Circuitos RLC
Teoria
Introdução
A corrente em um circuito RL se comporta de maneira exponencial né?
E em um circuito RLC como será o comportamento da corrente? Bora descobrir?
Circuito LC
Ué? Mas não íamos falar sobre o circuito RLC?
Antes de falar no RLC vamos só dar um pincelada no circuito LC, que vai nos ajudar a entender alguns conceitos. Se liga na figura abaixo:
Onde é a indutância e é a capacitância.
Tendo em vista o comportamento da corrente, fazemos um análogo entre o circuito LC e o movimento oscilatório, vamos então começar analisando as energias envolvidas:
- A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é
- A energia armazenada no campo magnético do indutor é
Analogamente ao movimento oscilatório, a soma dessas energias é sempre constante:
Derivando temos:
Podemos substituir
E simplificar:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, e que possui a seguinte solução:
Derivando, podemos determinar a corrente:
E repare o seguinte, a corrente é uma função cosseno e o que isso mostra? Ao invés de corrente contínua como antes, daqui em diante temos uma corrente oscilatória conhecida como corrente alternada.
Dessa equação, vemos que a amplitude de corrente é , chegamos então na equação que nos interessa!
O gráfico da corrente vai ter no geral mais ou menos essa cara:
Fazendo algumas malandragens determinamos o valor da frequência de oscilação do circuito LC. E aqui não vale super apena trazer a dedução, vamos concentrar nossos esforços em lembrar da equação, beleza?
Beleza tratamos da carga e da corrente mas e a voltagem? Como a gente encontra a voltagem do indutor e do capacitor?
Pro indutor a voltagem é dada por:
E como temos a função da corrente é só derivar pro tempo:
Pela regra da cadeia, derivamos o de dentro e multiplicamos pela derivada do de fora, então:
E enfim temos:
E pro capacitor a gente pode lembrar o seguinte:
Passando o pro outro lado, temos:
Então integramos a corrente, mas a gente derivou a carga pra achar a corrente então nem precisamos fazer essa integral né!
A gente também pode escrever em função de
E aí passando o C pro outro lado temos a voltagem do capacitor.
É basicamente isso que precisamos saber sobre esse tipo de circuito.
Circuito RLC
Esse circuito, como o nome já diz, é composto por uma resistência, um indutor e um capacitor em série.
Aqui fica mais simples aplicar Kirchhoff (Regra das Malhas):
Escrevendo a corrente como
Temos:
Passando tudo que tem pra um lado e tudo que não tem pro outro temos:
Dividindo toda essa equação por , temos:
Como , podemos reescrever
Essa aqui é uma equação diferencial de segunda ordem e é muito parecida com a equação de um oscilador harmônico amortecido com uma força externa constante!
A solução dessa EDO é da forma
Onde é a solução homogênea e é a solução particular da EDO. A solução homogênea. Lembrando que a solução homogênea é aquela que satisfaz a EDO com o outro lado sendo zero, e a solução particular depende de um chute e tem alguns macetes pra chutar certo, no nosso caso o lado direito é constante então vamos chutar um valor constante também.
A gente acha a solução particular, , chutando ela! Aqui escolhi chutar a capacitância.
Assim
Substituindo na EDO
E a corrente pra essa carga será
Por que nesse caso a solução particular não depende do tempo. E como a solução particular da corrente deu zero, só teremos a solução homogênea pra ela.
Agora a solução homogênea, , é a solução da seguinte EDO:
Pra resolver esse negócio aí, a gente tem que usar teoria de resolução de EDO. Olha na nossa parte de cálculo que tá tópissimo lá ;)
Lá da teoria a gente cai numa equação auxiliar
Que é uma equaçãozinha do segundo grau. As raízes dela são
Aí temos 3 caso possíveis dependendo do valor de
Então bora analisar esses casos:
- , quando:
Para isso,
Esse é o caso chamado de regime supercrítico, onde temos duas raízes reais, e pra nossa equação auxiliar. A solução pra carga será
Se quisermos saber a corrente basta derivar no tempo
O gráfico pra essa corrente fica mais ou menos assim
Para isso,
Esse é o caso chamado de regime crítico, onde temos uma única raiz real, , pra nossa equação auxiliar.
A solução pra carga será
Se quisermos saber a corrente basta novamente derivar no tempo
O gráfico da corrente fica mais ou menos assim
Para isso,
Esse é o caso chamado de regime subcrítico, onde temos duas raízes complexas, e , pra nossa equação auxiliar. A gente escreve essas duas raízes como:
Onde, definimos
A solução pra carga será
E para saber a corrente, derivamos no tempo:
O gráfico da corrente no tempo é algo mais ou menos assim:
A gente falou de carga e da corrente mas para esses casos se a gente quiser encontrar a voltagem, podemos fazer para o capacitor:
E para o indutor:
Então, para o circuito RLC a corrente pode ter comportamentos diferentes dependendo de quanto vale , e e se não houvesse uma fonte nesse circuito as soluções seriam apenas homogêneas pois a EDO inicial seria assim:
Belezura? Vamos praticar então! \o/
Resumo Circuito RLC
Aqui vamos repassar o mais importante que é saber calcular a carga e a corrente para cada regime que depende de . A nossa equação auxiliar pra todos os casos é:
E o nosso é dado por:
O tem 3 situações possíveis:
Esse é o caso chamado de regime supercrítico, onde temos duas raízes reais, e e a solução da carga é:
E a corrente é:
Para isso:
Esse é o caso chamado de regime crítico, onde temos uma única raiz real, , pra nossa equação auxiliar.
A solução pra carga será
E pra corrente:
regime subcrítico, com duas raízes complexas, e , pra nossa equação auxiliar. As raízes são
Onde, definimos
A solução pra carga será
E a corrente tem solução:
Circuito RLC
Resumo Circuito RLC
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUCRIO – Física III – Prova 3 – 2015.1 – Questão nº2.
(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)
Uma bateria de constante é conectada a um indutor num circuito de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale . No instante em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função , calcule o valor da indutância .
Um capacitor inicialmente carregado com , é conectado a um indutor pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito de malha simples vale . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, .
O circuito oscilante da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale e, em , possui carga . O indutor, também em , possui energia e está sendo atravessado pela corrente com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima no capacitor.
(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use
Passo 1
Uma bateria de constante é conectada a um indutor num circuito de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale . No instante em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função , calcule o valor da indutância .
Em um circuito , a corrente varia com o tempo de acordo com a função:
Sabendo isso, o nosso trabalho aqui é comparar a função acima com a função dada pelo problema:
Daqui podemos tirar que:
Além disso:
Passo 2
Um capacitor inicialmente carregado com , é conectado a um indutor pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito de malha simples vale . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, .
Em um circuito , a carga varia com o tempo de acordo com a função:
Onde , lembrando que .
Então, logo de cara, já podemos calcular algumas coisas?
Substituindo esses caras na expressão de , teremos:
Para descobrir os valores de e , teremos que usar as condições iniciais do problema.
Passo 3
De acordo com o enunciado, e . Então vamos utilizar essas informações pra descobrir os valores de e , ok?
Além disso:
Utilizando a igualdade trigonométrica , teremos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Finalmente:
Voltando para a primeira condição de contorno, teremos: