Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Uma viga engastada está sujeita a uma força P conforme o desenho abaixo. Considerando E I constante encontre a equação da linha elástica. Encontre também a máxima deflexão e inclinação.

Passo 1

A gente tem que achar a linha elástica e para isso precisamos achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Lembrando que temos de utilizar as condições de contorno dadas por aquela nossa tabelinha:

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

Como só existe uma força em x :

R x = 0

Para as forças em y :

∑ F y = 0

R y - P = 0

R y = P

Para os momentos considerando o sentido horário positivo e aplicados na extremidade engastada vamos ter:

∑ M = 0

M R + P a = 0

M R = - P a

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor, realizando um corte entre o engaste e a aplicação da força P vamos ter:

Fazendo o somatório das forças em y de modo a achar a força cortante:

∑ F y = 0

P - V = 0

V = P

Agora podemos achar o momento fletor, fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M = 0

V x + P a - M = 0

M = V x + P a

M = P ( x + a )

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = P ( x + a ) E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P ( x + a ) E I   d x

d y d x = 1 E I P x 2 2 + P a x + C 1

Agora podemos utilizar a condição de contorno referente ao ângulo (porque d y / d x = θ ). Com isso vamos ter que a inclinação em x = 0 (no ponto de engaste) é nula. Se quiser volta lá na tabelinha pra conferir =D

Substituindo os valores vamos ter:

d y d x = θ = 0

0 = 1 E I P 0 2 + P a 0 + C 1

Logo,

C 1 = 0

Nossa equação fica da forma:

θ = 1 E I P x 2 2 + P a x

θ = P x 2 E I x 2 + 2 a

Com isso já da para achar a maior inclinação. Podemos perceber que essa função é estritamente crescente, sendo assim o maior valor da inclinação ocorrerá no maior ponto de x ou seja x = L :

θ = P L 2 E I L 2 + 2 a

Passo 5

Agora vamos derivar a equação novamente para achar a linha elástica:

d y d x = 1 E I P x 2 2 + P a x

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I P x 2 2 + P a x   d x

y = 1 E I P x 3 6 + P a x 2 2 + C 2

Como no engaste ( x = 0 ) não temos deflexão vamos ter:

0 = 1 E I P 0 3 6 + P a 0 2 2 + C 2

Sendo assim

C 2 = 0

E a equação da linha elástica é dada por:

y = 1 E I P x 3 6 + P a x 2 2

y = P x 2 6 E I x + 3 a

Passo 6

Da mesma forma que a inclinação, a linha elástica vai ser estritamente crescente. Sendo assim, vamos ter o maior valor em x = L obtendo:

y = P L 2 6 E I L + 3 a

Resposta

y = P x 2 6 E I x + 3 a

θ m á x = P L 2 E I L 2 + 2 a

y m á x = P L 2 6 E I L + 3 a

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Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade B . Usar E = 200G P a