Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Determine a deflexão em B da barra. Considere E I constante.

Passo 1

Fala, galerinha!!! Aqui o problema nos fornece uma viga apoiada num apoio de primeiro gênero na extremidade esquerda e com um apoio do tipo carrinho na extremidade direita. Devemos lembrar que esse tipo de apoio impede tanto a rotação quanto o deslocamento na horizontal porém permite o deslocamento na vertical. Então as nossas reações vão ficar assim:

Com isso o principal é achar a função que defini o momento fletor na barra para podermos substituir na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

Passo 2

Primeiro vamos definir o sentido do eixo x , essa parte é muito importante ok? Então podemos definir por exemplo da esquerda para a direita:

Como só existe uma força na horizonta então vamos ter que:

∑ F x = B x = 0

Logo, para as forças no eixo vertical vamos ter:

∑ F y = 0

A y = P

E para as momentos, aplicados em A , vamos ter:

∑ M A = 0

P L 2 + M B = 0

M B = - P L 2

Pronto! Achamos nossas reações, agora montar o diagrama de momentos fletores ficou mais fácil:

Desta forma vamos ter a função do momento fletor dada por:

  • 0 ≤ x < L / 2
  • M x = P x

  • l / 2 ≤ x < L

M x = P L 2

Passo 3

Agora vamos partir para as integrais, lembrando que temos duas equações de momento fletor, então devemos fazer cada uma separadamente. Vamos começar com o lado esquerdo:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo

d 2 y d x 2 = P x E I

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P x E I   d x

d y d x = P x 2 2 E I + C 1

Integrando novamente:

∫ d y d x   d x = ∫ P x 2 2 E I + C 1   d x

y x = P x 3 6 E I + C 1 x + C 2

Então para a primeira metade temos:

θ ( x ) = P x 2 2 E I + C 1

y x = P x 3 6 E I + C 1 x + C 2

obs: Lembre-se que d y d x = θ

Passo 4

Agora vamos fazer para o lado direito:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo:

d 2 y d x 2 = P L 2 E I

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ P L 2 E I   d x

d y d x = P L x 2 E I + C 3

Integrando novamente:

∫ d y d x   d x = ∫ P L x 2 E I + C 3   d x

y x = P L x 2 4 E I + C 3 . x + C 4

Agora também temos as duas equações do lado direito:

θ ( x ) = P L x 2 E I + C 3

y x = P L x 2 4 E I + C 3 . x + C 4

Falta achar só as constantes! Para isso vamos utilizar as condições de contorno.

Passo 5

A primeira condição de contorno e a mais simples de ser observada é que não há deflexão no ponto A , dessa forma podemos substituir x = 0 na seguinte equação:

y x = P x 3 6 E I + C 1 x + C 2

E obter:

0 = P 0 3 6 E I + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

A segunda condição de contorno que é um pouco mais difícil de ser observada é que, o apoio do lado B impede a rotação, logo podemos substituir θ = 0 no ponto x = L da seguinte equação:

θ ( x ) = P L x 2 E I + C 3

Substituindo:

0 = P L ( L ) 2 E I + C 3

C 3 = - P L 2 2 E I

Show de bola, mas agora acabaram as nossas condições de contorno, o que faremos?

Passo 6

No problema nós temos apenas uma barra, contínua, mas na nossa resolução nós temos o dobro de equações. Como a barra é contínua nós podemos dizer que a inclinação e deflexão do ponto x = L / 2 será igual independetemente da equação que estamos olhando.

Dessa forma nós vamos ter que as equações das inclinações e das deflexões são iguais..

P x 2 2 E I + C 1 = P L x 2 E I + C 3

P x 3 6 E I + C 1 x + C 2 = P L x 2 4 E I + C 3 . x + C 4

Mas é importante lembrar que isso só vale para x = L / 2 , então vamos substituir:

P L 2 2 2 E I + C 1 = P L L 2 2 E I + C 3

P L 2 3 6 E I + C 1 . L 2 + C 2 = P L L 2 2 4 E I + C 3 . L 2 + C 4

Substituindo as constante que a gente já calculou:

C 2 = 0

C 3 = - P L 2 2 E I

Vamos obter:

P L 2 2 2 E I + C 1 = P L L 2 2 E I - P L 2 2 E I

P L 2 3 6 E I + C 1 . L 2 = P L L 2 2 4 E I - P L 2 2 E I . L 2 + C 4

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas, resolvendo nós vamos achar:

C 1 = 0

C 4 = - 13 P L 3 48 E I

Passo 7

Então nossa equação da deflexão para a segunda metade é dada por:

y x = P L x 2 4 E I - P L 2 2 E I . x - 13 P L 3 48 E I

Substituindo x = L obtemos:

y = P L 3 4 E I - P L 3 2 E I - 13 P L 3 48 E I

y = - 25 P L 3 48 E I

Resposta

y = - 25 P L 3 48 E I

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