Fasores e Circuitos RLC

Teoria Completa

Introdução

Agora que já sabemos tudo sobre corrente alternada, bora ver como fica o circuito RLC em série quando alimentado por um gerador de corrente alternada!

Temos as três componentes alinhadas em série com uma fonte de CA, como será que calcularemos a voltagem e a corrente para cada uma das componentes nesse caso??

A fem aplicada a esse circuito é:

E = E M sen ⁡ ω d t

Como os componentes estão em série, a mesma corrente passa por todos eles, ela é dada por:

i = I sen ⁡ ( ω d t - ϕ )

Para determinar a amplitude da corrente I e a constante de fase ϕ , é de grande ajuda utilizar os diagramas de fasores. Vamos ver como cada fasor se comporta, começando pela corrente!

Corrente

Em um instante qualquer t , temos que o fasor que representa a corrente, seu comprimento é a amplitude I da corrente, a sua projeção no eixo vertical nos da a corrente i para aquele instante t e o ângulo de rotação é a fase ω d t - ϕ .

Vamos agora ver como ficam os fasores das tensões nos terminais dos componentes, em relação ao fasor da corrente!

Tensões

Bom agora vamos fazer uma breve análise das tensões em conjunto e após isso esboçar os gráficos delas.

A tensão no resistor é sempre na mesma fase da f e m , e tiramos isso usando a lei de Ohm:

v R = R i R

v R = R I s e n ω d - ϕ

v R = V R s e n ω d t - ϕ

Já a tensão no indutor é dada por:

v L = L d i L d t

E como o circuito é em série:

i R = i L = i C

v L = L d d t I sen ⁡ ( ω d t - ϕ ) = ω d L I c o s ω d - ϕ

E com X L = ω d L

v L = X L I c o s ( ω d - ϕ )  

Onde X L I = V L

v L = V L c o s ⁡ ( ω d - ϕ )

Por fim temos que trabalhar com a mesma trigonométrica então usaremos a identidade:

cos ⁡ a = s e n a + π 2

Então a voltagem do indutor fica adiantada em relação a do resistor:

v L = V L s e n ω d - ϕ + π 2

Vamos analisar a voltagem do capacitor agora, lembrando que:

v c = 1 C ∫ i d t = ∫ I s e n ω d - ϕ d t

Integrando a equação da corrente teremos:

v c = 1 ω d C I - cos ⁡ ω d - ϕ

Como X C = 1 ω d C , e V C = X C I :

v C = - V C c o s ⁡ ( ω d - ϕ )

Usando a identidade:

- cos ⁡ a = s e n a - π 2

Temos:

v C = V C s e n ω d - ϕ - π 2

Beleza, enfim definimos as três equações para a mesma trigonométrica. Se por acaso esses caras tivessem a mesma amplitude o gráfico deles em função do tempo ficaria desse jeito, se mostrados juntos:

E o gráfico no domínio da frequência mais conhecido como diagrama fasorial ficaria desse jeito aqui:

Podemos fazer algumas observações:

  • A tensão no resistor e a corrente estão em fase, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V R é o mesmo de I .
  • A corrente está adiantada π / 2 em relação à tensão no capacitor, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V C é o mesmo da corrente menos π / 2 .
  • A corrente está atrasada π / 2 em relação à tensão no indutor, ou seja, o ângulo de rotação no fasor V L é o mesmo da corrente mais π / 2 .

Força Eletromotriz

Por último, veremos o fasor que representa a força eletromotriz:

Temos que o comprimento do fasor é o valor absoluto da força eletromotriz, a sua projeção no eixo vertical é a força motriz daquele instante t e o angulo de rotação do fasor é ω d t !

O fasor E M é a soma vetorial dos fasores V R , V L e V C . Assim, de acordo com o diagrama de fasores, podemos dizer que:

E M 2 = V R 2 + V L - V C 2

Sabendo que V R = I R , V L = I X L e V C = I X C , podemos escrever a amplitude da corrente como:

I = E M R 2 + X L - X C 2  

Onde o denominador define uma nova grandeza, chamada impedância:  

Z = R 2 + X L - X C 2

I = E M Z

E pra facilitar a nossa vida vamos conhecer o triângulo da impedância que ajuda a relacionar as resistências e a reatância com a impedância e a constante de fase ϕ .

O módulo entra pra que a geometria do triângulo seja sempre positiva. A partir dele podemos através do teorema de Pitágoras calcular a impedância sem ter que decorar de fato a equação e também calcular a constante de fase.

Podemos usar a trigonometria por exemplo, e calcular a constante de fase fazendo a inversa da tangente.

tan ⁡ ϕ = X L - X C R

ϕ = a r c t g X L - X C R

Onde X L = ω d L e X C = 1 / ω d C .

