Exercícios Resolvidos de Inequações trigonométricas

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Enunciado

Considere a constante θ ∈ 0 ,   2 π .

Para que a equação x 2 + 4 x - 8 sen ⁡ θ = 0 tenha em x duas raízes reais e distintas, θ poderá assumir todos os valores de que intervalo?

Passo 1

Vamos usar Bháskara para resolver isso aí, como se sen ⁡ θ fosse uma constante, já que θ é outra variável:

x 1,2 = - 4 ± 16 + 4 ⋅ 8 ⋅ sen ⁡ θ 2 = - 4 ± 16 + 32 sen ⁡ θ 2 = - 4 ± 16 1 + 2 sen ⁡ θ 2

= - 4 ± 4 1 + 2 sen ⁡ θ 2 = - 2 ± 2 1 + 2 sen ⁡ θ

Para que a função tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que a parte dentro da raiz seja positiva e, portanto:

1 + 2 sen ⁡ θ > 0

Ou:

sen ⁡ θ > - 1 2

Passo 2

O seno tem esse valor em:

θ = 7 π 6

No sentido anti-horário, o valor do seno vai diminuindo, depois sobe até atingir - 1 / 2 novamente em:

θ = 11 π 6

Conforme vemos no círculo trigonométrico:

Assim, para satisfazer

sen ⁡ θ > - 1 2

Devemos ter:

0 < θ < 7 π 6     o u   11 π 6 < θ < 2 π

Então o intervalo procurado é

0 , 7 π 6 ∪ 11 π 6 ,   2 π

Resposta

0 , 7 π 6 ∪ 11 π 6 ,   2 π