Circuitos RLC com Fonte de CA

Teoria Completa

Introdução

Agora que já sabemos tudo sobre corrente alternada, bora ver como fica o circuito RLC em série quando alimentado por um gerador de corrente alternada!

A fem aplicada à esse circuito é:

E = E M sen ⁡ ω d t

Como os componentes estão em série, a mesma corrente passa por todos eles, ela é dada por:

i = I sen ⁡ ( ω d t - ϕ )

Para determinar a amplitude da corrente I e a constante de fase ϕ , é de grande ajuda utilizar os diagramas de fasores. Vamos ver como cada fasor se comporta, começando pela corrente!

Corrente

Em um instante qualquer t , temos que o fasor que representa a corrente, seu comprimento é a amplitude I da corrente, a sua projeção no eixo vertical nos da a corrente i para aquele instante t e o ângulo de rotação é a fase ω d t - ϕ .

Vamos agora ver como ficam os fasores das tensões nos terminais dos componentes, em relação ao fasor da corrente!

Tensões

Podemos fazer algumas observações:

  • A tensão no resistor e a corrente estão em fase, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V R é o mesmo de I .
  • A corrente está adiantada π / 2 em relação à tensão no capacitor, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V C é o mesmo da corrente menos π / 2 .
  • A corrente está atrasada π / 2 em relação à tensão no indutor, ou seja, o ângulo de rotação no fasor V L é o mesmo da corrente mais π / 2 .

Força Eletromotriz

Por último, veremos o fasor que representa a força eletromotriz:

Temos que o comprimento do fasor é o valor absoluto da força eletromotriz, a sua projeção no eixo vertical é a força motriz daquele instante t e o angulo de rotação do fasor é ω d t !

O fasor E M é a soma vetorial dos fasores V R , V L e V C . Assim, de acordo com o diagrama de fasores, podemos dizer que:

E M 2 = V R 2 + V L - V C 2

Sabendo que V R = I R , V L = I X L e V C = I X C , podemos escrever a amplitude da corrente como:

I = E M R 2 + X L - X C 2  

Onde o denominador define uma nova grandeza, chamada impedância:  

Z = R 2 + X L - X C 2

I = E M Z

A constante de fase, expressa em termos da resistência e das reatâncias é dada por:

tan ⁡ ϕ = V L - V C V R

Portanto:

tan ⁡ ϕ = X L - X C R

Onde X L = ω d L e X C = 1 / ω d C .

Analisando, temos que:

  • X L > X C : Neste caso, o circuito é mais indutivo do que capacitivo. Por termos ϕ positivo, temos que o fasor I está atrasado em relação ao fasor ε M !
  • X C > X L : Neste caso, o circuito é mais capacitivo do que indutivo. Por termos ϕ negativo, temos que o fasor I está adiantado em relação ao fasor ε M !
  • X L = X C : Neste caso, o circuito está em ressonância, por ϕ ser igual a zero, temos que I e ε M estão em fase!

No caso da ressonância, temos que a frequência angular de excitação, ou frequência de ressonância, é dada por:

ω d = 1 L C

Potência em Circuitos CA

Em circuitos que são alimentados por um gerador de corrente alternada, a potência também vai variar com o tempo. Assim, para termos uma medida fixa, trabalhamos com a taxa média com que a energia é dissipada no resistor.

Essa potência é dada por:

P m é d = E r m s I r m s cos ⁡ ϕ

Onde E r m s e I r m s são os valores quadráticos médios da f e m e da corrente, respectivamente dados por:

E r m s = E 2

I r m s = I 2

Assim, a potência média é dada por:

P m é d = E M . I . cos ⁡ ϕ 2

Onde E M é a amplitude da força eletromotriz, I é a amplitude da corrente e cos ⁡ ϕ   é o denominado fator de potência.

F P = cos ⁡ ϕ

Para maximizar a potencia, deve-se manter o fator de potência o mais próximo de 1.

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Exercício Resolvido #1

UNICAMP – Física III – Prova 3 – 2008.2 – Noturno – Questão nº4.

No circuito R L C abaixo, a corrente é dada por i t = I sen ⁡ ω t - ϕ e a fonte de f e m é ε = ε m sen ⁡ ω t . A reatância capacitiva deste circuito é X C = 100 3   Ω .

Dados: I = 2 3   A , ε m = 400 3   V , R = 100   Ω e ω = 200   r a d / s , calcule:

a ) A impedância do circuito;

b ) O valor da indutância;

c ) A constante de fase ϕ ;

d ) A potência média dissipada nos resistor;

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) A impedância do circuito;

A impedância do circuito pode ser calculada simplesmente por:

Z = ε m I

Z = 400 3 2 3 = 200   Ω

Passo 2

b ) O valor da indutância;

Opa! Vamos lá!

A impedância do circuito pode ser calculada também por:

Z = R 2 + X L - X C 2

Onde:

X L = ω L

Sendo que o problema já nos deu R , X C , ω e nós acabamos de calcular Z ... já viu que isso vai dar samba?

Isolando o X L daquela equação, teremos:

X L = X C + Z 2 - R 2

L = X C + Z 2 - R 2 ω

Agora é só substituir os valores:

L = 100 3 + 200 2 - 100 2 200

L = 100 3 + 4 × 10 4 - 10 4 200

L = 100 3 + 3 × 10 4 200

L = 100 3 + 100 3 200 = 200 3 200

L = 3   H

Passo 3

c ) A constante de fase ϕ ;

O ângulo de fase é dado por:

t g ϕ = X L - X C R

Onde X L = ω L = 200 × 3 = 200 3   Ω .

t g ϕ = 200 3 - 100 3 100 = 100 3 100

t g ϕ = 3

ϕ = arctan ⁡ 3

ϕ = 60 ° = π 3 r a d

Passo 4

d ) A potência média dissipada nos resistor;

A potência dissipada no resistor é dada por:

P = I 2 R

Mas como a corrente varia com o tempo, a potência média dissipada é dada por:

P m = I r m s 2 R

Onde I r m s é o valor quadrático médio da corrente, dado por:

I r m s = I m á x 2

Logo:

P m = I 2 2 R

P m = 2 3   2 2 × 100

P m = 600   W

Passo 5

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

A potência média dissipada em R será máxima quando a frequência for igual à frequência de ressonância.

ω 0 = 1 L C

Onde C = 1 / ω X C .

ω 0 = 1 3 200 × 100 3 = 1 3 2 3 × 10 4 = 2 × 10 4