Um outro cara importante, e que veremos melhor nos próximos tópicos é o fator de potência, e ele é dado pelo cosseno do ângulo de fase.

F P = cos ⁡ ϕ = X C - X L Z

Esse fator define o quanto de potência efetiva é transmitida para uma rede.

Analisando, temos que:

  • X L > X C : Neste caso, o circuito é mais indutivo do que capacitivo. Por termos ϕ positivo, temos que o fasor I está atrasado em relação ao fasor ε M !
  • X C > X L : Neste caso, o circuito é mais capacitivo do que indutivo. Por termos ϕ negativo, temos que o fasor I está adiantado em relação ao fasor ε M !
  • X L = X C : Neste caso, o circuito está em ressonância, por ϕ ser igual a zero, temos que I e ε M estão em fase!

No caso da ressonância, temos que a frequência angular de excitação, ou frequência de ressonância, é dada por:

ω d = 1 L C

Na prática

Agora que a gente já tá fera vamos calcular a impedância e montar o diagrama fasorial das tensões desse cara com valores:

Se a indutância mede L = 1 m H , a capacitância C = 2 m F , a resistência do resistor é R = 2 Ω e a corrente é dada pela equação:

i = 5 s e n 377 t - ϕ A

Calcule as reatâncias indutiva e capacitiva e também a diferença de potencial em cada elemento. Esboce o diagrama fasorial, calcule a impedância e o fator de potência do circuito.

Começaremos pelas reatâncias, a partir delas encontraremos tudo o que precisamos:

Olhando pra equação temos:

ω d = 377 r a d / s

I = 5 A

A reatância capacitiva é dada por:

X C = 1 ω d C = 1 377 × 2 × 10 - 3 = 1,33 Ω

E a reatância indutiva é:

X L = ω d L = 377 × 1 × 10 - 3 = 0,377 Ω

Como X C > X L o circuito é mais capacitivo que indutivo.

Partindo pras equações da voltagem, a gente sabe que a voltagem no resistor é tranquila, dada pela lei de Ohm, e como o circuito é em série a corrente é a mesma em todos os pontos.

v R = R i = 2 × 5 s e n ( 377 t - ϕ ) V

v R = 10 s e n ( 377 t - ϕ ) V

E daqui tiramos a amplitude da voltagem do resistor:

V R = 10 V

A voltagem do capacitor a gente já viu que é atrasada em relação a voltagem do resistor, portanto, só precisaremos do seu módulo.

V C = X C I = 1,33 × 5 = 6,65 V

E a equação que é atrasada de π / 2 fica:

v c = V C s e n ω d t - ϕ - π 2 = 6,65 s e n 377 - ϕ - π 2

Para o indutor o processo é bem parecido:

v L = V L s e n ω d - ϕ + π 2

Onde:

V L = X L I = 0,377 × 5 = 1,89 V

E a equação da voltagem do indutor fica:

v L = 1,89 s e n 377 t - ϕ + π 2 V

Por fim o diagrama fasorial das tensões vai ficar desse jeitinho aqui:

E para calcular a impedância a gente faz o Pitágoras usando o triângulo:

Z 2 = R 2 + X C - X L 2 = 2 2 + 1,33 - 0,33 2

Z = 4 + 1 = 5 Ω

Então é isso calculamos a impedância do circuito, que é como a resistência equivalente pra esse tipo de circuito.

E o fator de potência pelo triângulo fica mole né?

cos ⁡ ϕ = X C - X L Z = 1,33 - 0,33 5 = 0,44

Então a potência efetiva que a rede recebe é 0,44 vezes a potência aparente.

Bora fazer mais exercícios pra ficar fera nisso beleza?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP – Física III – Prova 3 – 2008.2 – Noturno – Questão nº4.

No circuito R L C abaixo, a corrente é dada por i t = I sen ⁡ ω t - ϕ e a fonte de f e m é ε = ε m sen ⁡ ω t . A reatância capacitiva deste circuito é X C = 100 3   Ω .

Dados: I = 2 3   A , ε m = 400 3   V , R = 100   Ω e ω = 200   r a d / s , calcule:

a ) A impedância do circuito;

b ) O valor da indutância;

c ) A constante de fase ϕ ;

d ) A potência média dissipada nos resistor;

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

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Passo 1

a ) A impedância do circuito;

A impedância do circuito pode ser calculada simplesmente por:

Z = ε m I

Z = 400 3 2 3 = 200   Ω

Passo 2

b ) O valor da indutância;

Opa! Vamos lá!

A impedância do circuito pode ser calculada também por:

Z = R 2 + X L - X C 2

Onde:

X L = ω L

Sendo que o problema já nos deu R , X C , ω e nós acabamos de calcular Z ... já viu que isso vai dar samba?

