Exercícios Resolvidos de Forma de Newton

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Enunciado

Encontre aproximações para f 2 , 5 usando polinômios interpoladores de Newton de graus 2 , 3 e 4 usando os dados abaixo:

Passo 1

Montamos a tabela de diferenças divididas:

Passo 2

Um polinômio de grau 2 requer 3 valores x i . Como queremos uma aproximação em x = 2 , 5 usamos:

x 0 = 2,2

x 1 = 2,4

x 2 = 2,6

E temos:

d 0 = 0,5207843

d 1 = - 0,051848

d 2 = - 0,23393125

Nosso p 2 x será:

p 2 x = 0,5207843 - 0,051848 x - 2,2 - 0,23393125 x - 2,2 x - 2,4

p 2 x = - 0,233931 x 2 + 1,02424 x - 0,600307

Aproximando no nosso ponto de interesse:

p 2 2,5 = 0,498224

Passo 3

Já um polinômio de grau 3 requer 4 valores x i . Então usamos:

x 0 = 2,2

x 1 = 2,4

x 2 = 2,6

x 3 = 2,8

E temos:

d 0 = 0,5207843

d 1 = - 0,051848

d 2 = - 0,23393125

d 3 = 0,04966667

Nosso p 3 x será:

p 3 x = 0,5207843 - 0,051848 x - 2,2 - 0,23393125 x - 2,2 x - 2,4 + 0,04966667 x - 2,2 x - 2,4 x - 2,6

p 3 x = 0,0496667 x 3 - 0,591531 x 2 + 1,88049 x - 1 , 28213

Aproximando no nosso ponto de interesse:

p 3 2,5 = 0,498 063

Passo 4

E por último, um polinômio de grau 4 requer 5 valores x i . Então usamos:

x 0 = 2

x 1 = 2,2

x 2 = 2,4

x 3 = 2,6

x 4 = 2,8

E temos:

d 0 = 0,5103757

d 1 = 0,052043

d 2 = - 0,2597275

d 3 = 0,04299375

d 4 = 0,008341146

Nosso p 4 x será:

p 4 x = 0,5103757 + 0,052043 x - 2 - 0,2597275 x - 2 x - 2 , 2 + 0,04299375 x - 2 x - 2 , 2 x - 2 , 4 + 0,008341146 x - 2 x - 2,2 x - 2,4 x - 2,6

p 4 x = 0.00834115 x 4 - 0.0337448 x 3 - 0.279572 x 2 + 1.36334 x - 0.961511

Aproximando no nosso ponto de interesse:

p 4 2,5 = 0,4980 7

Resposta

p 2 2,5 = 0,498224

p 3 2,5 = 0,498063

p 4 2,5 = 0,49807

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