Exercícios Resolvidos de Fórmula da Torção

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 134-5.1.

Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a . Se o diâmetro do eixo for 37,5   m m , determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T ’ se fosse feito um furo de 25   m m de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício quer que a gente estude dois eixos com um diâmetro de 37,5   m m : um maciço e um vazado, com um diâmetro interno de 25   m m .

Sendo assim, esses eixos vão ter:

  • Um raio externo c = 37,5   m m / 2 = 18,75   m m ;
  • E um raio interno c i n t = 12,5   m m , no caso do eixo vazado.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual são os torques máximos T e T ' que podem ser transmitidos pelos eixos maciço e vazado, respectivamente.

Esses torques máximos vão ser os torques que vão gerar, de acordo com a fórmula da torção...

τ = T c J

...uma tensão de cisalhamento τ nos eixos igual à tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a .

Dessa forma, podemos aplicar as condições...

τ = τ a d m  para o eixo maciço

&

τ ' = τ a d m  para o eixo vazado

...e desenvolver essas expressões para encontrar os torques máximos T e T ' .

Além disso, o exercício ainda quer que a gente esboce a distribuição da tensão de cisalhamento τ ao longo de uma linha radial em cada eixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do torque máximo T no eixo maciço.

Começamos aplicando a condição:

τ = τ a d m

E substituindo a fórmula da torção:

T c J = τ a d m

Em seguida, isolamos T para encontrar que:

T = τ a d m J c

Agora, para calcular o torque máximo T , vamos ter que conhecer o momento de inércia polar J da seção transversal do nosso eixo.

Então lembra aí!

Para um eixo maciço de raio c , a fórmula desse momento de inércia polar J é:

J = π 2 c 4

Com isso, o nosso torque máximo fica assim:

T = τ a d m π 2 c 4 c

Simplificando tudo, encontramos que:

T = τ a d m π c 3 2

Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • & c = 18,75   m m ,
  • temos que:

    T = 84   N / m m 2 π 18,75   m m 3 2

    O que dá:

    T = 869767   N * m m

    Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

    T = 0,87   k N * m

    Passo 3

    Em seguida, vamos fazer o cálculo do torque máximo T ' no eixo vazado.

    Mais uma vez, começamos aplicando a condição:

    τ ' = τ a d m

    E substituindo a fórmula da torção:

    T ' c J ' = τ a d m

    Isolando T ' , encontramos que:

    T ' = τ a d m J ' c

    E... Lembra aí!

    O momento de inércia polar J ' de um eixo vazado de raio externo c e raio interno c i n t é dado pela fórmula:

    J ' = π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

    Dessa forma, o nosso torque máximo T ' fica assim:

    T ' = τ a d m π 2 ( c 4 - c i n t 4 ) c

    E, simplificando tudo, isso fica assim:

    T ' = τ a d m π c 4 - c i n t 4 2 c

    Finalmente, substituindo:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

T ' = 697961   N * m m

Como esse resultado é muito grande, podemos reescrevê-lo em k N * m :

T ' = 0 , 70   k N * m

Passo 3

Por fim, vamos esboçar as distribuições da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada eixo.

Então vamos nos lembrar do que vimos na teoria...

Essa distribuição é linear, variando desde 0 no centro dos eixos até τ m á x (que vai ser igual à τ a d m = 84   M P a nos nossos casos) na superfície externa dos eixos:

Agora, para completar esses esboços, só precisamos calcular qual é a tensão τ ' na superfície interna do eixo vazado.

Para isso, usamos a fórmula da torção em sua versão geral, que fornece a tensão τ ' em um ponto distante um raio ρ do centro do eixo:

τ ' = T ' ρ J '

No nosso caso, queremos saber a tensão na superfície interna do eixo vazado, onde ρ = c i n t , e temos que J ' = ( π / 2 ) ( c 4 - c i n t 4 ) .

Então essa fórmula fica assim:

τ ' = T ' c i n t π 2 ( c 4 - c i n t 4 )

Por fim, substituindo:

  • T ' = 697961   N * m m ;
  • c = 18,75   m m ;
  • & c i n t = 12,5   m m ,

encontramos que:

τ ' = 56   N / m m 2 = 56   M P a

Com isso, os nossos esboços ficam assim:

E assim terminamos o exercício!

Resposta

a )   T = 0,87   k N * m

&

b )   T ' = 0,70   k N * m

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