Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional Envolvendo Integrais

Ver Teoria

Enunciado

Uma esfera homogênea de massa M está localizada próximo a uma barra fina e homogênea de massa m e comprimento L , como na Figura 11-31. Determine a força gravitacional de atração exercida pela esfera sobre a barra.

Passo 1

Começamos aqui usando a simetria da esfera para acumular toda a sua massa em seu centro, criando forças que variam somente com o inverso do quadrado da distância.

Se liga na imagem:

A expressão para f será:

f = G M d m x 2

Como a barra é homogênea:

λ = m L

E a relação entre d m e d l é dada por:

d m = λ d l

Passo 2

Então, para encontrarmos a força total, basta integrarmos:

F = ∫ a a + L G M λ x 2   d x

Logo:

F = G M m L   - 1 x | a a + L  

F = G M m L - 1 a + L - - 1 a

F = G M m L + a - a L a ( a + L )

Sabemos a direção e o sentido da força:

F → = - G M m L L a ( a + L )   i ^

F → = - G M m a ( a + L )   i ^

Resposta

F → = - G M m a ( a + L )   i ^

Exercícios de Livros Relacionados

Um fio homogêneo de massa M tem a forma de um anel circular de raio a . Calcule a força de atração gravitacional exercida pelo fio sobre uma partícula de massa m situada sobre o eixo (perpendicular ao
Um furo é feito da superfície da Terra até o seu centro, como na figura 11-30. Ignore a rotação da terra e a resistência do ar, e trate a Terra como uma esfera homogênea. (a) Qual é o trabalho necessá
Na Fig. 13-39, uma partícula de massa m 1 = 0,67 k g está a uma distância de 23 cm de uma das extremidades de uma barra homogênea de comprimento L = 3,0 m e massa M = 5,0 k g . Qual é o módulo da forç
Determine a energia potencial gravitacional da barra fina do Exemplo 11-8 e de uma partícula pontual de massa m 0 que está no eixo x em x = x 0 , onde x 0 ≥ 1 2 L . (a) Mostre que a energia potencial
Considere um fio retilíneo homogêneo de massa M e comprimento L e uma partícula de massa m alinhada com o fio, à distância D de uma extremidade. Mostre que a força de atração gravitacional exercida pe