Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento por integração

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Enunciado

Determine a linha elástica para a viga simplesmente apoiada utilizando a coordenada x onde 0 ≤ x ≤ L / 2 . Determine também a inclinação em A e a deflexão máxima da viga. E I é constante.

Passo 1

Nesta questão a gente tem que achar a linha elástica, a forma mais fácil para esse tipo de problema, que nos fornece o carregamento é realizar como:

d 4 y d x 4 = - w E I

Passo 2

Então o primeiro problema que encontramos é definir o carregamento como uma função em x . Esse carregamento é triangular e, portanto, aumenta linearmente. Logo, pode ser descrito como:

w = a x + b

Como o valor inicial do carregamento é igual a zero, então o termo b = 0 .

w = a x

Agora se aplicarmos essa função no ponto x = L / 2 vamos obter o valor de w 0 , assim:

w 0 = a × L 2

Sendo assim,

a = 2 w 0 L

E o nosso carregamento pode ser dado por:

w = 2 w 0 L x

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação da linha elástica:

d 4 y d x 4 = - 2 w 0 L x E I

Podemos reorganizar da forma:

E I d 4 y d x 4 = - 2 w 0 L x

Aí é só ir derivando rs. A primeira derivada temos:

∫ E I d 4 y d x 4   d x = ∫ - 2 w 0 L x   d x

E I d 3 y d x = - w 0 L x 2 + C 1

Derivando novamente:

∫ E I d 3 y d x   d x = ∫ - w 0 L x 2 + C 1   d x

E I d 2 y d x 2 = - w 0 3 L x 3 + C 1 x + C 2

Derivando pela terceira vez:

E I ∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - w 0 3 L x 3 + C 1 x + C 2   d x

E I d y d x = - w 0 12 L x 4 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

Derivando pela quarta e última vez:

E I ∫ d y d x   d x = ∫ - w 0 12 L x 4 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3   d x

E I y = - w 0 60 L x 5 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Agora é só achar as quatro constantes!

Passo 4

Pessoal, para achar essas constantes a gente tem que reparar que cada uma delas, por estar associada a cada etapa de integração, vai estar associada aos termos da força cortante, momento fletor, inclinação e deflexão.

Vamos um pouco mais devagar. Lá na primeira integral a gente tinha:

E I d 3 y d x = - w 0 L x 2 + C 1

O termo da esquerda é a primeira integral de w logo é igual à força cortante e podemos escrever:

V = - w 0 L x 2 + C 1

Logo se a gente conseguir achar a força cortante em algum ponto da nossa viga vamos poder achar C 1 !

A cortante num ponto bem próximo de A vai ser igual à própria reação em A . Podemos calcular a reação em A como sendo metade da força aplicada sobre a viga.

Como essa força é dada pela carga distribuída, vamos ter:

R A = 0 + w 0 2 × L 2

R A = w 0 L 4

Pessoal, reparem que eu peguei só a força do triângulo da esquerda (carga vezes distância). Por que eu fiz isso? Porque queria metade da força uai!

Então para x = 0 vamos ter:

V = - w 0 L x 2 + C 1

w 0 L 4 = - w 0 L 0 2 + C 1

Logo,

C 1 = w 0 L 4

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral, já considerando o valor de C 1 = w 0 L 4 :

E I d 2 y d x 2 = - w 0 3 L x 3 + w 0 L 4 x + C 2

Essa integral se refere ao momento fletor e pode ser escrita como:

M = - w 0 3 L x 3 + w 0 L 4 x + C 2

O momento fletor num ponto bem próximo do apoio A será igual a zero, portanto:

0 = - w 0 3 L 0 3 + w 0 L 4 0 + C 2

C 2 = 0

Passo 6

Agora vamos para a terceira integral, já considerando os valores de C 1 e C 2 :

E I d y d x = - w 0 12 L x 4 + w 0 L 8 x 2 + C 3

Essa integral se refere à inclinação e pode ser escrita como:

E I × θ = - w 0 12 L x 4 + w 0 L 8 x 2 + C 3

Agora temos de utilizar aquela propriedade de que o ângulo no ponto médio de uma viga com carregamento simétrico é nulo! Portanto em x = L / 2 vamos ter θ = 0 . Assim,

0 = - w 0 12 L L 2 4 + w 0 L 8 L 2 2 + C 3

C 3 = w 0 L 3 192 - w 0 L 3 32

C 3 = w 0 L 3 192 - 6 w 0 L 3 192

C 3 = - 5 w 0 L 3 192

Passo 7

Agora vamos para a quarta integral, já considerando os valores de C 1 , C 2 e C 3 :

E I y = - w 0 60 L x 5 + w 0 L 24 x 3 - 5 w 0 L 3 192 x + C 4

Essa integral se refere à linha elástica!!

Vamos aplicar a condição de contorno onde a deflexão no apoio é nula, logo em x = 0 temos que y = 0 . Portanto,

0 = - w 0 60 L 0 5 + w 0 L 24 0 3 - 5 w 0 L 3 192 0 + C 4

C 4 = 0

Desta forma vamos ter que a linha elástica é dada por:

y = 1 E I - w 0 60 L x 5 + w 0 L 24 x 3 - 5 w 0 L 3 192 x

Que pode ser escrito como:

y = w 0 x 960 E I L - 16 x 4 + 40 L 2 x 2 - 25 L 4

Resposta

y = w 0 x 960 E I L - 16 x 4 + 40 L 2 x 2 - 25 L 4

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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em B ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .
Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade B . Usar E = 200G P a