ 0 1 - 1

Logo:

Q total = a λ 0 × 0

Q total = 0

A carga total deu zero, sendo que ela não é nula em todos os pontos. Pode isso, produção? Claro que pode, ora. Basta que a quantidade de cargas positivas seja igual à quantidade de cargas negativas. Que é exatamente o que acontece. Como podemos observar pela característica da função seno:

sen ⁡ θ > 0 → θ ∈ 0 , π

sen ⁡ θ < 0 → θ ∈ π , 2 π

Podemos perceber que a carga total vai dar zero.

Isso encerra como calcular a carga de barras curvas circulares, é só trocar para coordenadas polares.

Resposta

Q total = 0

Exercício Resolvido #5

Um disco de raio b de espessura desprezível tem um furo circular em seu centro. Dado que o raio do furo é a e o disco possui densidade de carga superficial igual a:

σ = C r 2 ,     r > 0

Com C tendo unidades de carga. Calcule a carga total do disco.

Passo 1

Desenhando o que foi descrito temos:

Passo 2

Como queremos a carga total, utilizamos a definição da densidade superficial:

σ = d q d A → d q = σ d A

E trocamos o diferencial de área por sua expressão em coordenadas polares. Uma dica para os impacientes (tipo eu): calcule o diferencial com calma. A expressão para a área do círculo você conhece:

A = π r 2

Derivando:

d A = 2 π r   d r

E assim evitamos erros crassos, como o que eu acabei de cometer resolvendo essa questão haha.

Passo 3

Integrando em todo o disco:

Q total = ∫ a b σ d A

Segue que:

Q total = ∫ a b C r 2 ⋅ 2 π r   d r

Puxando o 2 π C pra fora e arrumando:

Q total   = 2 π C ∫ a b d r r

Finalmente fazemos a conta da integral:

Q total = 2 π C ln ⁡ r a b

Q total = 2 π C ln ⁡ b - ln ⁡ a

Arrumando novamente:

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

Resposta

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

Exercício Resolvido #6

Uma esfera centrada na origem tem raio R e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:

ρ = A r 2

Onde A é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio R 0 , se:

  1. R 0 ≥ R
  2. R 0 < R

Passo 1

Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:

No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.

Passo 2

Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item a assim:

Q i n t = Q t o t a l

Q i n t = ∫ 0 R d q

Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:

d V = 4 π r 2   d r

Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.

Passo 3

Substituindo:

Q i n t = ∫ 0 R A r 2 × 4 π r 2   d r

Arrumando:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R r 4 d r

E finalmente calculamos:

Q i n t = 4 π A R 5 5

Item a respondido!

Passo 4

Agora precisamos desenhar a situação do item b :

Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.

Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:

Q i n t = ∫ 0 R 0 d q

Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R 0 r 4 d r

E obtemos o resultado:

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

E acabou.

Resposta

  1. Q i n t = 4 π A R 5 5

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

Exercício Resolvido #7

A Figura abaixo mostra uma semicircunferência de raio a com uma carga positiva Q distribuída conforme a seguinte densidade linear λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , com λ 0 sendo uma constante. Nessas circunstâncias, qual é a carga total da semicircunferência?

Passo 1

Para encontrarmos o valor da carga total Q t o t a l , precisamos resolver a seguinte integral:

Q t o t a l = ∫ 0 π λ ( θ ) d l   .

Como mostramos na Figura acima, o elemento de comprimento d l é dado por d l = a d θ . Se substituímos isso na integral juntamente com λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , ficamos com

Q t o t a l = λ 0 a ∫ 0 π s e n θ d θ = - λ 0 a cos ⁡ π - cos ⁡ 0 .

Disso, vamos chegar à seguinte expressão para a carga total

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

Resposta

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

Exercício Resolvido #8

Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga + Q = 1,60   ×   10 - 19   C e um elétron com carga – Q = - 1,6   ×   10 - 19   C . Podemos considerar o próton como uma carga puntiforme situada em r = 0 , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por

ρ r = - Q π a 0 3 e - 2 r a 0     ,

em que a 0 = 5,29   ×   10 - 11   m é chamado de raio de Bohr.

  1. Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton;
  2. Como fica a carga quando r → ∞ ? Explique o resultado obtido nesse limite.

Passo 1

Neste exercício, temos basicamente o que está representado na Figura a) abaixo. O próton, com carga positiva + Q localizado na origem e a carga do elétron distribuída ao longo de uma esfera de raio r com uma densidade de cargas ρ ( r ) com comportamento exponencial.

A carga total Q t o t a l ( r ) da Figura a) é dada por

Q t o t a l r = Q + Q r ,

sendo que Q r < 0 é a carga ‘espalhada’ do elétron dentro da esfera de raio r , que é negativa. Para obtermos a carga total, primeiro vamos calcular a carga Q ( r ) do elétron...

Passo 2

a) Para calcularmos Q ( r ) , vamos utilizar a Figura b), que mostra um volume d V ' = 4 π r ' 2 d r ’. Incluindo esse elemento de volume e a densidade volumétrica ρ ( r ) dada, temos que a carga total Q ( r ) é dada por

Q r = ∫ 0 r ρ r ' d V ' = - 4 Q a 0 3 ∫ 0 r r ' 2 e - 2 r ' a 0 d r '   .    

Como você faz lá no cálculo frequentemente, poderíamos utilizar a integral por partes duas vezes na integral acima e obter o resultado. Aqui, para a gente avançar mais rápido, vou te mostrar o resultado de integrais desse tipo:

∫ x 2 e - k x d x = e - k x - 2 k 3 - 2 x k 2 - x 2 k + C   ,

em que C é uma constante de integração. Aplicando esse resultado em Q ( r ) e substituindo os limites de integração, você vai chegar no seguinte:

Q r = - 4 Q a 0 3 a 0 3 4 + e - 2 r a 0 - a 0 3 4 - r a 0 2 2 - r 2 a 0 2     .

Somando esse resultando com a carga do próton, a carga total Q t o t a l r = Q + Q ( r ) será

Q t o t a l r = 4 Q a 0 3   e - 2 r a 0 a 0 3 4 + r a 0 2 2 + r 2 a 0 2   .

Podemos simplicar um pouco mais para obter que:

Q t o t a l r = Q e - 2 r a 0 1 + 2 r a 0 + 2 r 2 a 0 2   .

Passo 3

b) No limite de r → ∞ , como a função exponencial vai a zero mais rapidamente do que as funções de r dentro dos parênteses vão para infinito, então, teremos que:

Q t o t a l r → ∞ = 0     .

Esse é um resultado esperado, pois se a gente integra sobre todo o espaço, carga total será

Q t o t a l r → ∞ = + Q - Q = 0   ,

que é exatamente a soma das cargas do próton e do elétron, fazendo com que o átomo de hidrogênio seja neutro.

Resposta

  1. Q t o t a l r = Q e - 2 r a 0 1 + 2 r a 0 + 2 r 2 a 0 2 ;
  2. Q t o t a l r → ∞ = 0   , pois o átomo de hidrogênio como um todo é neutro.

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