Circuitos RLC

Teoria Completa

Introdução

A corrente em um circuito RL se comporta de maneira exponencial né?

E em um circuito RLC como será o comportamento da corrente? Bora descobrir?

Circuito LC

Ué? Mas não íamos falar sobre o circuito RLC?

Antes de falar no RLC vamos só dar um pincelada no circuito LC, porque o comportamento da corrente não é exponencial e sim senoidal nesse circuito. Se liga na figura abaixo:

Tendo em vista o comportamento da corrente, fazemos um análogo entre o circuito LC e o movimento oscilatório, vamos então começar analisando as energias envolvidas:

  • A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é U C = q 2 2 C
  • A energia armazenada no campo magnético do indutor é U L = L i 2 2

Analogamente ao movimento oscilatório, a soma dessas energias é sempre constante:

q 2 2 C + L i 2 2 = constante

Derivando temos:

q C ⋅ d q d t + L i ⋅ d i d t = 0

Podemos substituir

i = d q d t

E simplificar:

q C + L ⋅ d 2 q d t 2 = 0

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, e que possui a seguinte solução:

q = Q cos ⁡ ( ω d t + ϕ )

Derivando, podemos determinar a corrente:

i = - ω Q sen ⁡ ( ω d t + ϕ )

Dessa equação, vemos que a amplitude de corrente é I = ω Q , chegamos então na equação que nos interessa!

i = - I sen ⁡ ( ω d t + ϕ )

Fazendo algumas malandragens determinamos o valor de ω , não vale a pena colocar a demonstração aqui, então vou jogar o resultado aqui mesmo!

ω d = 1 L C

Essa é a frequência de oscilação do circuito LC.

É basicamente isso que precisamos saber sobre esse tipo de circuito.

Circuito RLC

Esse circuito, como o nome já diz, é composto por uma resistência, um indutor e um capacitor em série.

Aqui fica mais simples aplicar Kirchhoff (Regra das Malhas):

ε + ε r e s i s t o r + ε c a p a c i t o r + ε i n d u t o r = 0

ε - i R - q C - L d i d t = 0

Escrevendo a corrente como

i = d q d t

Temos:

ε - d q d t R - q C - L d 2 q d t 2 = 0

Passando tudo que tem q pra um lado e tudo que não tem pro outro e dividindo toda essa equação por L , temos:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = ε

Dividindo toda essa equação por L , temos:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = ε L

Como ω d 2 = 1 / L C , podemos reescrever

d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = ε L

Essa aqui é uma equação diferencial de segunda ordem e é muito parecida com a equação de um oscilador harmônico amortecido com uma força externa constante!

A solução dessa EDO é da forma

q t = q h t + q p ( t )

A gente acha a solução particular, q p ( t ) , chutando ela! Como do lado direito temos uma constante vamos chutar

q p = C

Assim

d q p d t = 0   ; d 2 q p d t 2 = 0

Substituindo na EDO

0 + R L 0 + ω d 2 C = ε L

C = ε L ω d 2

q p = ε L ω d 2 = ε L C L = ε C

E a corrente pra essa carga será

i p = d q p d t = 0

Por que nesse caso a solução particular não depende do tempo.

Agora a solução homogênea, q h ( t ) , é a solução da seguinte EDO:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = 0

Pra resolver esse negócio aí, a gente tem que usar teoria de resolução de EDO. Olha na nossa parte de cálculo que tá tópissimo lá ;)

Lá da teoria a gente cai numa equação auxiliar

r 2 + R L r + ω d 2 = 0

Que é uma equaçãozinha do segundo grau. As raízes dela são

r ± = - R L ± Δ   2 = - R L ± R L 2 - 4 ω d 2   2

Aí temos 3 caso possíveis dependendo do valor de Δ

Então bora analisar esses casos:

Δ = R L 2 - 4 ω d 2

  • Δ > 0
  • Para isso,

    R L 2 > 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime supercrítico, onde temos duas raízes reais, r 1 e r 2 pra nossa equação auxiliar. A solução pra carga será

    q h t = A e r 1 t + B e r 2 t

    Se quisermos saber a corrente basta derivar no tempo

    i h t = d q h d t t = r 1 A e r 1 t + r 2 A e r 2 t

    O gráfico pra essa corrente fica mais ou menos assim

  • Δ = 0
  • Para isso,

    R L 2 = 4 ω d 2

    Esse é o caso chamado de regime crítico, onde temos uma única raiz real, r , pra nossa equação auxiliar.

    r = - R 2 L

    A solução pra carga será

    q h t = A + B t e r t = A + B t e - R t / 2 L

    Se quisermos saber a corrente basta novamente derivar no tempo

    i h t = d q h d t t = r A + B t e r t + B e r t = - R 2 L A + B t e - R t / 2 L + B e - R t / 2 L

    O gráfico da corrente fica mais ou menos assim

  • Δ < 0

Para isso,

R L 2 < 4 ω d 2

Esse é o caso chamado de regime subcrítico, onde temos duas raízes complexas, r 1 e r 2 , pra nossa equação auxiliar. A gente escreve essas duas raízes como:

r 1 = - R 2 L + i ω

r 2 = - R 2 L - i ω

Onde, definimos

ω = 4 ω d 2 - R L 2

A solução pra carga será

q h t = e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t )

E para saber a corrente, derivamos no tempo:

i h t = d q h d t t = - R 2 L e - R 2 L t A c o s ( ω t ) + B s e n ( ω t ) + e - R 2 L t - A s e n ( ω t ) + B c o s ( ω t )

O gráfico da corrente no tempo é algo mais ou menos assim:

Então, para o circuito RLC a corrente pode ter comportamentos diferentes dependendo de quanto vale R , L e C .

Belezura? Vamos praticar então! \o/

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Exercício Resolvido #1

PUCRIO – Física III – Prova 3 – 2015.1 – Questão nº2.

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

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Passo 1

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0