Exercícios Resolvidos de Fórmula da Torção

Elaboração própria

A barra de madeira abaixo representa o eixo de giro de um moinho. Por problemas nas engrenagens uma das extremidades do eixo ficou presa. Sabendo que o eixo foi sujeito aos esforços torsores mostrados abaixo e que a resistência ao cisalhamento dessa barra (levando em consideração apenas esforços torsores) é de 25 Mpa, determine o raio máximo que a nossa barra poderá ter para que o eixo não rompa.

Passo 1

Podemos ver nessa questão que o nosso objetivo principal é determinar o valor do raio máximo, antes de qualquer coisa devemos analisar, pelo enunciado, que devemos apenas considerar os efeitos do esforço torsor, logo só usaremos a fórmula

τ = T   .   ρ J

Porém também sabemos que queremos o torque máximo, e para termos o torque máximo devemos fazer ρ = r pois para os efeitos do torsor os pontos mais extremos possuem os maiores cisalhantes.

τ m á x = T   .   r J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Outra coisa que precisamos calcular é o nosso momento polar de inercia ( J ). Aqui vale lembrar que o nosso momento polar de inercia é sempre da seção. Como no enunciado nos é dito que se trata de uma seção circular, usaremos como momento polar de inercia a equação

J = π . r 4 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que

τ m á x = T   .   r J

τ m á x = T   .   r π . r 4 2

τ m á x = 2 . T π . r 3

Passo 3

O que precisamos saber agora é que queremos o valor máximo do nosso raio sem que haja rompimento. Para garantirmos isso devemos fazer

τ m á x = τ a d m

Agora a única coisa que falta é determinarmos o torsor que está atuando na nossa peça.

Passo 4

Para determinarmos o torsor que está agindo na nossa peça, vamos ir trocando cada braço de alavanca pela ação de um torsor ligado a ele, com isso teremos que

Podemos ver que a barra de baixo dará a mesma contribuição da barra de cima

Colocando também as contribuições laterais teremos que

Logo podemos definir o nosso torsor como

T = 630   K N . m

Passo 5

Vamos resolver a nossa fórmula então

τ m á x = 2 . T π . r 3

Sabemos que

τ m á x = τ a d m = 25 M P a = 25000 K N m 2

T = 630   K N . m

Substituindo teremos que

25000 = 2   .   630 π . r 3

Isolando o valor de T teremos que

r 3 = 2   .   630 25000   .   π = 0,0160   m 3

r = 0,252 m = 252   m m

Resposta

r = 252 m m

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