Exercícios Resolvidos de Impulso e Quantidade de Movimento Angular

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Enunciado

01) Um carretel de massa M , de centro B e raios R   (externo) e r (interno) está articulado a uma barra A B de massa m e comprimento L = 2 R , conforme indicado na figura. Mediante a aplicação de uma força F (constante) a um cabo inextensível e de massa desprezível enrolado ao carretel, faz-se com que este role sem deslizar sobre um plano horizontal, arrastando consigo a barra A B . A polia de centro D tem massa desprezível e o coeficiente de atrito entre as superfícies da barra A B e do plano horizontal é μ . C   é o ponto de contato do carretel com o plano horizontal. O momento de inércia do carretel em relação ao eixo B z é dado: J B z = J . Pede-se:

a) desenhar os diagramas de corpo livre do carretel e da barra;

b) determinar o momento de inércia do carretel em relação ao eixo C z ;

c) expressar as acelerações do baricentro da barra e do baricentro do carretel em função da aceleração angular do carretel;

d) escrever as equações dos teoremas do movimento do baricentro (TMB) e do momento da quantidade de movimento (TMQM ou TQMA, se se utilizar a terminologia ‘Teorema da Quantidade de Movimento Angular) para o carretel e para a barra.

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um carretel, com uma barra articulada, em uma de suas extremidades, no seu centro. A esse carretel passa-se um fio em sua região interna e traciona-se esse fio com uma força F , gerando o movimento do conjunto.

a) Pra começar, devemos desenhar os diagramas de corpo livre D C L do carretel e da barra.

O bizu pra desenhar DCL é sempre começar identificando as forças que agem no corpo.

Iniciando pelo nosso carretel, temos a força F do fio, o Peso agindo em B , as reações em i → e em j → da articulação em B . No ponto de contato C , como é falado que o disco rola sem deslizar também há uma força de atrito, além da normal de contato. Daí, podemos desenhar:

Muito bomm!

Pensando na barra A B , temos também as reações da articulação em B (e aqui pelo equilíbrio do nó B, essas reações são iguais a H B e V B mas com sentido oposto ao desenhado no DCL do disco).

Além disso, também atua o Peso da barra no seu centro G , e as reações de contato da barra com a superfície. Logo:

Bouaaa!

Passo 2

b) Devemos determinar o momento de inércia do carretel em relação ao eixo C z .

Beleza! O enunciado até nos falou o momento de inércia em relação ao centro do carretel, J B Z . Mas, como fazemos pra calcular o momento de inércia em relação a outro ponto?

Hahaha! Temos que usar o Teorema dos Eixos paralelos pessoal. Basicamente, ele diz que:

J C Z = J B Z + M d B , C 2

Como a distância entre B   e C é justamente o raio R , e J B Z = J , vem:

J C Z = J + M R 2

Prontinho 😊

Passo 3

c) Aqui devemos determinar a aceleração do baricentro da barra, ou seja, do ponto G e do baricentro do carretel, ou seja, do ponto B , em função da aceleração angular do carretel, ω ˙ , Sacaram?

Vamos começar pelo carretel! Beleza, sabemos a velocidade angular dele vale ω ˙ , mas o que podemos usar pra encontrar a velocidade do ponto B ?

Nesses problemas de carretel (ou disco) a gente sempre ter que ficar ligado no rolamento que tá acontecendo.

Se vier uma informação tipo “o carretel rola sem deslizar, que é o caso dessa questão, já podemos afirmar que a velocidade do ponto de contato é nula e que, ainda mais, esse ponto é um Centro instantâneo de rotação (CIR).

Portanto:

v → C = 0

Como ele também é um CIR no instante considerado, é como se todos os pontos do carretel (inclusive B ) estivessem rotacionando em volta dele. Daí:

v B = ω R

Daí, derivando em relação ao tempo, temos:

a B = d v B d t

⇒ a B = ω ˙ R

Show!! Pensando na barra, temos um vínculo geométrico interessante.

Como a barra está articulada ao ponto B , e o único movimento que ela realiza é o de translação (devido justamente à translação do carretel), ela deve transladar com a mesma aceleração de translação do carretel, ou seja, a B .

Logo:

a B =   a G

∴ a G = ω ˙ R

Bouaaa!

Passo 4

d) Pra finalizar, vem a parte mais trabalhosa ☹

Devemos escrever as expressões do TMB e do TQMA para o carretel e para a barra.

Vamos começar aplicando o TMB para a barra:

O TMB é basicamente a 2 ° lei de Newton considerando que toda a massa do corpo se concentra no baricentro. Daí, temos:

H B - H A = m a G V B + V A - m g = 0

Lembrando que, como H A é uma força de atrito, vale H A = μ V A .

Aplicando o TMB para o carretel, teremos:

F - H B - H C = M a B V C - V B - M g = 0

Perfeito! Vamos pensar agora no TQMA.

Para a barra A B , como ela não está rotacionando temos ω ˙ A B = 0 . Daí, escolhendo A como polo, vem:

M → A = 0

⇒   m g ⋅ L 2 c o s α - V B ⋅ L c o s α + H B ⋅ L s e n α = 0

Top! Pra finalizar, escrevendo o TQMA com polo em B , temos:

J B Z ω ˙ k → = M → B

⇒ J ω ˙ = F ⋅ r + H C ⋅ R

Prontinho! Temos então um sistema de 6   equações e 6 variáveis ( F ,   H B , H C ,   V C ,   V B ,   H A ) .

É isso aí galera! Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😊

Resposta

a) Resolução no texto.

b) J C Z = J + M R 2

c)

a B = ω ˙ R

a G = ω ˙ R

d) Resolução no texto.

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