Enunciado

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A Fig. abaixo mostra uma barra fina de plástico que coincide com o eixo x. A barra tem um comprimento L = 12,0 cm e uma carga positiva uniforme Q = 56,1 fC uniformemente distribuída. Com V= 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P 1 do eixo x, a uma distância d = 2,50 cm de uma das extremidades da barra.

Passo 1

Precisamos calcular o potencial elétrico no ponto P 1 do eixo x , no caso aí estamos tratando de uma barra então usaremos a equação potencial elétrico aplicado a corpos extensos, mesmo que a barra tenha apenas 12 c m ela não é uma carga pontual, então temos que ficar ligados.

Vamos aqui também usar o conceito de densidade linear de cargas, já que temos uma barra linear.

Passo 2

Bem, vamos considerar um pedacinho muito pequeno de barra d x . Esse pedacinho pequeno, está entre os pontos:

x   < d x < x + d x .

Sendo λ     a densidade linear de cargas dessa barra, como ela possui carga uniformemente distribuída:

λ = Q L

Q = λ x diferenciando essa equação, substituindo L   por x , pois queremos que x   seja a variável para integrar depois na barra toda, obtemos:

d q = λ d x

Então, o potencial criado por esse pedacinho no ponto P é:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q d + x =   1 4 π ϵ 0 λ d x d + x

Passo 3

Para calcular o potencial da barra toda, e não só de um pedacinho, devemos integrar ao longo de todo o comprimento L da barra:

∫ 0 V d V = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L d x d + x

V =   λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ d + x ​ 0 L

V =   Q 4 π ϵ 0 L ln ⁡ 1 + L d

Substituindo os valores dados pelo enunciado:

V = 8,99 × 10 9   N . m 2 C 2 56,1 × 10 - 15   C 0,12   m ln ⁡ 1 + 0,12   m 0,025   m

V = 7,38 × 10 - 3   V = 7,39   m V

Resposta

V = 7,39   m V

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