Exercícios Resolvidos de Fórmula da Torção

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 135-5.10.

O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 25   m m de diâmetro interno e parede de 5   m m de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600   N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal.

Passo 1

O que está acontecendo?

As forças F = 600   N geram, com braços l = 75   m m , um torque T de sentido anti-horário ( + ) no tubo vazado de alumínio.

Esse tubo tem um diâmetro interno d i n t = 25   m m e uma espessura de e = 5   m m .

Com isso, conseguimos concluir que:

1. O tubo tem um diâmetro externo d = d i n t + 2 e , e, consequentemente, um raio externo c :

c = d 2 = d i n t + 2 e 2 = 25   m m + 2 ( 5   m m ) 2 = 17,5   m m

& 2. O tubo tem um raio interno c i n t :

c i n t = d i n t 2 = 25   m m 2 = 12,5   m m

E o que é que o exercício quer saber?

Ele quer que a gente calcule a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no tubo quando as forças F = 600   N são aplicadas.

Para calcular essa tensão máxima, vamos usar a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Onde:

  • T é o torque resultante gerado pelas forças aplicadas;
  • & J é o momento de inércia polar do tubo vazado, que vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4 - c i n t 4

Além de tudo isso, o exercício também quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque T resultante no tubo.

Esse torque vai ser o somatório dos torques causados por cada força F = 600   N .

E como essas forças F possuem um braço l , o torque causado por elas vai ser igual à F * l .

Sendo assim, vamos ter que:

T = F * l + F * l

O que significa que:

T = 2 F l

Passo 3

Calculado o torque T resultante no tubo, podemos seguir para o cálculo da tensão de cisalhamento máxima τ m á x .

Para tanto, aplicamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Substituindo a expressão encontrada no Passo 2 para T e a fórmula indicada no Passo 1 para J , temos que:

τ m á x = 2 F l c π 2 c 4 - c i n t 4

E, arrumando tudo, isso fica assim:

τ m á x = 4 F l c π c 4 - c i n t 4

Com isso, só falta substituir os valores:

  • F = 600   N ;
  • l = 75   m m ;
  • c = 17,5   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

Para encontrarmos que:

τ m á x = 14,453   N / m m 2

Substituindo N / m m 2 por M P a e fornecendo o resultado final com três algarismos significativos, temos que:

τ m á x = 14,5   M P a

Passo 4

Por último, para finalizar o exercício, vamos fazer o esboço da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal do tubo.

Sabendo que essa distribuição varia linearmente:

  • Desde 0 no ponto central do tubo;
  • Até τ m á x = 14,5   M P a na superfície externa do tubo,

Esse esboço fica assim:

Agora, esse esboço está incompleto porque a gente não sabe qual o valor da tensão τ na superfície interna do tubo vazado.

Para calcular a tensão τ em uma região de raio ρ de um eixo, podemos usar a fórmula:

τ = ρ c τ m á x

(Lembra? Essa fórmula pode ser obtida combinando as fórmulas τ m á x = T c / J e τ = T ρ / J .)

Substituindo ρ = c i n t = 12,5   m m , c = 17,5   m m e τ m á x = 14,453   M P a , conseguimos definir o valor da tensão τ na superfície interna:

τ = c i n t c τ m á x = 12,5 17,5 14,453   M P a = 10,3   M P a

Dessa forma, o nosso esboço final fica assim:

Resposta

τ m á x = 14,5   M P a

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