Teoria

Um circuito RLC é composto por um resistor , um indutor e um capacitor que podem ser conectados em série ou em paralelo.

Representação de um circuito RLC
Representação de um circuito RLC

Dizemos que o circuito RLC é um circuito de segunda ordem, isso porque suas equações são descritas por EDOs de 2ª ordem! E hoje a gente vai aprender tudo sobre esse circuito pra arrasar na prova! 😍

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Circuito LC

Antes da gente chegar ao que interessa, vamos dar uma olhadinha em como funciona o circuito LC, que tudo vai ficar mais fácil depois! O circuito LC é composto por um indutor e por um capacitor, ele tem essa carinha aqui:

Representação de um Circuito LC
Representação de um Circuito LC

Só pra relembrar, o capacitor armazena energia em seu campo elétrico e o indutor é responsável por induzir a a partir de variações no fluxo magnético do circuito.

Tendo em vista o comportamento da corrente, fazemos um análogo entre o circuito LC e o movimento oscilatório, vamos então começar analisando as energias envolvidas:

  • A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é
  • A energia armazenada no campo elétrico do indutor é é

Analogamente ao movimento oscilatório, a soma dessas energias é sempre constante:

Onde é a carga e é a capacitância. Derivando isso em relação ao tempo, temos:

Podemos substituir que é igual a e simplificar:

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, que possui a seguinte solução:

Derivando, podemos determinar a corrente:

Daqui em diante temos uma corrente oscilatória conhecida como corrente alternada. Dessa equação, vemos que a amplitude de corrente é , chegamos então na equação que nos interessa!

Onde a frequência angular da oscilação, , é dado por:

Para indutor a voltagem é dada por:

Você também pode acessar esse conteúdo em vídeo:

Como funciona o Circuito RLC

O delta pode ser maior, igual ou menor que zero, então temos três possibilidades de solução.

Regime Supercrítico: Quando Δ>0

Nesse caso temos duas raízes reais, a equação auxiliar e a solução da carga são:

Sua corrente pode ser calculada por:

O gráfico para essa corrente fica da seguinte forma:

Regime Supercrítico: Gráfico da Corrente
Regime Supercrítico: Gráfico da Corrente

Regime Crítico: Quando Δ=0

Nesse caso temos apenas uma raiz real, dada por:

A solução pra carga e para a corrente serão:

O gráfico para essa corrente fica da seguinte forma:

Regime crítico: Gráfico da Corrente
Regime crítico: Gráfico da Corrente

Regime Subcrítico: Quando Δ<0

Nesse caso teremos duas raízes complexas para a equação auxiliar, dadas por:

A solução para a carga será igual a:

O gráfico para a corrente fica assim:

Regime Subcrítico: Gráfico da Corrente
Regime Subcrítico: Gráfico da Corrente

Tensão do Capacitor e do Indutor

Podemos também definir a tensão no capacitor e no indutor da seguinte forma:

Agora vamos praticar com exercícios?

Como funciona o Circuito RLC

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

Passo 1

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

Em um circuito R L , a corrente varia com o tempo de acordo com a função:

i = ε R . 1 - e - R t L

Sabendo isso, o nosso trabalho aqui é comparar a função acima com a função dada pelo problema:

i a t = 5,0 1 - e - 800 t

Daqui podemos tirar que:

ε R a = 5,0 → R a = ε 5 = 10 5

R a = 2   Ω

Além disso:

R a L a = 800 → L a = R a 800 = 2 800

L a = 2,5 × 10 - 3 H = 2,5   m H

Passo 2

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

Em um circuito R L C , a carga varia com o tempo de acordo com a função:

q t = Q ⋅ e - R b . t 2 . L b ⋅ cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Onde ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 , lembrando que ω = 1 L b C b .

Então, logo de cara, já podemos calcular algumas coisas?

