Dipolos Elétricos

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Teoria

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Hoje vamos falar sobre Dipolos Elétricos, aqui no RespondeAi temos um assunto inteiro dedicado a Elétrica que você vai ver nas matérias de Física da faculdade.

Os Dipolos Elétricos são formados por um par de cargas de mesmo módulo, uma positiva e a outra negativa, e essas cargas ficam separadas por uma distância constante entre elas.

Dipolo Elétrico em um Campo Uniforme

Normalmente estudamos dipolos quando eles estão imersos em em campos elétricos uniformes, vamos acompanhar com a figura:

A força que atua na carga positiva possui o sentido oposto à força que atua na carga negativa. Com isso em relação ao movimento de translação teremos um equilíbrio, e o dipolo não irá transladar Porém como eles irão se manter a uma distância constante e estão livres para se movimentar no campo elétrico, essas forças acabam gerando um torque que atua no dipolo.

Então a tendência desse dipolo é ficar rodando imerso nesse campo uniforme, mas sem transladar. Como essas duas partículas estão sempre afastadas uma mesma distância, podemos considerar que esse sistema gira no sentido horário.

Para calcularmos o torque que atua no sistema precisamos olhar as componentes ortogonais a barra, que podem ser decompostas da seguinte forma:

Considerando que a distância entre as cargas valem $d$ podemos dizer que o torque resultante nessa barre vale:

$$\tau=2.(q.E.sen(\theta)).\Big(\frac{d}{2}\Big)$$

Onde temos duas vezes uma componente de módulo $F=q.E.sen(\theta)$, cada uma com um braço $\frac{d}{2}$ que corresponde a distância da ponta até o centro de rotação. Que pode ser reescrito como:

$$\tau=(q.d).(E.sen(\theta))$$

Chamamos de $(q.d)$ de momento dipolo e ele é representado pela letra $p$, dessa forma podemos escrever, que o torque de um dipolo, é produto vetorial entre o mommento dipolo e a força do campo elétrico:

$$\vec{\tau}=\vec{p}×\vec{E}$$

Maneiro né? Acompanha um exercício de dipolos elétricos que nossos Experts prepararam especialmente para você!

Exercícios

No vídeo aqui em baixo você encontra um exercício resolvido passo a passo do tópico de Dipolos Elétricos do RespondeAí, confere os outros no nosso site!

Um dipolo elétrico é formado por cargas $+2e$ e $-2e$ separadas de $0,78nm$ ($1nm=10^9m$). Ele está imerso em um campo elétrico com intensidade de $3,4×10^6 N/C$

Exercícios

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um dipolo elétrico é formado por cargas + 2 e e - 2 e separadas de 0,78   nm   1 nm = 10 - 9 m . Ele está imerso em um campo elétrico com intensidade de 3,4 × 10 6   N/C .

Calcule a intensidade do torque que age sobre o dipolo quando o momento do dipolo for:

  1. Paralelo ao campo elétrico;
  2. Perpendicular ao campo elétrico;
  3. Antiparalelo ao campo elétrico;

Passo 1

Peraê! Antes de começarmos com as teorias, vamos relembrar a fórmula do torque no dipolo elétrico?

É essa bagaça aqui

τ → = p → × E →

Lembrando que p → é o vetor momento dipolar elétrico, que é um vetor que aponta no sentido saindo da carga negativa e indo para a carga positiva do dipolo. Ah!

p = q d

Pra finalizar, já que estamos interessados somente na intensidade do toque, vale lembrar que, devido ao produto vetorial, podemos escrever

τ = p E sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo formado entre os vetores p → e E → .

Agora podemos seguir com a nossa vida.

Passo 2

a - Paralelo ao campo elétrico;

Bom, se o momento dipolar elétrico for paralelo ao campo elétrico, isso significa que θ = 0 ° , logo:

sen ⁡ 0 ° = 0

τ = 0

Eita, essa foi difícil! :O

Passo 3

b- Perpendicular ao campo elétrico;

Se o momento dipolar elétrico for perpendicular ao campo elétrico, isso significa que θ = 90 ° , logo:

τ = p E sen ⁡ 90 °

τ = q d E sen ⁡ 90 °

Onde:

q = 2 e = 2 × 1,6 × 10 - 19 C = 3,2 × 10 - 19 C

d = 0,78   nm = 7,8 × 10 - 10   m

E = 3,4 × 10 6   N/C

sen ⁡ 90 ° = 1

Vamos lá! Substitui tudo!

