Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Sabendo-se que a viga A B é um perfil laminado de aço W 130 × 23,8 e que P = 50   k N , L = 9   m e E = 200   G P a , determinar a declividade em A .

Passo 1

Essa questão é bem direta e pede para a gente achar a linha elástica. A gente só tem que achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Neste exercício é pedido apenas a equação linha estática à esquerda da força P (perceba a direção de x ).

A diferença aqui é que no final vamos substituir os valores para achar um resultado numérico ao invés de um resultado estilo “sopa de letrinhas”.

Passo 2

Galera, como o foco da aula é a linha elástica eu já vou colocar aqui para vocês o resultado das reações e do momento fletor:

Então a equação do momento fletor pode ser dividida em três partes e será:

  • Para 0 < x ≤ 3
  • M x = 50 x

  • Para 3 < x ≤ 6
  • M x = 150

  • Para 6 < x ≤ 9
  • M x = 150 - 50 ( x - 6 )

    Passo 3

    Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

    d 2 y d x 2 = M E I

    Pessoal! Como a gente quer só a declividade em A podemos pegar apenas a primeira parte:

  • Para 0 < x ≤ 3
  • M x = 50 x

    Substituindo M :

    d 2 y d x 2 = 50 x E I

    Agora vamos integrar em x :

    ∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ 50 x E I   d x

    d y d x = 1 E I 25 x 2 + C 1

    Show de bola! Essa vai ser a equação da nossa angulação, mas a gente ainda precisa encontrar o valor de C 1 , vamos fazer isso utilizando a seção do meio.

    Passo 4

    Para a seção do meio nós vamos ter:

    d 2 y d x 2 = M E I

  • Para 3 < x ≤ 6

M x = 150

Substituindo na equação:

d 2 y d x 2 = 150 E I

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ 150 E I   d x

d y d x = 150 x E I + C 2

Agora temos a equação da angulação para a seção do meio, e por que fizemos isso? Porque agora podemos achar o valor de C 2 , já que sabemos que a inclinação exatamente na metade é igual a zero (porque a viga é simétrica)!

Assim, vamos ter:

0 = 150.4,5 E I + C 2

C 2 = - 675 E I

Passo 3

Mas a gente não quer a inclinação em A ? Então vamos igualar a equação da primeira parte e da segunda parte no ponto onde elas devem ser necessariamente iguais, em x = 3 !!

Primeira parte:

d y d x = 1 E I 25 x 2 + C 1

Segunda parte:

d y d x = 150 x E I - 675 E I

Igualando as duas em x = 3   m :

1 E I 25 ( 3 ) 2 + C 1 = 150 ( 3 ) E I - 675 E I

C 1 = - 450

Agora é só substituir na equação da primeira parte:

d y d x = 1 E I 25 x 2 - 450

Passo 4

Com isso vamos ter:

θ = 1 E I 25 x 2 - 450

Como queremos em x = 0

θ = - 450 E I

E substituindo o valor de E = 200   G P a fornecido no problema e I = 8,87.10 - 6   m 4 fornecido nas tabelas de perfis de abas largas, vamos ter:

θ = - 450   k N . m 2 ( 200   G P a ) ( 8,87.10 - 6   m 4 )

θ A = - 0,253   r a d

Resposta

θ A = - 0,253   r a d

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em B ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .
Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade B . Usar E = 200G P a