Exercícios Resolvidos de Inequações trigonométricas

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Enunciado

Prove que existe r > 0 tal que

c o s ( x ) - 1 < s e n ( x ) x - 1 < 0

para 0 < | x | < r .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que analisar a seguinte desigualdade

c o s ( x ) - 1 < s e n ( x ) x - 1 < 0

e, então avaliar se existe r > 0 , tal que 0 < | x | < r . Vamos tentar reescrever um pouco esta desigualdade! Saca só!

Passo 2

Se somarmos 1 em toda a desigualdade temos que

c o s ( x ) < s e n ( x ) x < 1

O gráfico das duas funções são tais que

em que a curva superior é s e n ( x ) / x , note que x = 0 temos que ambas têm o mesmo valor, lembre que

l i m x ��� 0 s e n ( x ) x = 1

o valor da interseção exata é muito complicado de se obter, mas, note que precisamos apenas mostrar que para um r > 0 a relação é verdade, e isso é válido para qualquer r ∈ [ 0 , x i n t e r s e ç ã o ] , por exemplo

r = π

em que

- 1 < 0 < 1

E, assim por diante, a questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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