Dipolos Elétricos

Teoria Completa

Introdução

Afinal, o que são dipolos elétricos?

Dipolos elétricos são formados por um par de cargas de mesmo módulo, uma positiva e a outra negativa, separadas por uma distância constante.

Aqui estamos preocupados em calcular duas coisas: o valor do torque sobre o dipolo elétrico quando o mesmo está na presença de um campo elétrico uniforme, e o campo elétrico gerado pelo dipolo.

Dipolo elétrico em um campo uniforme

O dipolo abaixo está em uma região com campo elétrico uniforme. Vamos dar uma atenção especial às forças que agem nesse cara, beleza?

A força que atua na carga positiva possui sentido oposto à força que atua na carga negativa. Como a força total sobre o dipolo vale zero, o dipolo não irá transladar.

No entanto, vamos ver que existe torque. Dessa forma, o dipolo irá sofrer rotação e irá possuir uma aceleração angular.

Como já vimos, a distância entre as cargas é sempre constante: é como se uma barra rígida ligasse as duas cargas pontuais. Dessa forma, a gente já pode imaginar que essa barra irá girar no sentido horário.

Observe, porém, que cada uma dessas duas forças pode ser decomposta em duas direções diferentes:

  • Na direção da barra;
  • Na direção ortogonal (perpendicular) à barra.

Vamos, primeiro, olhar as componentes das forças que atuam na direção da barra:

Como elas possuem sentidos opostos, irão se cancelar e, além disso, não geram nenhum tipo de rotação na barra. Assim, podemos ignorá-las.

Para calcular o torque, que está ligado à força que faz o dipolo girar, devemos considerar apenas as componentes ortogonais à barra.

Olhando somente a componente ortogonal da força que atua na carga positiva (a linha azul representa a direção da barra):

A força ortogonal à linha azul vale: q . E . sen ⁡ θ .

Essa componente atua tanto na carga positiva quanto na carga negativa, só que em sentidos opostos. Se liga:

Vamos considerar que a distância entre as cargas vale d .

O ponto de rotação do dipolo é o centro da barra. Como temos duas forças realizando o torque e a distância entre o centro da barra e cada carga vale d / 2 , o torque sobre o dipolo será:

τ = 2 . q . E . s e n θ . d 2 = q . d . E . s e n θ

Essa grandeza q . d é o que chamamos de momento de dipolo elétrico, que é representado pela letra p . Assim, podemos escrever o vetor torque elétrico da seguinte forma:

τ → = p → × E →

É importante ressaltar que o seno na equação acima “some” porque ele faz parte da definição de produto vetorial.

Se escrevermos a equação nessa forma, devemos adotar a seguinte convenção:

  • O vetor momento de dipolo elétrico p → é um vetor que “sai da carga negativa e parte em direção à carga positiva” e possui módulo igual ao produto entre a carga do dipolo e a distância, ou seja, q . d .
  • A ordem do produto vetorial entre o momento de dipolo elétrico e o campo elétrico não pode ser invertido: o momento de dipolo deve iniciar o produto. Errar nesta ordem vai inverter o sinal do resultado! Ou seja,

τ → ≠ E → × p → = - p → × E → .

Com base na equação do torque, podemos ver que:

  • Quanto maior a carga do dipolo ou quanto maior a distância entre as cargas, maior será o torque.
  • Quanto mais próximo de 90 ° for o ângulo θ , maior será o torque do dipolo. Se a barra do dipolo estiver alinhada na mesma direção do campo elétrico, ou seja, θ = 0 ° ,não haverá rotação.
  • Por conta do produto vetorial, o sentido do vetor torque pode ser determinado pela regra da mão direita (nesse caso, o vetor “entra” na tela do computador).

Campo elétrico gerado por um dipolo

Vou te confessar que não são todos os lugares que cobram esse tópico. Mas quando é cobrado, as questões costumam pedir a dedução do campo elétrico gerado pelo dipolo. Por isso, não adianta somente gravar a fórmula, precisamos entender como chegar nela.

Então partiu trabalhar nessa dedução, show de bola?

A boa aqui é calcular o campo elétrico que um dipolo gera num ponto P equidistante das cargas, como na figura abaixo.

Pela figura, podemos ver que a carga positiva do dipolo exerce em P um campo igual a E + e a carga negativa gera, neste ponto, um campo igual a E - .

Quando decompomos esses dois campos na horizontal (eixo x ) e na vertical (eixo y ), vemos que as componentes em x irão se somar, enquanto as componentes em y irão se anular.

Então, a partir da figura, podemos dizer que:

E + x = E - x = E + . cos ⁡ θ = E - . c o s ⁡ ( θ )

O cosseno pode ser calculado observando o triângulo retângulo da figura, de forma que:

cos ⁡ θ = a 2 R   .

Esta distância R pode ser calculada por Pitágoras:

R = a 2 2 + r 2

Então:

cos ⁡ θ = a 2 a 2 2 + r 2

Resta calcular o campo E + . Aplicando a fórmula de cálculo do campo elétrico:

E + = K . q R 2 = K . q a 2 2 + r 2

Substituindo:

E + x = E - x = E + . cos ⁡ θ = K . q a 2 2 + r 2 . a 2 a 2 2 + r 2 = K . q . a 2 a 2 2 + r 2 3 2

... ufa! Acabamos de calcular a fórmula do campo elétrico criado por um dipolo em função da distância r .

