Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional Envolvendo Integrais

UNICAMP-P1-2007- Q2

A figura abaixo representa um anel delgado de raio Equation e massa homogênea Equation e uma massa pontual Equation que está situada no eixo Equation que passa pelo centro do anel a uma distância Equation do mesmo. Dois elementos infinitesimais de massa Equation do anel, diametralmente opostos, são ilustrados na figura.

(a) Calcule o módulo da força resultante gravitacional infinitesimal Equation que atua sobre a massa pontual Equation devido à presença das massas infinitesimais Equation .

(b) Qual é o módulo da força gravitacional resultante Equation sofrida pela massa pontual Equation devido, agora, à presença de todo o anel?

(c) Obtenha o módulo da força gravitacional Equation para Equation e para Equation .

Passo 1

(a)

Pela lei de Newton da Gravitação Universal cada massa Equation exercerá uma força

Equation

As componentes Equation das forças se somam e as demais se cancelam. Então:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Como o anel é homogêneo:

Equation

Equation

Onde Equation é o comprimento de arco da massa Equation . Assim, substituindo na equação do item anterior, temos:

Equation

Passo 3

(c)

Já temos o módulo de Equation . Basta substituir o valor da distância até o centro do anel.

Para Equation , temos que Equation .

E para Equation , vamos ter Equation

Resposta

a)

Equation

b)

Equation

c)

Equation

Equation

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