Exercícios Resolvidos de Inequações trigonométricas

Elaboração Própria

Determine a solução da inequação s e n x + c o s x 2 < 1 para 0 x 2 π

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é abrir esse produto notável e melhorar a cara dessa inequação:

  s e n x + c o s x 2 < 1

s e n ² x + 2   . s e n x . c o s x + c o s ² x < 1

Rearrumando, temos:

s e n ² x + c o s ² x + 2   . s e n x . c o s x < 1

Lembra da relação fundamental da trigonometria?

Ela nos diz que: s e n ² x + c o s ² x = 1

Substituindo, teremos:

1 + 2 . s e n x . c o s x < 1

2 . s e n x . c o s x < 1 - 1

2 . s e n x . c o s x < 0

Por fim, podemos escrever:

s e n x . c o s x < 0

Essa expressão é bem mais amigável, né?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, agora precisamos analisar algumas coisas...

Só de olhar, percebemos que nem o seno e nem o cosseno podem ser iguais a zero. Mas para quais valores de x vai valer essa nossa inequação?

Vamos analisar o nosso ciclo trigonométrico:

Os únicos intervalos onde teremos essa multiplicação dando valores negativos, vai ser entre π 2 e   π e entre 3 π 2   e   2 π

Ou seja nossa solucão será:

S = π 2 , π   3 π 2 , 2 π

Resposta

S = π 2 , π   3 π 2 , 2 π

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