Exercícios Resolvidos de Fórmula da Torção

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 137-5.30.

O eixo maciço tem conicidade linear de r A em uma extremidade e r B na outra extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo.

Dica do Expert: Se o seu professor/a sua professora não for do tipo que cobra:

  • Exercícios literais;
  • Ou exercícios com peças com formatos alternativos (como a peça desse exercício),

Sinta-se livre para pular para os próximos tópicos, que têm exercícios mais prováveis de cair em prova. 😉

Passo 1

O que está acontecendo?

Em uma seção qualquer do eixo, a tensão de cisalhamento máxima vai ser dada pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Sendo que, em todas as seções, o torque T vai ser o mesmo e o raio c das seções vai variar entre r A e r B , dependendo da posição x da seção que estiver sendo estudada.

Além disso, como o eixo é maciço, o seu momento polar de inércia vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma certa seção de posição x .

Então primeiro, temos que descrever o raio c de uma seção em função de sua posição x .

Em seguida, vamos substituir o que encontrarmos nas fórmulas da torção e do momento polar de inércia J .

Assim, vamos encontrar a tensão de cisalhamento máxima τ m á x em uma seção de posição x no eixo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar descrevendo o raio c de uma seção em função de sua posição x .

Para fazer isso, precisamos fazer um desenho observando como o raio das seções varia entre r A e r B ao longo do comprimento L do eixo do exercício:

Quase sempre que temos uma variável que varia linearmente, como é o caso do nosso raio c , uma das formas de descrever essa variável é fazendo uma semelhança de triângulos.

Então vamos tentar isso!

Os triângulos que existem nesse desenho são os triângulos que podem ser formados acima do raio r B :

Aplicando a semelhança de triângulos entre:

  • O triângulo menor, de base ( L - x ) e altura ( c - r B ) ;
  • E o triângulo maior, de base L e altura ( r A - r B ) ,

Temos que:

( L - x ) ( c - r B ) = L r A - r B

Passando os termos que estão dividindo para o outro lado, isso fica assim:

L - x r A - r B = L ( c - r B )

Em seguida, fazendo as distributivas, temos:

L r A - L r B - x r A + x r B = L c - L r B

Cortando - L r B dos dois lados e colocando r A e r B em evidência, temos que:

r A L - x + r B x = L c

Agora, como queremos definir o raio c , devemos isolá-lo.

Fazendo isso, encontramos que:

c = r A L - x + r B x L

Passo 3

Agora que já encontramos o raio c de uma seção qualquer de posição x , já podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nessa seção, que é o que o exercício quer!

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ M á x = T c J

Substituímos a fórmula para o momento de inércia polar J para um eixo maciço:

τ m á x = T c π 2 c 4

E simplificamos tudo, para encontrar que:

τ m á x = 2 T π c 3

Agora, só falta substituir a expressão que encontramos para c no passo anterior.

Fazendo isso, temos que:

τ m á x = 2 T π r A L - x + r B x L 3

Por fim, podemos deixar essa expressão mais bonita passando o L 3 para cima.

Fazendo isso, encontramos a nossa resposta final:

Resposta

τ m á x = 2 T L 3 π r A L - x + r B x 3

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