Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Para o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da curva elástica para a viga A B ; (b) a deflexão da extremidade livre; (c) a declividade da extremidade livre. Assuma E I constante.

Passo 1

Fala, galerinha!!! Aqui o problema nos fornece uma viga engastada em B e livre em A e submetida a um carregamento triangular conforme mostrado. Como existe um carregamento distribuído a gente pode utilizar direto a equação que relaciona carregamento com deflexão:

d 4 y d x 4 = - w E I

Dessa forma o mais importante para a gente agora é encontrar a função que define o carregamento e definir o sentido do eixo x .

Passo 2

Primeiro vamos definir o sentido do eixo x , essa parte é muito importante ok? A nossa questão até já deixou meio indicado mas vou mostrar para vocês qual foi adotado:

Ou seja, vamos varrer nossa viga da esquerda para a direita.

Para definir a função do carregamento w ( x ) a gente só precisa lembrar que essa é uma função linear que se inicia no ponto ( 0,0 ) e termina em ( L , w 0 ) , com isso vamos obter:

w x = w 0 L x

Perceba que o valor de w L 2 é, por exemplo:

w L 2 = w 0 L L 2 = w 0 2

Faz sentido né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral:

d 4 y d x 4 = - w E I

Substituindo

d 4 y d x 4 = - w 0 L x E I

Integrando a primeira vez:

∫ d 4 y d x 4   d x = ∫ - w 0 L x E I   d x

d 3 y d x 3 = - 1 E I w 0 2 L x 2 + C 1

Se escrevermos da seguinte forma vamos ter o valor da força cortante:

E I . d 3 y d x 3 = - w 0 2 L x 2 + C 1

V ( x ) = - w 0 2 L x 2 + C 1

Com isso podemos achar o valor da constante C 1 pois a força cortante no ponto x = 0 é zero. Logo,

0 = - w 0 2 L 0 2 + C 1

C 1 = 0

Passo 4

Continuando a resolução da equação e fazendo a segunda integral:

E I . d 3 y d x 3 = - w 0 2 L x 2

∫ E I . d 3 y d x 3   d x = ∫ - w 0 2 L x 2   d x

E vamos obter:

E I . d 2 y d x 2 = - w 0 6 L x 3 + C 2

Novamente vamos poder escrever como algo que conhecemos que é o momento fletor:

M ( x ) = - w 0 6 L x 3 + C 2

E novamente o momento fletor em x = 0 é igual a zero, logo:

0 = - w 0 6 L ( 0 ) 3 + C 2

C 2 = 0

Passo 5

Agora vamos integrar pela terceira vez:

E I . d 2 y d x 2 = - w 0 6 L x 3

∫ E I . d 2 y d x 2   d x = ∫ - w 0 6 L x 3   d x

E I . d y d x = - w 0 24 L x 4 + C 3

Agora a gente tem que lembrar que o termo d y / d x é igual à angulação θ . Assim, podemos escrever:

E I . θ = - w 0 24 L x 4 + C 3

Não sabemos qual a angulação da extremidade livre, mas sabemos qual é a angulação da extremidade engastada (que é zero). Logo podemos substituir θ = 0 e x = L :

E I . 0 = - w 0 24 L ( L ) 4 + C 3

C 3 = w 0 24 L 3

Como o problema também pede a inclinação na extremidade livre podemos fazer x = 0 e obter:

E I . θ = - w 0 24 L ( 0 ) 4 + w 0 24 L 3

θ = w 0 24 . E I L 3

Passo 6

Agora vamos para a nossa quarta e última integral:

E I . d y d x = - w 0 24 L x 4 + w 0 24 L 3

∫ E I . d y d x   d x = ∫ - w 0 24 L x 4 + w 0 24 L 3   d x

E finalmente achamos a equação da linha elástica:

E I . y x = - w 0 x 5 120 L + w 0 L 3 24 x + C 4

Mas ainda falta achar o valor de C 4 e para isso utilizamos o valor da deflexão no engaste, que é zero. Logo:

E I . 0 = - w 0 L 5 120 L + w 0 L 3 24 ( L ) + C 4

C 4 = w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

E finalmente obtemos a equação da linha elástica:

y x = 1 E I - w 0 x 5 120 L + w 0 L 3 24 x + w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

Para achar a deflexão na extremidade livre é só substituir x = 0

y 0 = 1 E I - w 0 0 5 120 L + w 0 L 3 24 0 + w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

y = 1 E I w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

Pronto! Problema resolvido =D

Resposta

a)

y x = 1 E I - w 0 x 5 120 L + w 0 L 3 24 x + w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

b)

y = 1 E I w 0 L 4 120 - w 0 L 4 24

c)

θ = w 0 24 . E I L 3

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em B ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .
Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade B . Usar E = 200G P a