Isolando o X L daquela equação, teremos:

X L = X C + Z 2 - R 2

L = X C + Z 2 - R 2 ω

Agora é só substituir os valores:

L = 100 3 + 200 2 - 100 2 200

L = 100 3 + 4 × 10 4 - 10 4 200

L = 100 3 + 3 × 10 4 200

L = 100 3 + 100 3 200 = 200 3 200

L = 3   H

Passo 3

c ) A constante de fase ϕ ;

O ângulo de fase é dado por:

t g ϕ = X L - X C R

Onde X L = ω L = 200 × 3 = 200 3   Ω .

t g ϕ = 200 3 - 100 3 100 = 100 3 100

t g ϕ = 3

ϕ = arctan ⁡ 3

ϕ = 60 ° = π 3 r a d

Passo 4

d ) A potência média dissipada nos resistor;

A potência dissipada no resistor é dada por:

P = I 2 R

Mas como a corrente varia com o tempo, a potência média dissipada é dada por:

P m = I r m s 2 R

Onde I r m s é o valor quadrático médio da corrente, dado por:

I r m s = I m á x 2

Logo:

P m = I 2 2 R

P m = 2 3   2 2 × 100

P m = 600   W

Passo 5

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

A potência média dissipada em R será máxima quando a frequência for igual à frequência de ressonância.

ω 0 = 1 L C

Onde C = 1 / ω X C .

ω 0 = 1 3 200 × 100 3 = 1 3 2 3 × 10 4 = 2 × 10 4

ω 0 = 141   r a d / s

Resposta

a )

Z = 200   Ω

b )

L = 3   H

c )

ϕ = π 3 r a d

d )

P m = 600   W

e )

ω 0 = 141   r a d / s

Exercício Resolvido #2

UFF – Lista – Questão nº7.

Este circuito R L C de corrente alternada em série, com frequência angular ω = 2 π 10 3   r a d / s , descrito pelo gráfico de fasores abaixo.

a ) Determine a frequência de ressonância do circuito.

b ) Qual é a diferença de fase entre a corrente e a voltagem na fonte?

c ) Determine a impedância do circuito.

d ) Esboce o gráfico de fasores de todas as voltagens e da corrente para quando o sistema entra em ressonância.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para resolver essa questão, vamos começar determinando os valores de V L , V C , V R . Como I M = 4   A , o ângulo entre o vetor I e o eixo horizontal é 60 ° . Portanto, esse é o mesmo ângulo entre V R e o eixo horizontal:

V R . cos ⁡ 6 0 ° = 1   V

V R = 2   V

Analogamente, o ângulo entre V C e o eixo horizontal é 30 ° :

V C cos ⁡ 30 ° = 8   V

V C = 16 3 = 16 3 3   V

E o ângulo entre V L e o eixo horizontal é 30 ° :

V L . cos ⁡ 30 ° = 6   V

V L = 12 3 3 = 4 3   V

Agora que temos os valores das tensões e da amplitude da corrente, podemos determinar as impedâncias X L e X C , sabendo o valor de ω , podemos determinar o valor da indutância e da capacitância.

V L = I . X L

4 3 = 4 . X L

X L = 3   Ω  

Para a indutância, temos:

X L = ω . L

3 = 2 . π . 10 3 . L

L = 3   2 . π . 10 3

Analogamente para a capacitância:

V C = I . X C

16 3 3 = 4 . 1 2 . π . 10 3 . C

C = 3 8 . π . 10 3

Agora que sabemos L e C , podemos determinar a frequência angular de ressonância:

ω d = 1 L . C

ω d = 1 3   2 . π . 10 3 . 3 8 . π . 10 3

ω d = 4 . π . 10 3 3   r a d / s

Passo 2

b )

Para determinar a constante de fase entre a tensão e a corrente, vamos primeiro terminar as componentes da tensão:

V C - V L = 16 3 3 - 4 3

V C - V L = 4 3 3   V

V R = 2   V

Logo, a resultante da tensão é:

ε M 2 = 4 3 3 2 + 2 2  

ε M = 28 3

Para determinar o ângulo entre ε M e I , podemos usar a seguinte relação:

ε M . cos ⁡ θ = V R

28 3 . cos ⁡ θ = 2

θ = 49,1 °

Passo 3

c )

Para determinar a impedância, podemos usar a seguinte relação:

I = ε M Z

substituindo os valores, temos:

4 = 28 3 Z

Z = 7 12   Ω

Passo 4

d )

Quando o circuito entra em ressonância, temos que V L = V C , logo, a tensão ε , que é a soma vetorial das tensões dos dispositivos no circuito, é igual à V R , e portanto, está em fase com a corrente. O diagrama fasorial, quando o circuito entra em ressonância é:

Resposta

a ) ω d = 4 . π . 10 3 3   r a d / s

b )