Exercícios Resolvidos de Interpolação inversa

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Enunciado

Com base no conjunto de pontos abaixo, resolva a interpolação inversa usando a primeira abordagem de resolução do capítulo. Escolha o método que achar necessário para a resolução do polinômio. Além disso, encontre x * se y ^ = 1,3 :

Passo 1

Antes de iniciar a resolução do problema, vale atentar que estamos usando calculadoras diferentes e arredondamentos diferentes, o que pode acarretar pequenas divergências no resultado final, mas se chegar próximo ao que calculamos aqui já está bem aceitável!!!

Vamos encontrar um polinômio   P n x que interpole f ( x ) em x 0 , x 1 , … ,   x n e depois achar x * tal que   P n x = y ^ , sendo necessário achar a raiz do polinômio (por qualquer outro método já estudado para encontrar raízes ).

Como temos 3 pontos, podemos montar um polinômio de grau 2:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = a 0 + a 1 0,3 + a 2 ( 0,3 ) 2 = a 0 + a 1 0,4 + a 2 ( 0,4 ) 2 =   1,22114 1,3499 1,4918

Podemos resolver por eliminação de Gauss, onde:

m 21 = 1 1 = m 31

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 21 n o v a = 1 - 1 = 0

E 22 n o v a = 0,3 - 0,2.1 = 0,1

E 23 n o v a = 0,09 - 0,04 = 0,05

E 24 n o v a = 1,3499 - 1.22114 = 0,12876

O mesmo processo deve ser feito para a linha 3:

E 31 n o v a = 1 - 1 = 0

E 32 n o v a = 0,4 - 0,2.1 = 0,2

E 23 n o v a = 0,16 - 0,04 = 0,12

E 24 n o v a = 1,4918 - 1.22114 = 0,27066

A nova matriz atualizada é:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = 0 + a 1 0,1 + a 2 ( 0,05 ) = 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,12 ) =   1,22114 0,12876 0,27066

Agora, devemos zerar o termo a 32 !

Passo 2

Faremos o mesmo processo que o usado anteriormente:

m 32 = 0,2 0,1 = 2

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 32 n o v a = 0,2 - ( 2.0,1 ) = 0

E 33 n o v a = 0,12 - ( 0,05.2 ) = 0,02

E 34 n o v a = 0,27066 - ( 0,12876.2 ) = 0,01314

Usanto retrosubstituição, ficamos com:

a 0 = 1,005

a 1 = 0,9468

a 2 = 0,6755

O polinômio pode ser construído :

P 2 x = 0,6755 x 2 + 0,9468 x + 1,005

Passo 3

O exercício pede: x * se y ^ = 1,3

P 2 x = 0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x - 0,295 = 0

Podemos resolver essa equação de segundo grau por Bhaskara:

x = - b ± Δ 2 a

Se:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0,9468 2 - 4 ( 0,675 . - 0,295 = 1,6935

x = - 0,9468 ± 1,6935 2 . 0,675

Com essa equação, conseguimos dois valores para x * :

x * 1 = 0,2624

x * 2 = - 1,6641

Temos dois valores para x * , agora vamos analisar novamente a tabela:

Observe que sabemos o valor de y ^ = 1,3 que está dentro do intervalo [1,22114; 1,3499]. Isso significa que o valor requerido de x * deve estar entre [0,2 ; 0,3]. Com isso, podemos excluir o valor   x * 2 = - 1,6641 por estar fora do intervalo [0,2 ; 0,3].

Sendo assim para y ^ = 1,3 o valor de   x * = 0,2624 .

Resposta

y ^ = 1,3 o valor de   x * = 0,2624 .

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17. Considere a tabela abaixoUsando um polinômio interpolador de grau