τ = 3,2 × 10 - 19 × 7,8 × 10 - 10 × 3,4 × 10 6 × 1

τ ≅ 8,5 × 10 - 22   N⋅m

Passo 4

c - Antiparalelo ao campo elétrico;

Se o momento dipolar elétrico é antiparalelo ao campo elétrico, significa que θ = 180 ° , logo:

sen ⁡ 180 ° = 0

τ = 0

Resposta

a)

τ = 0

b)

τ ≅ 8,5 × 10 - 22   N⋅m

c)

τ = 0

Exercício Resolvido #2

Dado um dipolo de cargas q e – q submetido a um campo elétrico externo E → , Responde Aí:

Qual o ângulo entre o campo e o eixo do dipolo quando o torque é máximo?

Passo 1

Vamos partir pra fórmula do torque então:

τ → = p → × E →

Pra ver quando um vetor é máximo você tem que olhar o módulo dele no olho. O módulo de um produto vetorial é:

τ → = p E s e n θ

Onde θ é o ângulo entre os dois vetores. Naturalmente, pela natureza da função seno:

- 1 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1

Então o maior valor que o torque pode assumir é:

τ → = p E

Para os ângulos de:

θ = π 2

θ = 3 π 2

Show?

Resposta

θ ∈ π 2 , 3 π 2

Exercício Resolvido #3

Uma molécula polar tem um momento de dipolo de magnitude 20   e . p m que faz um ângulo de 20 ° com um campo elétrico uniforme de módulo igual a 3 × 10 3   N / C . Determine (a) o módulo do torque no dipolo e (b) a energia potencial do sistema.

Passo 1

O exercício nos pede o torque no dipolo e também a energia potencial total do sistema certo?

Vamos lembrar as fórmulas. O módulo do torque no dipolo é calculado por

τ = p E s e n ( θ )

A energia potencial do sistema vai ser

U = - p → ⋅ E →

Agora é só a gente substituir os valores nessas fórmulas pra encontrarmos a resposta :D

Passo 2

a) O torque vai ser

τ = ( 20   e . p m ) × 3 × 10 3 × s e n ( 20 ° )

Isso também pode ser escrito assim

τ = 0,02 × 1,6 × 10 - 19 C × 10 - 9 m × 3 × 10 3 × s e n ( 20 ° )

τ = 3,3 × 10 - 27 N . m

Passo 3

b) A energia potencial desse sisteminha vai ser

U = - p E c o s ( θ )

U = - 0,02 × 1,6 × 10 - 19 C × 10 - 9 m × 3 × 10 3 × c o s ( 20 ° )

U = - 9 × 10 - 27 J

Resposta

  1. τ = 3,3 × 10 - 27 N . m
  2. U = - 9 × 10 - 27 J

Exercício Resolvido #4

Um elétron está sobre o eixo de um dipolo elétrico a 25   n m de distância do centro do dipolo. Qual é o módulo da força eletroestática a que está submetido o elétron se o momento do dipolo é 3,6.10 - 39 C . m ? Suponha que a distância entre as cargas do dipolo é muito menor que 25   n m .

  • Dado: carga elementar e = 1,6.10 - 19 C

Passo 1

Na figura acima, o elétron está localizado no ponto P e a distância r vale 25 n m . Além disso, o momento do dipolo p = q . d vale 3,6.10 - 39 C . m .

Passo 2

Como a questão diz que d ≪ r , podemos usar a fórmula aproximada:

E = K . p r 3 = 9.10 9 . 3,6.10 - 39 25.10 - 9 3 = 2,0736.10 - 6 N C

Se liga! A dedução dessa expressão do campo gerado por um dipolo está bem explicadinha na teoria.

