Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional Envolvendo Integrais

UNICAMP-P1-2007- Q2

A figura abaixo representa um anel delgado de raio R e massa homogênea M e uma massa pontual m que está situada no eixo x que passa pelo centro do anel a uma distância a do mesmo. Dois elementos infinitesimais de massa d M do anel, diametralmente opostos, são ilustrados na figura.

(a) Calcule o módulo da força resultante gravitacional infinitesimal d F G que atua sobre a massa pontual m devido à presença das massas infinitesimais d M .

(b) Qual é o módulo da força gravitacional resultante F G sofrida pela massa pontual m devido, agora, à presença de todo o anel?

(c) Obtenha o módulo da força gravitacional F G para a = 0 e para a ≫ R .

Passo 1

(a)

Pela lei de Newton da Gravitação Universal cada massa d M exercerá uma força

d F G = G m d M r 2

As componentes x das forças se somam e as demais se cancelam. Então:

d F G = 2 G m d M R 2 + a 2 cos ⁡ θ = 2 G m d M R 2 + a 2 a R 2 + a 2 = 2 G m a d M R 2 + a 2 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Como o anel é homogêneo:

d M d l = M 2 π R

d M = M 2 π R d l

Onde d l é o comprimento de arco da massa d M . Assim, substituindo na equação do item anterior, temos:

F G = ∫ 2 G m a R 2 + a 2 3 2 M 2 π R d l = G M m a R 2 + a 2 3 2 1 π R ∫ 0 π R d l = G M m a R 2 + a 2 3 2  

Passo 3

(c)

Já temos o módulo de F G . Basta substituir o valor da distância até o centro do anel.

Para a = 0 , temos que F G = 0 .

E para a ≫ R , vamos ter F G = G M m a 2

Resposta

a)

d F G = 2 G m a d M R 2 + a 2 3 2

b)

F G = G M m a R 2 + a 2 3 2

c)

a = 0 ,     F G = 0

a ≫ R ,     F G = G M m a 2

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