R b 2 L b = 32 2 × 4 × 10 - 3 = 4000 s - 1

ω = 1 L b C b = 1 4 × 10 - 3 × 10 × 10 - 6 = 1 4 × 10 - 8 = 1 2 × 10 - 4

ω = 5000   r a d / s

ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 = 5000 2 - 4000 2 = 25 × 10 6 - 16 × 10 6 = 9 × 10 6

ω ' = 3000   r a d / s

Substituindo esses caras na expressão de q t , teremos:

q t = Q ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ ( 3000 t + ϕ )

Para descobrir os valores de Q e ϕ , teremos que usar as condições iniciais do problema.

Passo 3

De acordo com o enunciado, q 0 = 6,0 μ C = 6 × 10 - 6 C e i 0 = 0 . Então vamos utilizar essas informações pra descobrir os valores de Q e ϕ , ok?

6 × 10 - 6 = Q cos ⁡ ϕ

Além disso:

i = d q d t → i t = - Q e - 4000 t 4000 cos ⁡ 3000 t + ϕ + 3000 sen ⁡ 3000 t + ϕ

i 0 = 0

0 = - Q 4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ = 0

Utilizando a igualdade trigonométrica sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 → sen ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ , teremos:

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 0

3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 3000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4 3 cos ⁡ ϕ

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - cos 2 ⁡ ϕ = 16 9 cos 2 ⁡ ϕ

cos 2 ⁡ ϕ + 16 9 cos 2 ⁡ ϕ = 1

25 9 cos 2 ⁡ ϕ = 1 → cos 2 ⁡ ϕ = 9 25

Finalmente:

c o s ϕ = 3 5 → ϕ = cos - 1 ⁡ 3 5

Voltando para a primeira condição de contorno, teremos:

6 × 10 - 6 = Q cos ⁡ ϕ

6 × 10 - 6 = 3 5 Q → Q = 5 3 × 6 × 10 - 6

Q = 10 × 10 - 6 C = 10 μ C

Substituindo Q e ϕ na expressão de q t , teremos:

q t = 10 ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ 3000 t + cos - 1 ⁡ 3 5 μ C

Passo 4

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

A energia total do circuito será a soma das energias do indutor e do capacitor, logo:

U t o t a l = U L 0 + U C 0

Onde U C 0 = q 2 0 / 2 C .

U t o t a l = U L 0 + q 2 0 2 C

U t o t a l = 5 × 10 - 3 + 4,0 × 10 - 3 2 2 × 10 × 10 - 3

U t o t a l = 5 × 10 - 3 + 16 × 10 - 6 20 × 10 - 3 = 5 × 10 - 3 + 0,8 × 10 - 3

U t o t a l = 5,8 × 10 - 3   J

O capacitor terá carga máxima quando toda a energia do circuito estiver armazenada nele, logo:

U t o t a l = q m á x 2 2 C → q m á x = 2 C U t o t a l

Finalmente:

q m á x = 2 × 10 × 10 - 3 × 5,8 × 10 - 3

q m á x = 116 × 10 - 6

q m á x ≈ 11 × 10 - 3 C

Resposta

a )

L a = 2,5   m H

b )

q t = 10 ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ 3000 t + cos - 1 ⁡ 3 5 μ C

c )

q m á x ≈ 11 × 10 - 3 C

Exercício Resolvido #2

Num circuito L C , L = 2,0 m H e C = 8,0 μ F . No instante t = 0 , a corrente é de 8,0 m A , a carga do capacitor é de 2,0 μ C e o capacitor está sendo carregado.

  1. Qual é a energia total do circuito?
  2. Qual é a carga máxima do capacitor?
  3. Qual é a corrente máxima?
  4. Qual é o período de oscilação da corrente no circuito?
  5. Sabendo-se que a carga do capacitor é dada por q t = Q cos ⁡ ω t + ϕ , qual o valor de ϕ ?

Passo 1

  1. Qual é a energia total do circuito?
  2. A energia total do circuito será igual à soma das energias acumuladas no capacitor e no indutor.

    U = U C + U L

    Onde:

    U C = q 2 2 C

    U L = L I 2 2

    Logo:

    U = q 2 2 C + L I 2 2

    Bom... agora é só substituir os valores e ser feliz.