Passo 3

Multiplicar o campo pela carga para encontrar a força:

F = E . q = E . e = 2,0736.10 - 6 N C . 1,6.10 - 19   C = 3,31776.10 - 25 N

Resposta

F = 3,31776.10 - 25 N

Exercício Resolvido #5

A figura abaixo mostra um dipolo elétrico. Determina (a) o módulo e (b) a orientação (em relação ao semi-eixo x positivo) do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distância r ≫ d .

Passo 1

Calcular em função das variáveis o momento dipolo elétrico p :

p = q . d

Passo 2

Exprimir o campo em função do dipolo:

E = K . p r 3 = K . q . d r 3

Passo 3

Se apontarmos os dois campos produzidos pelas duas partículas vamos ter

E ao somarmos vetorialmente teremos

Logo o nosso campo elétrico aponta para baixo! Assim

E → = K . q . d r 3 . ( - y ^ )

Resposta

Logo, o campo elétrico vale:

K . q . d r 3 . ( - y ^ )

Ele aponta para baixo e possui módulo igual a:

K . q . d r 3

Exercício Resolvido #6

Quadrupolo elétrico.

A figura abaixo mostra um quadrupolo elétrico.

Ele é formado por dois dipolos com momentos de dipolo que são iguais em módulo, têm a mesma direção, mas sentidos contrários.

Mostre que o valor de E sobre o eixo do quadrupolo, para um ponto P a uma distância z do seu centro (suponha que z ≫ d ) é dado por:

E = 3 Q 4 π ε 0 z 4

Onde Q = 2 q d 2 é chamado de momento quadrupolar da distribuição de cargas.

Passo 1

Vamos nessa! Notou que esse desenho é meio diferente do que a gente tava vendo nesse capítulo? Isso porque não tem nenhum triângulo nesse desenho!

E agora? Qual é o campo elétrico de um dipolo gerado nesse caso?

Acompanha comigo. Olha o desenho abaixo:

O campo resultante em P mede:

E = E + q - E - q = q 4 π ε 0 a - d 2 2 - q 4 π ε 0 a + d 2 2 = q 4 π ε 0 a 2 . 1 1 - d 2 a 2 - 1 1 + d 2 a 2

Simplificando, temos:

E = q 4 π ε 0 a 2 2 d / a 1 - d 2 a 2 2 = q 2 π ε 0 a 3 d 1 - d 2 a 2 2

Considerando a ≫ d , d a ≪ 1 . Logo, temos:

E = q d 2 π ε 0 a 3

Além disso, dessa vez o campo elétrico tem o mesmo sentido do dipolo. Logo, a fórmula do campo elétrico gerado por um dipolo nesse caso é:

E → = 1 2 π ε 0 p → a 3

p = q d

Onde q é o módulo de uma das cargas, d é a distância entre as cargas e a é a distância entre o ponto médio entre as cargas e o ponto que estamos calculando o campo elétrico.

O momento dipolar elétrico p → é o vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva.

Show de bola! O quadrupolo magnético nada mais é do que um arranjo com dois dipolos elétricos, então, o campo elétrico resultando do quadrupolo é o somatório do campo elétrico dos dois dipolos elétricos.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico para o dipolo elétrico mais próximo do ponto P .

Vou adotar o referencial positivo da esquerda para a direita, beleza?

Pra esse dipolo, a distância entre o centro do dipolo até o ponto P é z - d 2 .

Sabemos que o sentido do campo é o mesmo do momento dipolo elétrico (que aponta da carga negativa para a positiva). Como o momento dipolar elétrico está apontando no sentido positivo do eixo x , o campo elétrico para esse dipolo é dado por

E = 1 2 π ε 0 q d z - d 2 3

Passo 3

Agora vamos calcular o campo elétrico para o dipolo mais longe do ponto P .

Pra esse dipolo, a distância entre o centro do dipolo até o ponto P é z + d 2 .

