Exercícios Resolvidos de Interpolação por Sistema Linear

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 258, exercício 11 adaptado.

Construa uma tabela para a função f x = cos x usando os pontos: 0.8 , 0.9 , 1.0 , 1.1 , 1.2 e 1.3 . Obtenha um polinômio de grau 3 para estimar cos 1.07 .

Passo 1

Bora montar essa tabela então:

Queremos uma função interpoladora de grau 3 . Logo, precisamos escolher 4 pontos. Como queremos saber o valor de f x em 1.07 , vamos escolher os 4 pontos mais próximos dele. Ficamos então com:

p 3 0.9 = cos 0.9 a 0 + a 1 0.9 + a 2 0.9 2 + a 3 0.9 3 = 0.62161

p 3 1.0 = cos 1.0 a 0 + a 1 1.0 + a 2 1.0 2 + a 3 1.0 3 = 0.5403

p 3 1.1 = cos 1.1 a 0 + a 1 1.1 + a 2 1.1 2 + a 3 1.1 3 = 0.4536

p 3 1.2 = cos 1.2 a 0 + a 1 1.2 + a 2 1.2 2 + a 3 1.2 3 = 0.36236

Agora passando para a forma matricial:

1 0.9 0.81 0.729 1 1.0 1.00 1.000 1 1.1 1.21 1.331 1 1.2 1.44 1.728 a 0 a 1 a 2 a 3 = 0.62161 0.5403 0.4536 0.36236

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular esse mostro então:

1 0.9 0.81 0.729 1 1.0 1.00 1.000 1 1.1 1.21 1.331 1 1.2 1.44 1.728 0.62161 0.5403 0.4536 0.36236 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0.2 0.40 0.602 0 0.3 0.63 0.999 0.62161 - 0.08131 - 0.16801 - 0.25925 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0.06 0.186 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 - 0.01532 ~ 1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0 0.006 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 0.00085

Daí temos que:

1 0.9 0.81 0.729 0 0.1 0.19 0.271 0 0 0.02 0.06 0 0 0 0.006 0.62161 - 0.08131 - 0.00539 0.00085

a 3 = 0.14167

0.02 a 2 = - 0.00539 - 0.06 0.14167

a 2 = - 0.6945

0.1 a 1 = - 0.08131 - 0.271 0.14167 - 0.19 - 0.6945

a 1 = 0.12253

a 0 = 0.62161 - 0.729 0.14167 - 0.81 - 0.6945 - 0.9 0.12253

a 0 = 0.97060

p 3 x = 0.97060 + 0.12253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

Passo 3

Agora jogamos 1.07 no nosso p 3 x :

p 3 1.07 = 0.48013

Resposta

x

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

f ( x )

0.69671

0.62161

0.5403

0.4536

0.36236

0.2675

p 3 x = 0.97060 + 0.12253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

p 3 1.07 = 0.48013

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