    L = 2,0 m H = 2,0 × 10 - 3 H

    I = 8,0 m A = 8,0 × 10 - 3 A

    C = 8,0 μ F = 8,0 × 10 - 6 F

    q = 2,0 μ C = 2,0 × 10 - 6 C

    Substituindo os valores, vamos encontrar o seguinte:

    U = 2,5 × 10 - 7 + 0,64 × 10 - 7

    U = 3,14 × 10 - 7 J

    U = 314   n J

    Passo 2

  3. Qual é a carga máxima do capacitor?
  4. O capacitor terá carga máxima quando toda a energia do circuito for igual a U C (quando U L for igual a zero), logo:

    U = U C

    U = Q 2 2 C

    Q = 2 U C

    Q = 2 × 314 × 10 - 9 × 8,0 × 10 - 6

    Q = 2,24 μ C

    Passo 3

  5. Qual é a corrente máxima?
  6. Nesse caso, a corrente máxima passará pelo circuito quando U = U L (quando U C for nulo), logo:

    U = U L

    U = L I 2 2

    I = 2 U L

    I = 2 × 314 × 10 - 9 2,0 × 10 - 3

    I = 17,7 m A

    Passo 4

  7. Qual é o período de oscilação da corrente no circuito?
  8. A frequência angular de oscilação é dada por:

    ω = 1 L C

    ω = 1 2,0 × 10 - 3 × 8,0 × 10 - 6

    ω ≅ 7906   r a d / s

    Como ω = 2 π T , temos:

    T = 2 π 7906 ≅ 0,0008   s

    Passo 5

  9. Sabendo-se que a carga do capacitor é dada por q t = Q cos ⁡ ω t + ϕ , qual o valor de ϕ ?

Voltando no enunciado, ele nos diz que, quando t = 0 , q 0 = q 0 = 2,0 μ C . Agora o nosso único trabalho é isolar o ϕ .

q t = Q cos ⁡ ω t + ϕ

q 0 = Q cos ⁡ ϕ

cos ⁡ ϕ = q 0 Q

ϕ = arccos ⁡ q 0 Q

ϕ = arccos ⁡ 2,0 × 10 - 6 2,24 × 10 - 6

ϕ = arccos ⁡ 2 2,24

Resposta

a.

U = 314   n J

b.

Q = 2,24 μ C

c.

I = 17,7 m A

d.

T = 0,0008   s

e.

ϕ = arccos ⁡ 2 2,24

Exercício Resolvido #3

Em um circuito LC, no qual C = 4,0   μF , a diferença de potencial máxima através do capacitor durante as oscilações é de 1,25   V e a corrente máxima através do indutor é de 50   mA .

Encontre:

  1. A indutância do indutor;
  2. A frequência das oscilações;
  3. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;

Passo 1

  1. A indutância do indutor;
  2. Em um circuito L C , toda a energia armazenada é dada por:

    U = Q 2 2 C + L I 2 2

    Onde o primeiro corresponde à parcela de energia armazenada no capacitor e o segundo corresponde à parcela de energia armazenada no indutor.

    O que acontece aqui é que quando a carga no capacitor é máxima, a corrente é nula. E quando a corrente no indutor é máxima, a carga no capacitor é nula.

    Assim, usando a equação acima e partindo do princípio que toda a energia do circuito se conserva, podemos associar a carga máxima Q m com a corrente máxima I m por:

    Q m 2 2 C = L I m 2 2

    L = Q m 2 I m 2 C

    O problema nos deu a corrente máxima I m e a capacitância C . Para descobrir a carga máxima Q m , usaremos a diferença de potencial máxima no capacitor, dada pelo problema.

    Passo 2

    V m = Q m C

    Q m = V m C

    Onde C = 4,0   μF = 4,0 × 10 - 6   F e V m = 1,25   V .