Ok. Mas ainda tem mais uma coisinha para facilitar a vida. Às vezes, podemos considerar que r é muito maior que a / 2 , ou, em notação física:

r ≫ a 2

Isso simplifica a conta!

Fazendo isso, o denominador pode ser escrito da seguinte forma:

a 2 2 + r 2 3 2 ≈ r 2 3 2 = r 3

Então, podemos chegar à forma final de nossa equação para calcular o campo total E gerado pelo dipolo elétrico:

E = 2 . E + x = 2 . K . q . a 2 a 2 2 + r 2 3 2 = K . q . a a 2 2 + r 2 3 2 ≈ K . q . a r 3

E = K . q . a r 3   .

Pra fechar (juro!), o momento de dipolo elétrico p possui módulo exatamente igual a q . a . Então podemos ainda reescrever a fórmula como:

E = K . p r 3

Importante: O campo gerado pelo dipolo elétrico possui o sentido contrário ao do momento de dipolo elétrico.

É isso, galera! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um dipolo elétrico é formado por cargas + 2 e e - 2 e separadas de 0,78   nm   1 nm = 10 - 9 m . Ele está imerso em um campo elétrico com intensidade de 3,4 × 10 6   N/C .

Calcule a intensidade do torque que age sobre o dipolo quando o momento do dipolo for:

  1. Paralelo ao campo elétrico;
  2. Perpendicular ao campo elétrico;
  3. Antiparalelo ao campo elétrico;
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Passo 1

Peraê! Antes de começarmos com as teorias, vamos relembrar a fórmula do torque no dipolo elétrico?

É essa bagaça aqui

τ → = p → × E →

Lembrando que p → é o vetor momento dipolar elétrico, que é um vetor que aponta no sentido saindo da carga negativa e indo para a carga positiva do dipolo. Ah!

p = q d

Pra finalizar, já que estamos interessados somente na intensidade do toque, vale lembrar que, devido ao produto vetorial, podemos escrever

τ = p E sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo formado entre os vetores p → e E → .

Agora podemos seguir com a nossa vida.

Passo 2

a - Paralelo ao campo elétrico;

Bom, se o momento dipolar elétrico for paralelo ao campo elétrico, isso significa que θ = 0 ° , logo:

sen ⁡ 0 ° = 0

τ = 0

Eita, essa foi difícil! :O

Passo 3

b- Perpendicular ao campo elétrico;

Se o momento dipolar elétrico for perpendicular ao campo elétrico, isso significa que θ = 90 ° , logo:

τ = p E sen ⁡ 90 °

τ = q d E sen ⁡ 90 °

Onde:

q = 2 e = 2 × 1,6 × 10 - 19 C = 3,2 × 10 - 19 C

d = 0,78   nm = 7,8 × 10 - 10   m

E = 3,4 × 10 6   N/C

sen ⁡ 90 ° = 1

Vamos lá! Substitui tudo!

τ = 3,2 × 10 - 19 × 7,8 × 10 - 10 × 3,4 × 10 6 × 1

τ ≅ 8,5 × 10 - 22   N⋅m

Passo 4

c - Antiparalelo ao campo elétrico;

Se o momento dipolar elétrico é antiparalelo ao campo elétrico, significa que θ = 180 ° , logo:

sen ⁡ 180 ° = 0

τ = 0

Resposta

a)

τ = 0

b)

τ ≅ 8,5 × 10 - 22   N⋅m

c)

τ = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dado um dipolo de cargas q e – q submetido a um campo elétrico externo E → , Responde Aí:

Qual o ângulo entre o campo e o eixo do dipolo quando o torque é máximo?

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Passo 1

Vamos partir pra fórmula do torque então:

τ → = p → × E →

Pra ver quando um vetor é máximo você tem que olhar o módulo dele no olho. O módulo de um produto vetorial é:

τ → = p E s e n θ

Onde θ é o ângulo entre os dois vetores. Naturalmente, pela natureza da função seno:

- 1 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1

Então o maior valor que o torque pode assumir é:

τ → = p E

Para os ângulos de:

θ = π 2

θ = 3 π 2

Show?

Resposta

θ ∈ π 2 , 3 π 2

Exercício Resolvido #3

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Uma molécula polar tem um momento de dipolo de magnitude 20   e . p m que faz um ângulo de 20 ° com um campo elétrico uniforme de módulo igual a 3 × 10 3   N / C . Determine (a) o módulo do torque no dipolo e (b) a energia potencial do sistema.

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Passo 1

O exercício nos pede o torque no dipolo e também a energia potencial total do sistema certo?

Vamos lembrar as fórmulas. O módulo do torque no dipolo é calculado por

τ = p E s e n ( θ )

A energia potencial do sistema vai ser

U = - p → ⋅ E →

Agora é só a gente substituir os valores nessas fórmulas pra encontrarmos a resposta :D

Passo 2

a) O torque vai ser

τ = ( 20   e . p m ) × 3 × 10 3 × s e n ( 20 ° )

Isso também pode ser escrito assim

τ = 0,02 × 1,6 × 10 - 19 C × 10 - 9 m × 3 × 10 3 × s e n ( 20 ° )

τ = 3,3 × 10 - 27 N . m

Passo 3

b) A energia potencial desse sisteminha vai ser

U = - p E c o s ( θ )

U = - 0,02 × 1,6 × 10 - 19 C × 10 - 9 m × 3 × 10 3 × c o s ( 20 ° )

U = - 9 × 10 - 27 J