Teoria

Introdução

A corrente em um circuito RL se comporta de maneira exponencial né?

E em um circuito RLC como será o comportamento da corrente? Bora descobrir?

Circuito LC

Ué? Mas não íamos falar sobre o circuito RLC?

Antes de falar no RLC vamos só dar um pincelada no circuito LC, que vai nos ajudar a entender alguns conceitos. Se liga na figura abaixo:

Onde L é a indutância e C é a capacitância.

Tendo em vista o comportamento da corrente, fazemos um análogo entre o circuito LC e o movimento oscilatório, vamos então começar analisando as energias envolvidas:

  • A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é U C = q 2 2 C
  • A energia armazenada no campo magnético do indutor é U L = L i 2 2

Analogamente ao movimento oscilatório, a soma dessas energias é sempre constante:

q 2 2 C + L i 2 2 = constante

Derivando temos:

q C ⋅ d q d t + L i ⋅ d i d t = 0

Podemos substituir

i = d q d t

E simplificar:

q C + L ⋅ d 2 q d t 2 = 0

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, e que possui a seguinte solução:

q = Q cos ⁡ ( ω d t + ϕ )

Derivando, podemos determinar a corrente:

i = - ω Q sen ⁡ ( ω d t + ϕ )

E repare o seguinte, a corrente é uma função cosseno e o que isso mostra? Ao invés de corrente contínua como antes, daqui em diante temos uma corrente oscilatória conhecida como corrente alternada.

Dessa equação, vemos que a amplitude de corrente é I = ω Q , chegamos então na equação que nos interessa!

i = - I sen ⁡ ( ω d t + ϕ )

O gráfico da corrente vai ter no geral mais ou menos essa cara:

Fazendo algumas malandragens determinamos o valor da frequência de oscilação do circuito LC. E aqui não vale super apena trazer a dedução, vamos concentrar nossos esforços em lembrar da equação, beleza?

ω d = 1 L C

Beleza tratamos da carga e da corrente mas e a voltagem? Como a gente encontra a voltagem do indutor e do capacitor?

Pro indutor a voltagem é dada por:

V L = L d i ( t ) d t

E como temos a função da corrente é só derivar pro tempo:

V L = L d d t - I sen ⁡ ω d t + ϕ  

Pela regra da cadeia, derivamos o de dentro e multiplicamos pela derivada do de fora, então:

V L = - L I × ω d × cos ⁡ ω d t + ϕ

E enfim temos:

V L = - L I ω d c o s ω d t + ϕ

E pro capacitor a gente pode lembrar o seguinte:

i c = C d V C   d t

Passando o d t pro outro lado, temos:

i C d t = C d V C

∫ i C d t = C V C

Então integramos a corrente, mas a gente derivou a carga pra achar a corrente então nem precisamos fazer essa integral né!

∫ i C d t = Q cos ⁡ ( ω d t + ϕ ) = C V C

A gente também pode escrever Q em função de ω d

Q = I ω d

E aí passando o C pro outro lado temos a voltagem do capacitor.

V C = I ω d C cos ⁡ ( ω d t + ϕ )

É basicamente isso que precisamos saber sobre esse tipo de circuito.

Circuito RLC

Esse circuito, como o nome já diz, é composto por uma resistência, um indutor e um capacitor em série.

Aqui fica mais simples aplicar Kirchhoff (Regra das Malhas):

ε + ε r e s i s t o r + ε c a p a c i t o r + ε i n d u t o r = 0

ε - i R - q C - L d i d t = 0

Escrevendo a corrente como

i = d q d t

Temos:

ε - d q d t R - q C - L d 2 q d t 2 = 0

Passando tudo que tem q pra um lado e tudo que não tem pro outro temos:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = ε

Dividindo toda essa equação por L , temos:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = ε L

Como ω d 2 = 1 / L C , podemos reescrever

d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = ε L

Essa aqui é uma equação diferencial de segunda ordem e é muito parecida com a equação de um oscilador harmônico amortecido com uma força externa constante!

