Exercícios Resolvidos de Fórmula da Torção

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 165-3.7.

O sistema da figura é constituído por um eixo de seção transversal cheia A B e com uma tensão de cisalhamento admissível de 82,7   M P a , e por um tubo C D feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48,3   M P a .

Determine ( a ) o maior torque T que pode ser aplicado em A , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo C D seja excedida e ( b ) o valor correspondente necessário para o diâmetro d do eixo A B .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo maciço A B possui uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m A B = 82,7   M P a e um raio c = d / 2 , onde d é o seu diâmetro.

Já o tubo C D tem:

  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m C D = 48,3   M P a ;
  • Um diâmetro externo de 76   m m , e, consequentemente, um raio externo c e x t = 76   m m / 2 = 38   m m ;
  • Uma espessura t = 6,4   m m ;
  • E um raio interno c i n t = c e x t - t = 38   m m - 6,4   m m = 31,6   m m .

Eles estão submetidos a um torque T .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber o maior torque T que pode ser aplicado sem que a tensão de cisalhamento do tubo C D seja excedida.

Ou seja, ele quer saber o maior torque T que ainda gera, no tubo C D , uma tensão máxima τ m á x C D que satisfaça a condição:

τ m á x C D ≤ τ a d m C D

Então podemos usar essa condição e desenvolvê-la usando a fórmula da torção ( τ m á x = T c / J ) para encontrar o torque máximo T .

Já no item ( b ) , ele quer saber o diâmetro d necessário para o eixo A B para que ele suporte o torque T encontrado no item anterior.

Para encontrar esse diâmetro, vamos aplicar a mesma condição que usamos com o tubo C D para o eixo A B :

τ m á x A B ≤ τ a d m A B

Mas dessa vez, vamos desenvolver essa condição com o objetivo de encontrar o diâmetro d mínimo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item ( a ) !

Para o tubo C D , temos que:

τ m á x C D ≤ τ a d m C D

Aqui, a tensão máxima τ m á x C D pode ser descrita pela fórmula da torção:

τ m á x = T c J

No caso do tubo C D , definimos o raio externo c como c e x t .

Então a fórmula da torção aplicada para o tubo C D fica assim:

τ m á x C D = T c e x t J C D

Substituindo isso na condição de projeto, temos que:

T c e x t J C D ≤ τ a d m C D

E isolando o torque aplicado T , encontramos que:

T ≤ τ a d m C D * J C D c e x t

Além disso, para o tubo C D , que possui um raio interno c i n t e um raio externo c e x t , o momento de inércia polar J C D vai ser dado pela fórmula:

J C D = π 2 c e x t 4 - c i n t 4

Dessa forma, a nossa expressão anterior fica assim:

T ≤ τ a d m C D * π c e x t 4 - c i n t 4 2 c e x t

Finalmente, substituindo os valores:

  • τ a d m C D = 48,3   M P a = 48,3   N / m m 2 ;
  • c e x t = 38   m m ;
  • & c i n t = 31,6   m m ,

Encontramos que:

T ≤ 2172290   N * m m

Como esse número é muito grande, reescrevemos ele em k N * m :

T ≤ 2,17   k N * m

Ou seja, o maior torque T que pode ser aplicado em A , sem que a tensão de cisalhamento admissível do material do tubo C D seja excedida, é:

T = 2,17   k N * m

Passo 3

Agora, resolvemos o item ( b ) .

Para o eixo maciço A B , temos que:

τ m á x A B ≤ τ a d m A B

Agora, aplicando a fórmula da torção para o eixo A B , temos que:

τ m á x A B = T c J A B

Dessa forma, a nossa condição anterior fica assim:

T c J A B ≤ τ a d m A B

Aqui, temos que o momento polar de inércia J A B do eixo maciço A B de raio c vai ser dado pela fórmula:

J A B = π 2 c 4

Então podemos substituir isso na nossa expressão anterior para encontrar que:

T c π 2 c 4 ≤ τ a d m A B

Arrumando tudo, isso fica assim:

2 T π c 3 ≤ τ a d m A B

E, aqui, ainda podemos fazer mais uma substituição, que é a de que o raio c do eixo é igual à metade do seu diâmetro d .

Fazendo isso, temos que:

2 T π d 2 3 ≤ τ a d m A B

E, mais uma vez, arrumando tudo, temos:

16 T π d 3 ≤ τ a d m A B

Como queremos encontrar o diâmetro d mínimo, devemos isolá-lo:

16 T π τ a d m A B ≤ d 3

Espelhando essa expressão e fazendo a raiz cúbica, temos que:

d ≥ 16 T π τ a d m A B 3

Finalmente, substituindo:

  • T = 2172290   N * m m ;
  • τ a d m A B = 82,7   M P a = 82,7   N / m m 2 ,

Encontramos que:

d ≥ 51,1   m m

Ou seja, o valor necessário para o diâmetro d do eixo A B correspondente ao torque T encontrado no item ( a ) é:

d = 51,1   m m

E assim terminamos o exercício!

Resposta

a   T = 2 , 17   k N * m

&

b   d = 5 1,1   m m

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