Exercícios Resolvidos de Força de Arrasto

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Enunciado

A componente vertical da velocidade de aterrissagem de um paraquedas deve ser inferior a 6   m . s - 1 . A massa total do paraquedas com o paraquedista é 120   k g . Determine o mínimo diâmetro do paraquedas aberto.

Passo 1

Fala, galera! Vamos agora fazer um projeto e paraquedas, pra não cair de cara na prova. Ahah

Bom, antes de começarmos a calcular qualquer coisa do problema, precisamos entender bem a situação. O enunciado traz um sistema composto por paraquedista e seu paraquedas (cuja massa é conhecida e igual a m = 120   k g ).

Sabemos que na queda, além da força peso ( W ), também verificamos a força de arrasto ( F D ) causada pelo ar, como observamos abaixo:

Nessa situação, consideramos o paraquedas como um hemisfério (com extremidade aberta – côncava – para o escoamento), cujo diâmetro precisamos determinar.

Como a velocidade da queda é constante ( 6,0   m . s - 1 ), podemos considerar que o movimento é uniforme e, portanto, a soma das forças deve ser igual a zero.

Passo 2

Vamos, então, calcular as forças envolvidas! O peso ( W ) será igual a:

W = m . g

W = 120   k g . 9,81   m . s - 2

W = 1177,2   N

Já a força de arrasto ( F D ) é dada pela expressão:

F D = C D . 1 2 . ρ . V 2 . A

Para esse tipo de geometria, vemos na tabela que o coeficiente de arrasto ( C D ) é dado por:

C D = 1,42

Já sabemos a densidade do ar ( 1,2   k g . m - 3 ) e a velocidade ( 6,0   m . s - 1 ), logo a área é nossa única incógnita. Como as forças se anulam, podemos escrever que:

W = F D = C D . 1 2 . ρ . V 2 . A

Isolando a área:

A = F D C D . 1 2 . ρ . V 2

E substituindo essa galera:

A = 1177,2   N 1,42 . 1 2 . 1,2   k g . m - 3 . 6,0   m . s - 1 2

A = 38,4   m ²

OBS: Note que avaliar o sistema paraquedista-paraquedas em movimento descendente (pra baixo) no ar “parado” é equivalente a avaliar o sistema paraquedista-paraquedas parado e o ar em movimento ascendente (pra cima). Isso está atrelado ao conceito físico de velocidade relativa.

Passo 3

A escolha da área nesse momento é um ponto crucial. Qual área vamos utilizar?

Você poderia pensar o seguinte: “Bom, a área de um hemisfério é metade da área e uma esfera, então eu jogo essa expressão!”. Pois é, mas daria errado! Mas por quê?

A área que interessa é somente a área perpendicular ao escoamento. Esse pensamento é análogo ao que fazemos para calcular a pressão sobre uma área não-uniforme, nós só pegamos a componente normal à força.

Se considerássemos a componente paralela, estaríamos avaliando o movimento lateral do paraquedas, ou seja, se ele estaria indo para a esquerda ou direita. Como estamos interessados no movimento vertical (queda), só é importante pra gente a área da projeção ilustrada na imagem abaixo:

Temos que o diâmetro do círculo na projeção é o mesmo diâmetro do paraquedas. Portanto, podemos escrever:

A = π . D m í n 2 4

D m í n = 4 . 38,4   m 2 π

D m í n = 7,0   m

OBS: Sempre aproximaremos o diâmetro “para cima”, pois sabemos que mantidas as demais condições, quanto maior o diâmetro, maior será a área do paraquedas e, consequentemente, maior será a força de arrasto. Se fosse menor que esse diâmetro, observaríamos que: W > F D .

Resposta

D m í n = 7,0   m

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