Fontes de CA e Reatância

Teoria Completa

Circuito de Carga Resistiva

A gente já conhece os circuitos comuns, e agora vamos conhecer um pouco sobre as fontes de corrente alternada. Vamos começar pelo circuito mais simples com um resistor e a fonte.

Nesse circuito temos um resistor e um gerador de corrente alternada.

Como será que se comporta a corrente e a voltagem nesse circuito? O que será que essa fonte de corrente alternada vai trazer de diferente pra nós?

A fem é dada por:

E = E M sen ⁡ ω d t

Pela regra das malhas, temos que:

E - v R = 0

Onde v R é a diferença de potencial no resistor, dada por:

v R = V R sen ⁡ ω d t

E M = V R

Para determinar a corrente, basta lembrar que i = V R , ou seja:

i R = I R sin ⁡ ( ω d t - ϕ )

Onde I R é a amplitude da corrente na resistência, a constante de fase ϕ será nula para uma carga resistiva, logo:

V R = R I R

Repara que a corrente é uma função seno multiplicada pela amplitude da corrente. A característica dessa função é oscilar no intervalo - I R , I R , e por causa dessa oscilação dizemos que a corrente é alternada.

Podemos representar v R e i R geometricamente por fasores... calma, não é complicado! Os fasores i R e v R tem as seguintes propriedades:

  • A velocidade angular com que ambos giram no sentido anti-horário é ω d .
  • O comprimento de cada fasor representa a amplitude, para i R temos I R e para v R temos V R .
  • A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza para aquele t .

Eles são representados assim:

Circuito de Carga Capacitiva

E como ficam os circuitos de carga capacitiva com corrente alternada? Se liga como ele é:

Onde a força eletromotriz vai ser dada por:

E = E M sen ⁡ ω d t .

Utilizando o mesmo princípio de regra das malhas, temos que a variação do potencial no capacitor é

v C = V C sen ⁡ ω d t

E para encontrarmos a corrente no capacitor, usamos a equação da corrente:

i c = C d V ( t ) d t

Substituindo a equação da voltagem dependente do tempo, temos:

i c = C   V C sen ⁡ ω d t

Derivando e eliminando o termo semelhante C , temos:

i C = ω d C V C cos ⁡ ω d t

E aqui conheceremos um cara novo, que funciona como a resistência do capacitor e é conhecida como reatância capacitiva:

X C = 1 ω d C

Guarde com carinho a equação da reatância, pra resolver alguns problemas você só precisa saber aplica-la e não necessariamente deduzi-la. Substituindo temos:

i C = V C X C c o s ⁡ ( ω d t )

Precisamos deixar a corrente na mesma notação trigonométrica da voltagem, portanto vamos converter o cosseno em seno fazendo o seguinte:

cos ⁡ a = s e n a + π 2

Fazendo a = ω d t :

i C = V C X C s e n ω d t + π 2

E podemos dizer que a amplitude da corrente é o que multiplica a função seno:

I C = V C X C

i C = I C s e n ω d + π 2

Então repara o seguinte, a corrente é adiantada de π 2 em relação a voltagem, vamos ver isso no diagrama fasorial?

Geralmente nas provas e exercícios você vai ter um circuito com as componentes e a voltagem e vão te pedir pra calcular a função da corrente e esboçar ambos no diagrama fasorial, vamos praticar um pouco?

Vamos fazer o exemplo do circuito que vimos:

Onde a capacitância mede C = 2 m F e a voltagem da fonte é dada pela equação:

E = 10 sen ⁡ 377 t

Para isso calcular a voltagem máxima, a frequência do circuito, a reatância capacitiva e a corrente no capacitor. Após isso esboçar o diagrama fasorial.

Fazendo a lei das malhas do circuito temos o seguinte:

E - v C = 0

v C = E = 10 sen ⁡ 377 t

Da própria equação tiramos a voltagem máxima no capacitor que é a amplitude da função:

V C = 10 V

Mas e a frequência do circuito, como calcular? Bom ω d é a frequência angular e a gente tira da equação também.

ω d = 377 r a d / s

Tá, mas o exercício pediu a frequência e não a frequência angular!

Vamos chegar lá, é que precisamos dela pra calcular a frequência do circuito em H z

f = ω d 2 π = 377 2 π = 60 H z

Beleza então vamos partir pra reatância capacitiva, lembra que:

X C = 1 ω d C = 1 377 × 2 × 10 - 3 = 1,33 Ω

Agora podemos partir pra corrente, lembrando que ela vai ser sempre adiantada em relação a voltagem de π / 2   e sua amplitude é:

I C = V C X C = 10 1,33 = 7,52 A

Então a função da corrente fica:

i C = 7,52 s e n 377 t + π 2

E pro diagrama de fasores não em mistério, é só lembrar que a corrente é adiantada de π / 2 e representar isso colocando um ângulo de 90 ° entre os vetores:

Pronto esse é o caso de corrente alternada pra um circuito de carga capacitiva.

Circuito de Carga Indutiva

Aqui, temos um circuito com um indutor e um gerador de corrente alternada.

Onde E = E M sen ⁡ ω d t .

Utilizando o mesmo princípio de regra das malhas, temos que a variação do potencial nos terminais do indutor se dá assim:

v L = V L sen ⁡ ω d t

Para um indutor no qual a corrente varia à taxa d i L d t , temos:

v L = L d i L d t

Substituindo a primeira equação na segunda e integrando em relação a t , vemos que a corrente i L é dada por:

i L = - V L ω d . L cos ⁡ ω d t

Aqui aparece uma nova grandeza, a reatância indutiva, definida por:

X L = ω d L

Além disso, vamos substituir - cos ⁡ ω d t   por sen ⁡ ω d t - π 2 . A corrente deve ficar assim:

i L = V L X L sen ⁡ ω d t - π 2

Onde V L X L = I L é a amplitude da corrente, portanto:

i L = I L sen ⁡ ω d t - π 2

E o diagrama fasorial desse cara ficaria da seguinte forma:

O processo de cálculo do circuito com indutor é muito parecido com o processo do circuito com capacitor, só o que muda é que a reatância é indutiva e a corrente ao invés de ser adiantada aqui é atrasada de 90 ° em relação a voltagem.

Então vamos fazer uns exercícios pra ficar fera nessa matéria, já é?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF – Lista 6 – Questão nº2.

Considere um resistor em série com uma fonte de C A . O gráfico da corrente e voltagem na resistência está dado na figura. Determine:

a ) A frequência da f e m .

b ) O valor da resistência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Pela análise do gráfico, podemos ver que o período é T = 0,04   s . Logo a frequência é dada por:

f = 1 T = 1 0,04 = 25   H z

f = 25   H z

Passo 2

b )

Par achar o valor da resistência, podemos usar a relação entre amplitude da corrente e amplitude da tensão, pois sabemos estes valores do gráfico, a relação nos diz:

V R = R . I R

10 = R .   0,50

R = 20   Ω

Resposta

a ) f = 25 h z

b ) R = 20   Ω

Exercício Resolvido #2

UFF – Lista 6 – Questão nº5.

Em um circuito formado por um indutor e uma fonte C A a reatância indutiva vale X L = 100 Ω . A voltagem de pico da fonte vale 10   V . Sabendo que no instante t = π   10 - 3   s a corrente instantânea vale 10 - 2   A , determine:

a ) A frequência ω

b ) A indutância do indutor.

c ) Faça o gráfico dos fasores da corrente e das voltagens no indutor e na fonte.

d ) Esboce o gráfico das funções v L ,   ε e i (os gráficos devem estar superpostos no mesmo sistema de eixos cartesianos).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para determinar a frequência, podemos usar a equação da corrente em um circuito CA com carga indutiva:

i L = V L X L . sen ⁡ ω d . t - π 2

Substituindo os valores dados no enunciado, temos:

10 - 2 = 10 100 . sen ⁡ ω d . π . 10 - 3 - π 2

0.1 = sen ⁡ ω d . π . 10 - 3 - π 2

Agora a gente tem que tirar o arcoseno dos dois lados da equação

0,1 = ω d . 10 - 3 - 1 2 . π

ω d . 10 - 3 - 1 2 ≈ 0,032

ω d = 5,32 × 10 2   r a d / s

Passo 2

b )

Para determinar a Indutância, podemos usar a fórmula da definição da reatância indutiva:

X L = ω d . L

Substituindo os valores, temos:

100 = 5,32 × 10 2 . L

L = 188   m H

Passo 3

c )

Para determinar o diagrama de fasores, precisamos lembrar que a corrente está atrasada π 2 em relação à tensão. Por ser apenas um circuito CA com um indutor, a tensão na fonte será a mesma tensão no indutor. Logo, o diagrama de fases para um tempo arbitrário será:

Passo 4

d )

Para esboçar os gráficos de v L , ε e i , vamos primeiro relembrar essas equações:

i L t = 0,1 . sen ⁡ 5,32 × 10 2 . t - π 2

v L t = ε t = 10 . sen ⁡ 5,32 × 10 2 . t

Logo, os gráficos ficaram:

Resposta

a ) ω d = 5,32 × 10 2   r a d / s

b ) L = 188   m H

Exercício Resolvido #3

Young & Freedman, Física III Eletromagnetismo, 14ª ed. Pearson, Cap. 31, pp. 383

Suponha que se queira obter uma corrente de 250   μ A em um indutor puro de um circuito de rádio submetido a uma amplitude de voltagem de 3,60   V , com uma frequência de 1,60   M H z (correspondente ao limite superior da banda AM das frequências de rádio).

(a) Qual é a reatância indutiva necessária?

(b) Se a amplitude da voltagem for mantida constante, qual será a amplitude da corrente através de um indutor de 16,0   M H z ? E para 160   k H z ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a) Qual é a reatância indutiva necessária?

Bem, o circuito pode até ter outros elementos, mas neste exemplo não sabemos quais são. Tudo que eles fazem é fornecer ao indutor uma voltagem oscilante. Assim sendo, podemos simplesmente interpretá-los como uma fonte CA, beleza?

Vamos lá, sabemos que a reatância indutiva é dada por:

X L = V L I = 3,60 250 × 10 - 6 ,

X L = 1,44 × 10 4   Ω = 14,4   k Ω .

Passo 2

(b) Se a amplitude da voltagem for mantida constante, qual será a amplitude da corrente através de um indutor de 16 , 0   M H z ? E para 160   k H z ?

Para calcular a amplitude da corrente para diferentes frequências, vamos precisar do valor da indutância L . Sabemos que:

L = X L ω = X L 2 π f ,

L = 1,44 × 10 4 2 π 1,60 × 10 6 = 1,43 × 10 - 3   H ,

L = 1,43   m H .

Passo 3

A amplitude da corrente é dada por:

I = V L X L = V L 2 π f L .

Para f = 16   M H z , temos que:

I = 3,60 2 π 16 × 10 6 1,43 × 10 - 3 = 25,0   μ A .

E para f = 160   k H z , temos que:

I = 3,60 2 π 16 0 × 10 3 1,43 × 10 - 3 = 2500   μ A ,

I = 2,50   m A .

Resposta

(a) X L = 14,4   k Ω .

(b) X L = 25,0   μ A e X L = 2,50   m A .

Exercício Resolvido #4

Young & Freedman, Física III Eletromagnetismo, 14ª ed. Pearson, Cap. 31, pp. 404

Um indutor de 0,180   H está conectado em série com um resistor de 90,0   Ω e uma fonte CA. A voltagem através do indutor é v L = - 12 sen ⁡ 480 t .

(a) Deduza uma expressão para a voltagem v R através do resistor.

(b) Qual é o valor de v R em t = 2,00   m s ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a) Deduza uma expressão para a voltagem v R através do resistor.

Sabemos que a amplitude de voltagem no indutor é dada por:

V L = I X L .

Logo,

I = V L X L .

Já para o resistor, podemos escrever a seguinte expressão:

V R = I R ,

V R = V L R X L ,

V R = V L R ω L .

Substituindo os valores, temos que:

V R = 12 × 90 480 × 0,18 = 12,5   V .

E isso significa que:

v R = 12,5 cos ⁡ 480 t .

Passo 2

(b) Qual é o valor de v R em t = 2 , 00   m s ?

Para t = 2,00   m s , temos:

v R = 12,5 cos ⁡ 480 × 2 × 10 - 3 ,

v R = 12,5 cos ⁡ 0,96 ≈ 7,17   V .

Resposta

(a) v R = 12,5 cos ⁡ 480 t .

(b) v R = 7,17   V .

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