A solução dessa EDO é da forma

q t = q h t + q p ( t )

Onde q h ( t ) é a solução homogênea e q p ( t ) é a solução particular da EDO. A solução homogênea. Lembrando que a solução homogênea é aquela que satisfaz a EDO com o outro lado sendo zero, e a solução particular depende de um chute e tem alguns macetes pra chutar certo, no nosso caso o lado direito é constante então vamos chutar um valor constante também.

A gente acha a solução particular, q p ( t ) , chutando ela! Aqui escolhi chutar a capacitância.

q p = C

Assim

d q p d t = 0   ; d 2 q p d t 2 = 0

Substituindo na EDO

0 + R L 0 + ω d 2 C = ε L

C = ε L ω d 2

q p = ε L ω d 2 = ε L C L = ε C

E a corrente pra essa carga será

i p = d q p d t = 0

Por que nesse caso a solução particular não depende do tempo. E como a solução particular da corrente deu zero, só teremos a solução homogênea pra ela.

Agora a solução homogênea, q h ( t ) , é a solução da seguinte EDO:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = 0

Pra resolver esse negócio aí, a gente tem que usar teoria de resolução de EDO. Olha na nossa parte de cálculo que tá tópissimo lá ;)

Lá da teoria a gente cai numa equação auxiliar

r 2 + R L r + ω d 2 = 0

Que é uma equaçãozinha do segundo grau. As raízes dela são

r ± = - R L ± Δ   2 = - R L ± R L 2 - 4 ω d 2   2

Aí temos 3 caso possíveis dependendo do valor de Δ

Então bora analisar esses casos:

Δ = R L 2 - 4 ω d 2

  • Δ > 0
  • Para isso,

    R L 2 > 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime supercrítico, onde temos duas raízes reais, r 1 e r 2 pra nossa equação auxiliar. A solução pra carga será

    q h t = A e r 1 t + B e r 2 t

    Se quisermos saber a corrente basta derivar no tempo

    i h t = d q h d t t = r 1 A e r 1 t + r 2 A e r 2 t

    O gráfico pra essa corrente fica mais ou menos assim

  • Δ = 0
  • Para isso,

    R L 2 = 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime crítico, onde temos uma única raiz real, r , pra nossa equação auxiliar.

    r = - R 2 L

    A solução pra carga será

    q h t = A + B t e r t = A + B t e - R t / 2 L

    Se quisermos saber a corrente basta novamente derivar no tempo

    i h t = d q h d t t = r A + B t e r t + B e r t = - R 2 L A + B t e - R t / 2 L + B e - R t / 2 L

    O gráfico da corrente fica mais ou menos assim

  • Δ < 0
  • Para isso,

    R L 2 < 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime subcrítico, onde temos duas raízes complexas, r 1 e r 2 , pra nossa equação auxiliar. A gente escreve essas duas raízes como:

    r 1 = - R 2 L + i ω

    r 2 = - R 2 L - i ω

    Onde, definimos

    ω = 4 ω d 2 - R L 2

    A solução pra carga será

    q h t = e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t )

    E para saber a corrente, derivamos no tempo:

    i h t = d q h d t t = - R 2 L e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t ) + e - R 2 L t - A s e n ( ω t ) + B c o s ( ω t )

    O gráfico da corrente no tempo é algo mais ou menos assim:

    A gente falou de carga e da corrente mas para esses casos se a gente quiser encontrar a voltagem, podemos fazer para o capacitor:

    V C = 1 C ∫ i t d t

    E para o indutor:

    V L = L d i t d t

    Então, para o circuito RLC a corrente pode ter comportamentos diferentes dependendo de quanto vale R , L e C e se não houvesse uma fonte nesse circuito as soluções seriam apenas homogêneas pois a EDO inicial seria assim:

    d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = 0

    Belezura? Vamos praticar então! \o/

    Resumo Circuito RLC

    Aqui vamos repassar o mais importante que é saber calcular a carga e a corrente para cada regime que depende de . A nossa equação auxiliar pra todos os casos é:

    r ± = - R L ± Δ   2

    E o nosso é dado por:

