Exercícios Resolvidos de Inequações trigonométricas

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Enunciado

Prove as seguintes desigualdades:

c)

tan ⁡ b tan ⁡ a > b a

Para 0 < a < b < π 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para provar a seguinte desigualdade:

tan ⁡ b tan ⁡ a > b a

Sendo que 0 < a < b < π 2 .

Para isso, podemos utilizar a definição de tangente, onde:

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Depois disso, devemos analisar as funções de seno e cosseno no intervalo dado 0 < a < b < π 2 e comparar com b a .

E aí? Bora lá!!😉

Passo 2

Assim, pela definição da função tangente, temos:

tan ⁡ a = sin ⁡ a cos ⁡ a

E

tan ⁡ b = sin ⁡ b cos ⁡ b

Dividindo essas duas expressões, obtemos:

tan ⁡ a tan ⁡ b = sin ⁡ a cos ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ b ∴

tan ⁡ a tan ⁡ b = sin ⁡ b * cos ⁡ a sin ⁡ a * cos ⁡ b

Agora vamos analisar as funções de seno e cosseno!

Passo 3

Bom... para 0 < x < π 2 , temos que sin ⁡ x é uma função estritamente crescente e cos ⁡ x é uma função estritamente decrescente.

Isso significa que sin ⁡ b > sin ⁡ a e cos ⁡ a > cos ⁡ b .

Dessa forma, podemos concluir que sin ⁡ b * cos ⁡ a > sin ⁡ a * cos ⁡ b .

Passo 4

Agora, vamos comparar b a com sin ⁡ b sin ⁡ a :

Como 0 < a < b < π 2 , então temos que b a > 1 .

Além disso, como sin ⁡ x é uma função estritamente crescente no intervalo 0 < x < π 2 , então temos que sin ⁡ b > sin ⁡ a .

Portanto, podemos concluir que:

sin ⁡ b sin ⁡ a > b a

Passo 5

Por fim, juntando as informações obtidas, podemos concluir que:

sin ⁡ b sin ⁡ a > b a ∴

sin ⁡ b * cos ⁡ a sin ⁡ a * cos ⁡ b > b a ∴

tan ⁡ b tan ⁡ a > b a

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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