    Q m = 1,25 × 4 × 10 - 6 = 5 × 10 - 6   C

    Q m = 5,0   μC

    Voltando ao problema, agora podemos calcular a indutância. Onde I m = 50   mA = 0,05   A

    L = Q m 2 I m 2 C

    L = 5 × 10 - 6 2 0,05 2 × 4 × 10 - 6

    L = 2,5 × 10 - 3   H

    L = 2,5   mH

    Passo 3

  3. A frequência das oscilações;
  4. Para um circuito L C , a frequência das oscilações é dada por:

    ω = 1 L C

    Agora é só ser feliz.

    C = 4,0 × 10 - 6   F

    L = 2,5 × 10 - 3   H

    ω = 1 2,5 × 10 - 3 × 4,0 × 10 - 6

    ω = 10 4   rad/s

    Passo 4

  5. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;

A carga do capacitor vai oscilar com frequência ω .

Podemos associar ω com o período da oscilação através da relação:

ω = 2 π T

T = 2 π ω

Vamos imaginar que, inicialmente, a carga no capacitor é máxima.

Quando Δ t = T , a carga do capacitor final vai ser igual à inicial, máxima... ou seja, Δ Q = 0 .

Quando Δ t = T / 2 , a carga final do capacitor vai ser a carga mínima... ou seja, Δ Q = - 2 Q m .

Quando Δ t = T 4 , a carga final do capacitor vai ser igual a zero... ou seja, Δ Q = - Q m . Este é exatamente o caso do problema, onde a variação da carga, em módulo é Δ Q = Q m . Isso acontece quando Δ t = T / 4 .

Δ t = T 4 = 2 π 4 ω

Δ t = π 2 ω

Δ t ≅ 1,57 × 10 - 4   s

Resposta

a.

L = 2,5   mH

b.

ω = 10 4   rad/s

c.

Δ t ≅ 1,57 × 10 - 4   s

Exercício Resolvido #4

Considere o circuito L C abaixo com cargas + Q 0 e - Q 0 nas placas do capacitor. A chave é fechada no instante t = 0 .

  1. Escreva a equação diferencia da carga Q t na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Q t .
  2. Determine a carga Q t na placa superior e a corrente I t no circuito para t > 0 e que satisfazem as condições iniciais.
  3. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento l e diâmetro 2 a com N voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  4. Qual é a nova frequência angular ω ' de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 100   μ 0 ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular ω do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

Passo 1

  1. Escreva a equação diferencia da carga Q t na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Q t .
  2. Bom, sabemos que a soma de todas as ddps de um circuito deve ser nula, certo? Logo:

    V C + V L = 0

    Q C + L d I d t = 0

    Mas sabemos que I = d Q / d t ... substituindo isso aqui em cima:

    Q C + L d 2 Q d t 2 = 0

    d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

    Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e podemos escrevê-la como:

    d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    ω = 1 L C

    A condição inicial é que inicialmente, a carga na placa superior do capacitor seja máxima.

    t = 0 → Q 0 = 0

    Passo 2

  3. Determine a carga Q t na placa superior e a corrente I t no circuito para t > 0 e que satisfazem as condições iniciais.
  4. Beleza! Conforme eu falei, a equação:

    d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    ω = 1 L C

    É uma equação diferencial de segunda ordem e a cara dela é bem familiar... ela tem a mesma cara da equação para um sistema massa-mola sem amortecimento.

    A solução dessa equação diferencial vai ser algo do tipo:

    Q t = A cos ⁡ ( ω t ) + B sen ⁡ ω t

    Sabemos que em t = 0 , Q 0 = Q 0 . Logo:

    Q 0 = Q 0 = A

    Além disso, sabemos que em t = 0 , I 0 = 0 .

    I t = d Q t d t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t + B ω cos ⁡ ( ω t )

    I 0 = B ω = 0

    B = 0

    Portanto, a solução da equação diferencial é:

    Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

    I t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t

    Passo 3

  5. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento l e diâmetro 2 a com N voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  6. A indutância é dada por:

    L = ϕ B I

    Então temos que começar nos preocupando com o fluxo do campo magnético.

