Enunciado

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Duas partículas com a mesma carga positiva q são mantidas fixas no eixo y, uma em y =d e a outra em y = - d. (a) Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico em pontos do eixo x dados por x = αd. (b) Plote E em função de a no intervalo O

Passo 1

a) duas partículas colocadas em pontos simétricos no eixo y (y=d e y=-d) geram um campo no eixo x que só tem componente x, pois as componentes em y são simétrica e de sentido contrário, se anulando assim. Para um ponto qualquer no eixo x podemos construir a seguinte imagem:

A componente x do campo será:

E x x = 2 1 4 π ε 0 q r 2 c o s θ

Usando Pitágoras conseguimos reescrever r em função de x:

r = d 2 + x 2

o cosseno também pode ser escrito em função de x:

c o s θ = x d 2 + x 2

Sendo assim a equação do campo fica:

E x x = 2 1 4 π ε 0 q d 2 + x 2 x d 2 + x 2

Para valores de x múltiplos de d temos:

E x x = q 2 π ε 0 d 2 α 1 + α 2 3 / 2

Passo 2

Passo 3

b) Plotando o gráfico para a constante multiplicativa igual a 1 temos:

E x x = α 1 + α 2 3 / 2

O gráfico fica:

Passo 4

c) Para encontrar o ponto de máximo derivamos a expressão do campo, igualamos a zero e resolvemos para x. A expressão da deriva fica:

d d x E x x = 1 - 2 α 2 1 + α 2 5 / 2

Que se anula para o valor

1 - 2 α 2 1 + α 2 5 / 2 = 0 ⇒ 1 - 2 α 2 = 0 ⇒ α = 1 2

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