Como momento dipolar elétrico está apontando no sentido negativo do eixo x , o campo elétrico para esse dipolo é dado por:

E = - 1 2 π ε 0 q d z + d 2 3

Passo 4

Por último, agora é só somar os dois e ver qual o campo elétrico resultante:

E = 1 2 π ε 0 q d z - d 2 3 - 1 2 π ε 0 q d z + d 2 3

Tá beleza! Tudo o que fizermos aqui está certo! Então o problema em si acaba aqui... agora é só aquela parte chata de arrumar a equação até ficar igual ao que queremos.

Então agora é na base da disposição!

Vamos começar colocando o que os dois tiverem em comum em evidência, podemos?

E = q d 2 π ε 0 1 z - d 2 3 - 1 z + d 2 3

Bora colocar aquele z do denominador em evidência mas, pra fazer isso, quando tirarmos ele dos parênteses, vamos ter que elevar ele ao cubo.

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 1 - d 2 z 3 - 1 1 + d 2 z 3

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 - d 2 z - 3 - 1 + d 2 z - 3

Agora é o momento em que você precisa ter fé!

Então fica esperto pro que vamos fazer aqui porque é o único jeito de chegar na fórmula que precisamos...

O que vamos fazer aqui é aplicar a Série de Taylor... vou colocar isso em um próximo passo pra fazer um apelo dramático.

Passo 5

O que é a Série de Taylor? Onde vive? Como se alimenta?

Essas e outras perguntas, responderemos aqui!

A Série de Taylor é uma expansão de uma determinada função em torno de um certo ponto. Beleza, mas como assim?

Então, como, de acordo com o enunciado z ≫ d , você concorda que d vai girar em torno de zero, se compararmos com z ?

É esse o intuito da Série de Taylor, analisar uma função quando ela estiver próximo de um determinado ponto.

A expansão em Série de Taylor de uma determinada função f x em torno do ponto x = a é dada por:

f x = f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + . . .

Beleza?!

Usando a Série de Taylor nas funções 1 - d 2 z - 3 e 1 + d 2 z - 3 em torno de d 2 z = 0 , teremos o seguinte:

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 + 3 d 2 z + … - 1 - 3 d 2 z + …

Agora é só arrumar essa bagaça! ;)

E = q d 2 π ε 0 z 3 2 × 3 d 2 z

E = 3 × 2 q d 2 4 π ε 0 z 4

Onde a 2 q d 2 = Q , logo:

E = 3 Q 4 π ε 0 z 4

Resposta

Exercício Resolvido #7

Na Figura abaixo, um dipolo elétrico está centralizado na origem, com o vetor momento de dipolo elétrico  p → apontando para o eixo + O y . Deduza uma expressão para o campo elétrico ao longo do eixo O y , considerando y muito maior do que d .

Use a série binomial 1 + x n = 1 + n x + n - 1 x 2 2 + … , para o caso x > 1 .

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular o campo elétrico resultante | E → R , y | , no ponto P da Figura acima, produzido pelo par de cargas pontuais fixas + q e – q e depois tomar o limite para o obter o valor desse campo resultante quando P tem uma distância y ≫ d . Blz? Vamos lá?

Bom, o módulo do campo elétrico produzido pela carga positiva + q em P é:

E → + = q 4 π ε 0 y - d 2 2     ,

e pela carga negativa – q é

E → - = q 4 π ε 0 y + d 2 2       .

O campo elétrico resultante vai estar na direção do eixo O y e tem módulo dado por

E → R , y = q 4 π ε 0 1 y - d 2 2 - 1 y + d 2 2     .

Tranquilo? O módulo do campo resultante é a diferença entre os módulos: | E → R , y | = E → + - E → - .

Passo 2

Agora, para a gente obter o valor desse módulo para y ≫ d , vamos escrever os termos em que y aparece na última expressão do passo anterior da seguinte forma

1 y - d 2 2 = y - d 2 - 2 = y - 2 1 - d 2 y - 2   .

Tranquilo?? Só isolamos o y e colocamos para fora dos parênteses, OK?