    O campo magnético de um solenoide é dado por:

    B = μ 0 N I l

    O fluxo do campo magnético para um solenoide com N espiras é dado por:

    ϕ B = N B A

    ϕ B = N × μ 0 N I l × π a 2

    ϕ B = μ 0 N 2 π a 2 I l

    Agora podemos finalmente calcular a indutância:

    L = ϕ B I

    L = μ 0 N 2 π a 2 l

    Passo 4

  7. Qual é a nova frequência angular ω ' de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 100   μ 0 ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular ω do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

A frequência angular é dada por:

ω = 1 L C

A nova indutância L ' será dado por:

L ' = μ N 2 π a 2 l

Nesse caso, μ = 100 μ 0 . Substituindo na fórmula da indutância:

L ' = 100 μ 0 N 2 π a 2 l

L ' = 100 L

Assim, a nova frequência será:

ω ' = 1 L ' C = 1 100 L C

ω ' = 1 10 1 L C

Lembrando que:

ω = 1 L C

Por fim:

ω ' = ω 10

Resposta

  1. d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    Q 0 = Q 0

  2. Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

    I t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t

  3. L = μ 0 N 2 π a 2 l

ω ' = ω 10

Exercício Resolvido #5

Considere o circuito da figura 1 , onde ε = 10   V , R 1 = 9 Ω , R 2 = 10 Ω , o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. O circuito é operado nas seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Durante a fase 2 , a d.d.p. V A - V B em função do tempo corresponde ao gráfico da figura 2 , na qual a escala de tempo no eixo horizontal está expressa em segundos. Supondo que a frequência angular da oscilação amortecida ω ' possa ser aproximada pela da oscilação livre sem amortecimento ω o , determine:

a ) O valor da resistência r .

b ) O valor da corrente no indutor no final da fase 1 .

c ) O valor da capacitância C e da indutância L .

d ) A energia dissipada na resistência r na fase 2 .

Passo 1

a )

Para determinar a resistência r , devemos pensar no fim da fase 1 , pois nesse momento, o indutor se comporta como um fio qualquer e a corrente no resistor é máxima, ou seja, temos:

V = R . i

ε = R 1 + r . i m á x

i m á x = ε R 1 + r

Já no início da fase 2 , também temos a mesma corrente máxima, só que agora, nos foi fornecida a diferença de potencial nos terminais do resistor r para esse instante, V = 1   V , temos então:

V = r . i m á x

Substituindo o valor de i m á x , temos:

1 = r . ε R 1 + r

Substituindo os valores conhecidos:

1 = r . 10 9 + r

r = 1   Ω

Passo 2

b )

No fim da fase 1 , o indutor se comporta como um fio qualquer, e nós já sabemos que a corrente nesse instante é máxima, portanto:

i m á x = ε R 1 + r

i m á x = 10 9 + 1

i m á x = 1   A

Passo 3

c )

Para determinar o valor da capacitância e da indutância, devemos analisar como varia a corrente em função do tempo para um circuito RLC, temos que a corrente varia da seguinte forma:

i = i m á x . e - R . t 2 . L . cos ⁡ ω . t

Pelo gráfico dado, vemos que o expoente da função exponencial é:

- R . t 2 . L = - 10 3 . t

Isolando o valor da indutância, temos:

L = R 2 × 10 3

Substituindo o valor da resistência, temos:

L = 1 2 × 10 3 = 5 × 10 - 4   H

Para determinar o valor da capacitância, vamos usar o fato de que a oscilação amortecida pode ser aproximada para uma oscilação livre, onde ω = 1 / L . C . Pelo gráfico, vemos que o período de oscilação é:

T = 2 . π × 10 - 6   s

Ou seja:

ω = 2 . π T = 2 . π 2 . π × 10 - 6 = 10 6   r a d / s

Substituindo para achar a capacitância:

  ω = 1 L . C

10 6 = 1 5 × 10 - 4 . C

C = 2 × 10 - 9   F

Passo 4

d )

Para determinar a energia dissipada na resistência r durante a fase dois, devemos calcular a energia armazenada no indutor durante a fase 1 . Como o capacitor está inicialmente descarregado, somente a energia armazenada no indutor será dissipada no resistor, vamos calcular isso:

U = L . I 2 2

U = 5 × 10 - 4 . 1 2 2 = 2,5 × 10 - 4   J

Resposta

a )   r = 1   Ω

b )   i m á x = 1   A

c )   L = 5 × 10 - 4   H ; C = 2 × 10 - 9   F

d )   U = 2,5 × 10 - 4   J

Exercício Resolvido #6

Considere o circuito mostrado na figura abaixo, onde o capacitor C está inicialmente descarregado. Considere ε , R 1 , R 2 , C e L dados.

