Circuitos de Cargas Resistiva e Indutiva

Teoria Completa

Circuito de Carga Resistiva

Nesse circuito temos um resistor e um gerador de corrente alternada.

Onde a fem é dada por:

E = E M sen ⁡ ω d t

Pela regra das malhas, temos que:

E - v R = 0

Onde v R é a variação de potencial no resistor, dada por:

v R = V R sen ⁡ ω d t

E M = V R

Para determinar a corrente, basta lembrar que i = V R , ou seja:

i R = I R sin ⁡ ( ω d t - ϕ )

Onde I R é a amplitude da corrente na resistência, a constante de fase ϕ será nula para uma carga resistiva, logo:

V R = R I R

Podemos representar v R e i R geometricamente por fasores... calma, não é complicado! Os fasores i R e v R tem as seguintes propriedades:

  • A velocidade angular com que ambos giram no sentido anti-horário é ω d .
  • O comprimento de cada fasor representa a amplitude, para i R temos I R e para v R temos V R .
  • A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza para aquele t .

Eles são representados assim:

Circuito de Carga Indutiva

Aqui, temos um circuito com um indutor e um gerador de corrente alternada.

Onde E = E M sen ⁡ ω d t .

Utilizando o mesmo princípio de regra das malhas, temos que a variação do potencial nos terminais do indutor se dá assim:

v L = V L sen ⁡ ω d t

Para um indutor no qual a corrente varia à taxa d i L d t , temos:

v L = L d i L d t

Substituindo a primeira equação na segunda e integrando em relação a t , vemos que a corrente i L é dada por:

i L = - V L ω d . L cos ⁡ ω d t

Aqui aparece uma nova grandeza, a reatância indutiva, definida por:

X L = ω d L

Além disso, vamos substituir - cos ⁡ ω d t   por sen ⁡ ω d t - π 2 . A corrente deve ficar assim:

i L = V L X L sen ⁡ ω d t - π 2

Onde V L X L = I L é a amplitude da corrente, portanto:

i L = I L sen ⁡ ω d t - π 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF – Lista 6 – Questão nº2.

Considere um resistor em série com uma fonte de C A . O gráfico da corrente e voltagem na resistência está dado na figura. Determine:

a ) A frequência da f e m .

b ) O valor da resistência.

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Passo 1

a )

Pela análise do gráfico, podemos ver que o período é T = 0,04   s . Logo a frequência é dada por:

f = 1 T = 1 0,04 = 25   H z

f = 25   H z

Passo 2

b )

Par achar o valor da resistência, podemos usar a relação entre amplitude da corrente e amplitude da tensão, pois sabemos estes valores do gráfico, a relação nos diz:

V R = R . I R

10 = R .   0,50

R = 20   Ω

Resposta

a ) f = 25 h z

b ) R = 20   Ω

Exercício Resolvido #2

UFF – Lista 6 – Questão nº5.

Em um circuito formado por um indutor e uma fonte C A a reatância indutiva vale X L = 100 Ω . A voltagem de pico da fonte vale 10   V . Sabendo que no instante t = π   10 - 3   s a corrente instantânea vale 10 - 2   A , determine:

a ) A frequência ω

b ) A indutância do indutor.

c ) Faça o gráfico dos fasores da corrente e das voltagens no indutor e na fonte.

d ) Esboce o gráfico das funções v L ,   ε e i (os gráficos devem estar superpostos no mesmo sistema de eixos cartesianos).

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Passo 1

a )

Para determinar a frequência, podemos usar a equação da corrente em um circuito CA com carga indutiva:

i L = V L X L . sen ⁡ ω d . t - π 2

Substituindo os valores dados no enunciado, temos:

10 - 2 = 10 100 . sen ⁡ ω d . π . 10 - 3 - π 2

0.1 = sen ⁡ ω d . π . 10 - 3 - π 2

Agora a gente tem que tirar o arcoseno dos dois lados da equação

0,1 = ω d . 10 - 3 - 1 2 . π

ω d . 10 - 3 - 1 2 ≈ 0,032

ω d = 5,32 × 10 2   r a d / s

Passo 2

b )

Para determinar a Indutância, podemos usar a fórmula da definição da reatância indutiva:

X L = ω d . L

Substituindo os valores, temos:

100 = 5,32 × 10 2 . L

L = 188   m H

Passo 3

c )

Para determinar o diagrama de fasores, precisamos lembrar que a corrente está atrasada π 2 em relação à tensão. Por ser apenas um circuito CA com um indutor, a tensão na fonte será a mesma tensão no indutor. Logo, o diagrama de fases para um tempo arbitrário será:

Passo 4

d )

Para esboçar os gráficos de v L , ε e i , vamos primeiro relembrar essas equações:

i L t = 0,1 . sen ⁡ 5,32 × 10 2 . t - π 2

v L t = ε t = 10 . sen ⁡ 5,32 × 10 2 . t

Logo, os gráficos ficaram:

Resposta

a ) ω d = 5,32 × 10 2   r a d / s

b ) L = 188   m H

Exercício Resolvido #3

Young & Freedman, Física III Eletromagnetismo, 14ª ed. Pearson, Cap. 31, pp. 383

Suponha que se queira obter uma corrente de 250   μ A em um indutor puro de um circuito de rádio submetido a uma amplitude de voltagem de 3,60   V , com uma frequência de 1,60   M H z (correspondente ao limite superior da banda AM das frequências de rádio).

(a) Qual é a reatância indutiva necessária?

(b) Se a amplitude da voltagem for mantida constante, qual será a amplitude da corrente através de um indutor de 16,0   M H z ? E para 160   k H z ?

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Passo 1

(a) Qual é a reatância indutiva necessária?

Bem, o circuito pode até ter outros elementos, mas neste exemplo não sabemos quais são. Tudo que eles fazem é fornecer ao indutor uma voltagem oscilante. Assim sendo, podemos simplesmente interpretá-los como uma fonte CA, beleza?

Vamos lá, sabemos que a reatância indutiva é dada por:

X L = V L I = 3,60 250 × 10 - 6 ,

X L = 1,44 × 10 4   Ω = 14,4   k Ω .

Passo 2

(b) Se a amplitude da voltagem for mantida constante, qual será a amplitude da corrente através de um indutor de 16 , 0   M H z ? E para 160   k H z ?

Para calcular a amplitude da corrente para diferentes frequências, vamos precisar do valor da indutância L . Sabemos que:

L = X L ω = X L 2 π f ,

L = 1,44 × 10 4 2 π 1,60 × 10 6 = 1,43 × 10 - 3   H ,

L = 1,43   m H .

Passo 3

A amplitude da corrente é dada por:

I = V L X L = V L 2 π f L .

Para f = 16   M H z , temos q