Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x 1 e x 2 e especifique a inclinação em A . E I é constante.

Passo 1

Pessoal, nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica y e a inclinação em A , θ = d y / d x . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:

d 2 y d x 2 = M E I

E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga =D

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Como só temos uma força em x vamos ter:

A x = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + B y = 0

A y + B y = 0

Para o momento sendo aplicado em A e considerando positivo o sentido horário vamos ter:

∑ M A = 0

- B y × L + M 0 = 0

B y = M 0 L

Da equação em y a gente pode achar que:

A y = - B y = - M 0 L

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor. Desenhando o corte da primeira seção vamos ter:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

A y - V = 0

V = A y = - M 0 L

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

V x - M = 0

M = V x = - M 0 L x

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = - M 0 L x E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - M 0 L x E I   d x

d y d x = 1 E I - M 0 x 2 2 L + C 1

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I - M 0 x 2 2 L + C 1   d x

y = 1 E I - M 0 x 3 6 L + C 1 x + C 2

Agora temos de utilizar as condições de contorno para obter C 1 e C 2 .

Passo 5

Lembrando que as condições são as seguintes:

Ao aplicar essas condições no pino ( x = 0 ) vamos ter um y = 0 :

0 = 1 E I - M 0 0 3 6 L + C 1 0 + C 2

Logo,

C 2 = 0

Portanto a equação fica da forma:

y = 1 E I - M 0 x 3 6 L + C 1 x

Agora vamos aplicar na rótula em B onde x = L , nesse ponto a deflexão também é zero, logo:

0 = 1 E I - M 0 L 3 6 L + C 1 L

C 1 = M 0 L 6

Então a equação da linha elástica é igual a:

y = 1 E I - M 0 x 3 6 L + M 0 L 6 x

Que pode ser escrita como:

y = M 0 x 6 E I L - x 2 + L 2

Passo 6

Para achar a inclinação em A basta utilizar a equação da inclinação θ lembrando que θ = d y / d x :

d y d x = 1 E I - M 0 x 2 2 L + C 1

θ = 1 E I - M 0 x 2 2 L + M 0 L 6

Em A x = 0 então vamos ter:

θ = 1 E I - M 0 0 2 2 L + M 0 L 6

θ = M 0 L 6 E I

Passo 7

O problema também pediu para acharmos a equação da linha elástica ao lado direito da rótula. Isso faz sentido porque a equação que achamos é válida apenas para o trecho entre o pino e a rótula.

Para fazer isso vamos desenhar um corte dessa seção:

Olhando esse desenho prodemos perceber que existe apenas uma força, logo ela é nula. Assim

V = 0

Com relação aos momentos, para que o corpo permaneça em equilíbrio ele deve ter os momentos iguais em módulo mas sentido opostos:

M = - M 0

Tranquilo né? O momento fletor desse trecho é igual ao próprio momento puro aplicado M 0 só que no sentido oposto.

Passo 8

Agora é só utilizar a equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

d 2 y d x 2 = - M 0 E I

Derivando uma vez vamos ter:

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - M 0 E I   d x

d y d x = 1 E I [ - M 0 x + C 3 ]

Derivando novamente:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I [ - M 0 x + C 3 ]   d x

y = 1 E I - M 0 x 2 2 + C 3 x + C 4

Agora só precisamos achar as contantes.

Passo 9

Deste lado da viga temos apenas uma condição de contorno. A condição de que não há deflexão no ponto B onde x 2 = L sendo assim:

0 = 1 E I - M 0 L 2 2 + C 3 L + C 4

Mas ainda temos duas incógnitas e uma equação, então como vamos proceder?

Na verdade temos mais uma condição de contorno sim, só que está implícita num princípio da continuidade.

Ou seja, se calcularmos a inclinação em B por meio da seção esquerda da viga, essa inclinação deve ser igual à calculada pelo lado direito!!

Sendo assim vamos ter, do lado esquerdo:

d y d x = θ = 1 E I - M 0 x 1 2 2 L + C 1

Lembrando que C 1 = M 0 L 6 e substituindo os valores de x 1 = L vamos obter:

θ = 1 E I - M 0 x 1 2 2 L + M 0 L 6

θ = 1 E I - M 0 L 2 2 L + M 0 L 6

θ = 1 E I - M 0 L 2 + M 0 L 6

θ = 1 E I - M 0 L 3

Agora se fizermos para a seção do lado direito:

d y d x = θ = 1 E I [ - M 0 x 2 + C 3 ]

Substituindo x 2 = L

θ = 1 E I [ - M 0 L + C 3 ]

Como os dois valores de θ são iguais:

1 E I - M 0 L 3 = 1 E I [ - M 0 L + C 3 ]

- M 0 L 3 = [ - M 0 L + C 3 ]

C 3 = 2 M 0 L 3

Agora podemos substituir lá na equação:

0 = 1 E I - M 0 L 2 2 + C 3 L + C 4

0 = 1 E I - M 0 L 2 2 + 2 M 0 L 3 L + C 4

0 = 1 E I - M 0 L 2 2 + 2 M 0 L 2 3 + C 4

C 4 = - M 0 L 2 6

Finalmente podemos substituir na equação da linha elástica:

y = 1 E I - M 0 x 2 2 + C 3 x + C 4

y = 1 E I - M 0 x 2 2 + 2 M 0 L 3 x - M 0 L 2 6

y = M 0 6 E I - 3 x 2 + 4 L x - L 2

É possível até verificar substituindo x = L e verificando que y = 0 =D

Resposta

y = M 0 x 6 E I L - x 2 + L 2

θ = M 0 L 6 E I

y = M 0 6 E I - 3 x 2 + 4 L x - L 2

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