Fase I: A chave S é comutada para a posição 1 ( t = 0 ). Nestas condições:

a ) Escreva a expressão da corrente no circuito em função do tempo i ( t ) .

b ) Após um tempo muito longo, determine as tensões sobre R 1 , R 2 e L .

Fase II: A chave é comutada para a posição 2 ( t = 0 ).

c ) Temos agora um circuito RLC em série onde a corrente pode ser aproximadamenre dada pela seguinte expressão: i t = I m e - α . t cos ⁡ ω . t . determine os três parâmetros desta expressão: I m , α e ω em função dos dados do problema ( ε , R 1 , R 2 , C e L ).

d ) Após um tempo muito longo calcule a energia total dissipada em R 2 .

Passo 1

a )

Durante a fase 1 , temos um circuito RL. Para esse tipo de circuito, temos que a corrente varia da seguinte maneira:

i = ε R . 1 - e - R . t L

Podemos sempre chegar nas equações para corrente usando a lei das malhas, mas é mais fácil decorar essas malditas.

No caso acima, temos que a resistência equivalente é a soma das resistências, tendo em vista que os resistores estão em série, então, a equação da corrente é:

i = ε R . 1 - e - ( R 1 + R 2 ) . t L   [ A ]

Passo 2

b )

No fim da fase 1 , o indutor se comporta como um fio qualquer sem resistência, e portanto, a d.d.p entre seus terminais é nula, e a corrente no circuito é máxima I m . Logo, a tensão está dividida entre as duas resistências, usando V = R . i , temos:

V R 1 = R 1 . I m

V R 2 = R 2 . I m

Além disso:

ε = R 1 + R 2 . I m

I m = ε R 1 + R 2

Substituindo nas duas primeiras equações, temos:

V R 1 = R 1 . ε R 1 + R 2   [ V ]

V R 2 = R 2 . ε R 1 + R 2   [ V ]  

Passo 3

c )

Com a chave na posição 2 , temos um circuito RLC, nesse tipo de circuito, a corrente, conforme dito no enunciado é dada pela seguinte expressão:

i t = I m . e - α . t . cos ⁡ ω . t

Precisamos agora determinar I m , α e ω . Vamos começar com o valor da corrente.

Para t = 0 , temos que a corrente é i 0 = I m , e deve ser igual à corrente no fim da fase 1 , ainda bem que já calculamos isso no item anterior!

I m = ε R 1 + R 2

Agora, como calculamos o resto?

Nós sabemos lá da teoria que a fórmula da carga no circuito RLC é dada por:

q = Q ⋅ e - R . t 2 . L ⋅ cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Para calcular a corrente, basta derivar em relação a t e chegaremos nisso:

i = d q d t = - Q ⋅ e - R . t 2 . L R 2 . L ⋅ cos ⁡ ω ' t + ϕ + ω ' ⋅ s en ⁡ ω ' t + ϕ

Eu sei! Que coisa gigante e horrorosa, né? Mas existe um bizu que vai nos ajudar a simplificar isso (graças!!!)

Bizu:

A cos ⁡ θ + B s e n θ = C cos ⁡ θ - D

onde C = A 2 + B 2 e D = a r c t g B A .

Considerando A = R 2 L e B = ω ' , podemos chegar que a equação da corrente é algo assim:

i = d q d t = Q ⋅ e - R . t 2 . L   C . c o s ⁡ ( ω ' t + ϕ - D )

Comparando com a equação do enunciado i t = I m . e - α . t . cos ⁡ ω . t , temos que α = R 2 L .