    Δ = R L 2 - 4 ω d 2

    O tem 3 situações possíveis:

  • Δ > 0 , quando:
  • R L 2 > 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime supercrítico, onde temos duas raízes reais, r 1 e r 2 e a solução da carga é:

    q h t = A e r 1 t + B e r 2 t

    E a corrente é:

    i h t = d q h d t t = r 1 A e r 1 t + r 2 A e r 2 t

  • Δ = 0
  • Para isso:

    R L 2 = 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime crítico, onde temos uma única raiz real, r , pra nossa equação auxiliar.

    r = - R 2 L

    A solução pra carga será

    q h t = A + B t e r t = A + B t e - R t / 2 L

    E pra corrente:

    i h t = - R 2 L A + B t e - R t / 2 L + B e - R t / 2 L

  • Δ < 0

R L 2 < 4 ω d 2

regime subcrítico, com duas raízes complexas, r 1 e r 2 , pra nossa equação auxiliar. As raízes são

r 1 = - R 2 L + i ω

r 2 = - R 2 L - i ω

Onde, definimos

ω = 4 ω d 2 - R L 2

A solução pra carga será

q h t = e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t )

E a corrente tem solução:

i h t = e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t ) + e - R 2 L t - A s e n ( ω t ) + B c o s ( ω t )

Circuito RLC

Resumo Circuito RLC

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

Passo 1

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

Em um circuito R L , a corrente varia com o tempo de acordo com a função:

i = ε R . 1 - e - R t L

Sabendo isso, o nosso trabalho aqui é comparar a função acima com a função dada pelo problema:

i a t = 5,0 1 - e - 800 t

Daqui podemos tirar que:

ε R a = 5,0 → R a = ε 5 = 10 5

R a = 2   Ω

Além disso:

R a L a = 800 → L a = R a 800 = 2 800

L a = 2,5 × 10 - 3 H = 2,5   m H

Passo 2

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

Em um circuito R L C , a carga varia com o tempo de acordo com a função:

q t = Q ⋅ e - R b . t 2 . L b ⋅ cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Onde ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 , lembrando que ω = 1 L b C b .

Então, logo de cara, já podemos calcular algumas coisas?

R b 2 L b = 32 2 × 4 × 10 - 3 = 4000 s - 1

ω = 1 L b C b = 1 4 × 10 - 3 × 10 × 10 - 6 = 1 4 × 10 - 8 = 1 2 × 10 - 4

ω = 5000   r a d / s

ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 = 5000 2 - 4000 2 = 25 × 10 6 - 16 × 10 6 = 9 × 10 6

ω ' = 3000   r a d / s

Substituindo esses caras na expressão de q t , teremos:

q t = Q ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ ( 3000 t + ϕ )

Para descobrir os valores de Q e ϕ , teremos que usar as condições iniciais do problema.

Passo 3

De acordo com o enunciado, q 0 = 6,0 μ C = 6 × 10 - 6 C e i 0 = 0 . Então vamos utilizar essas informações pra descobrir os valores de Q e ϕ , ok?

6 × 10 - 6 = Q cos ⁡ ϕ

Além disso:

i = d q d t → i t = - Q e - 4000 t 4000 cos ⁡ 3000 t + ϕ + 3000 sen ⁡ 3000 t + ϕ

i 0 = 0

0 = - Q 4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ = 0

Utilizando a igualdade trigonométrica sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 → sen ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ , teremos:

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 0

3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 3000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4 3 cos ⁡ ϕ

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - cos 2 ⁡ ϕ = 16 9 cos 2 ⁡ ϕ

cos 2 ⁡ ϕ + 16 9 cos 2 ⁡ ϕ = 1