Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada x válida para 0 ≤ x ≤ L / 2 . Especifique a inclinação em A e a flexão máxima da viga. E I é constante.

Passo 1

Galera essa questão é bem direta e pede para a gente achar a linha elástica. A gente só tem que achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Neste exercício é pedido apenas a equação linha estática à esquerda da força P (perceba a direção de x ).

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ M = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + B y = 0

A y + B y = P

Pessoal, como se trata de um problema simétrico nem precisamos aplicar o somatório dos momentos já que as forças A y e B y serão iguais! Sendo assim,

A y = B y = P 2

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, lembrando que precisamos apenas da metade esquerda. Logo, podemos desenhar o seguinte corte:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

A y - V = 0

V = A y = P 2

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

V x - M = 0

M = V x = P x 2

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P x 2 E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P x 2 E I   d x

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 + C 1

Mas pessoal, se liga na sacada mestre!!!

Como temos um problema simétrico, então no ponto central da viga vamos ter que θ , a inclinação, vale zero!!

Sendo assim podemos substituir na equação acima para achar C 1 :

d y d x = θ = 0

0 = 1 2 E I P ( L / 2 ) 2 2 + C 1

C 1 = - P L 2 8

Então temos:

d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

E podemos integrar novamente para achar y :

∫ d y d x   d x = ∫ 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8   d x

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

Agora vamos utilizar as condições de contorno para achar as contantes, olhando a nossa tabelinha a gente percebe que temos de utilizar as seguintes condições:

y p i n o = 0

Como o pino se encontra em x = 0 é só substituir e achar:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x + C 2

0 = 1 2 E I P 0 3 6 + - P L 2 8 0 + C 2

Logo,

C 2 = 0

Então a equação que temos é a seguinte:

y = 1 2 E I P x 3 6 + - P L 2 8 x

Que pode ser expressa como:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Já temos a primeira parte do problema que é a linha elástica.

Passo 5

Agora vamos calcular a inclinação em A , como a inclinação é dada pela equação:

θ = d y d x = 1 2 E I P x 2 2 - P L 2 8

É só substituir x = 0

θ = 1 2 E I P 0 2 2 - P L 2 8

θ A = - P L 2 16 E I

A deflexão máxima ocorre no ponto central (pelo motivo de simetria) e vai ser dada por:

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

Substituindo x = L / 2

y = P L 2 48 E I 4 L 2 2 - 3 L 2

y m á x = P L 96 E I ( L 2 - 3 L 2 )

y m á x = - P L 3 48 E I

Resposta

y = P x 48 E I 4 x 2 - 3 L 2

θ A = - P L 2 16 E I

y m á x = - P L 3 48 E I

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