No nosso caso:

α = R 2 2 . L   [ s - 1 ]

Finalmente, temos que ω = 1 L . C - R 2 4 . L 2 , para o nosso circuito, temos:

ω = 1 L . C - R 2 2 4 . L 2   [ r a d / s ]

Passo 4

d )

Para determinar a energia dissipada na resistência r durante a fase dois, devemos calcular a energia armazenada no indutor durante a fase 1 . Como o capacitor está inicialmente descarregado, somente a energia armazenada no indutor será dissipada no resistor, vamos calcular isso:

U = L . I m 2 2

Substituindo o valor da corrente, que já calculamos, temos:

U = L 2 . ε R 1 + R 2 2   [ J ]

Resposta

a )   i = ε R . 1 - e - ( R 1 + R 2 ) . t L   [ A ]

b ) V R 1 = R 1 . ε R 1 + R 2   [ V ] ; V R 2 = R 2 . ε R 1 + R 2   [ V ]  

c )   ω = 1 L . C - R 2 2 4 . L 2   [ r a d / s ]

d )   U = L 2 . ε R 1 + R 2 2   [ J ]

Exercício Resolvido #7

Um capacitor de 5,0   μ F é carregado a uma tensão de 30   V e então é ligado a um indutor de 10   μ H . A frequência angular de oscilação das energias armazenadas no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor é:

(a) 1,41 × 10 5   r a d / s .

(b) 7,07 × 10 4   r a d / s .

(c) 3,18 × 10 9   r a d / s .

(d) 2,82 × 10 5   r a d / s .

(e) 1,41 × 10 4   r a d / s .

Passo 1

A frequência de oscilação do circuito é dada por:

ω = 1 L C = 1 10 × 10 - 6 × 5 × 10 - 6 ,  

ω = 10 12 50 = 1,41 × 10 5   r a d / s .

Resposta

(a) 1,41 × 10 5   r a d / s .

Exercício Resolvido #8

Considere um circuito L C com capacitância C = 3 μ F e indutância L = 30 m H . Em t = 0 , não há corrente passando no circuito e a tensão sobre o capacitor é de 60 V . Nas respostas numéricas abaixo, quando necessário, aproxime π ≈ 3 , ε 0 ≈ 10 - 11 F / m e μ 0 ≈ 10 - 6 H / m .

(a) Qual é o primeiro instante em que a corrente no indutor é máxima?

(b) Qual é o valor da corrente máxima no indutor?

(c) Após t = 0 , qual é o primeiro instante em que a carga no capacitor volta a ser máxima?

Passo 1

(a) Qual é o primeiro instante em que a corrente no indutor é máxima?

Vamos começar calculando o período de oscilação do circuito L C .

A frequência angular natural é dada por:

ω = 1 L C = 1 3 × 10 4   r a d / s .

Assim sendo, a frequência e o período são dados por:

f = ω 2 π = 1 3 × 10 4 2 π ,

T = 1 f = 6 π × 10 - 4   s ,

T = 1,8 × 10 - 3 = 1,8   m s .

Passo 2

A corrente máxima no indutor ocorre após um tempo t = 1 4 T . Substituindo o valor de T , temos:

t = 0,45   m s .

Passo 3

(b) Qual é o valor da corrente máxima no indutor?

Podemos descobrir a corrente máxima I M A X no indutor por meio da conservação de energia. Temos:

1 2 C V M A X 2 = 1 2 L I M A X 2 ,

I M A X = C / L   V M A X .

Como a tensão máxima no capacitor é igual à tensão inicial de 60 V , temos:

I M A X = 10 - 2 . 60 = 0,6 A .

Passo 4

(c) Após t = 0 , qual é o primeiro instante em que a carga no capacitor volta a ser máxima?

A carga no capacitor volta a ser máxima no instante t = 1 2 T , ou seja,

t = 0,9   m s .

Note que, neste instante, a polaridade do capacitor é invertida em relação ao instante inicial.

Resposta

(a) t = 0,45   m s .

(b) I M A X = 0,6 A .

(c) t = 0,9   m s .

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