Para usar a expressão da expansão binomial que foi dada, a gente pode fazer x = - d 2 y e n = - 2 lá na naquela expressão do binômio. Com isso, teremos que

1 y - d 2 2 ≈ y - 2 1 + - 2 - d 2 y + - 2 - 1 2 - d 2 y 2 + …   ,

que, reorganizado, fica assim

1 y - d 2 2 ≈ 1 y 2   1 + d 2 y - 3 2 d 2 4 y 2 + …       .

Para o outro termo do campo elétrico resultante | E → R , y | , teremos, de maneira similar ( x = d 2 y e n = - 2 !!), o seguinte

1 y + d 2 2 ≈ 1 y 2 1 - d 2 y - 3 2 d 2 4 y 2 + …   .

Nesse tipo de expansão, a minha sugestão é que você reconheça na expressão que você quer expandir quem é x e quem é n . Depois de fazer isso, vai lá para expressão da binomial e substitui esses termos lá, OK?? Daí não vai ter erro...vai por mim...;-)

Bom, mas ainda não acabou o problema...

Passo 3

Agora precisamos substituir essas duas últimas expansões lá na expressão do campo resultante. Mas, olha só, a gente tem termos do tipo d 2 / ( 4 y 2 ) nessas expressões, correto?

Como y ≫ d

d 2 y 2 ≪ 1 ⇒ d 2 4 y 2 ≪ 1 .

Isso significa que a gente pode desprezar termos dessa ordem na expansões que acabamos de fazer, blz?

Fazendo isso e já substituindo no módulo do campo elétrico resultante | E → R , y | , vamos ter que

E → R , y ≈ q 4 π ε 0 y 2 1 + d y - 1 - d y = q 2 π ε 0 d y 3     .

Como o vetor momento de dipolo elétrico é dado por   p → = q d → , então p → = p = q d , temos

E → R , y ≈ p 2 π ε 0 y 3     .

Agora, dá uma olhada para essa expressão. Diferente do caso do campo elétrico gerado por uma única carga pontual, | E → R , y | depende do inverso da distância ao cubo: 1 y 3 !!! Esse é um comportamento geral do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico em pontos a distâncias muito grandes comparadas com a distância entre as cargas + q e – q . Fechou??

IMPORTANTE: Exercícios com expansões como essa que a gente fez aqui são muito comuns, OK? Então, tente reconhecer quais termos da sua expressão são x e n e, depois disso, jogue esses valores lá na expansão binomial para não ter erro, valeu…??

Resposta

E → R , y ≈ p 2 π ε 0 y 3     .

Exercício Resolvido #8

A molécula de água como um todo é eletricamente neutra, porém suas ligações químicas no interior da molécula de água produzem um deslocamente de cargas e o resultado disso é uma carga líquida negativa na extremidade ocupada pelo oxigênio e uma carga líquida na extremidade ocupada pelos hidrogênios, como mostra a Figura a) abaixo. Por isso, molécula assemelha a um dipolo elétrico p → .

Dada essa situação, suponha agora que o dipolo elétrico da água seja p → = 6,17   ×   10 - 30   C . m e que ele esteja localizado na origem com o momento de dipolo   p → apontando no sentido + y , como mostrado na Figura b) acima. Um íon de cloro ( C l - 1 ), com carga igual a Q = - 1,60   ×   10 - 19   C , está localizado no ponto y = 3,0   ×   10 - 19   m . Supondo que y seja muito maior do que a distância d entre as cargas do dipolo elétrico:

  1. Determine o módulo, a direção e o sentido da força que a molécula de água exerce sobre o íon de cloro ;
  2. A força entre   p → e a carga Q é de atração ou repulsão?

Passo 1

a) Neste exercício, a gente precisa calcular o campo elétrico resultante | E → R , y | , no ponto P da Figura b) acima, produzido pelo par de cargas pontuais fixas + q e – q e depois tomar o limite para o obter o valor desse campo resultante quando P tem uma distância y ≫ d . Blz? Vamos lá?

Bom, o módulo do campo elétrico produzido pela carga positiva + q em P é:

E → + = q 4 π ε 0 y - d 2 2     ,

e pela carga negativa – q é

E → - = q 4 π ε 0 y + d 2 2       .